宋榮榮，范亞茹

(西南民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610041)

在眾多應(yīng)用中，因變量與自變量的關(guān)系是非常復(fù)雜的.研究多個(gè)自變量與因變量之間的關(guān)系，就不得不考慮自變量之間的交互作用，因?yàn)榻换プ饔脮?huì)嚴(yán)重影響自變量與因變量的關(guān)系[1-5].不排除交互作用的干擾，會(huì)出現(xiàn)什么問(wèn)題呢? 交互作用會(huì)造成因變量和自變量之間相關(guān)關(guān)系的偏倚，導(dǎo)致因變量與自變量之間的任何一種相關(guān)程度增大或減少[6-8].特別是當(dāng)因變量和自變量不相關(guān)時(shí)，由于交互作用還會(huì)導(dǎo)致它們之間存在假的相關(guān)性[9].如何排除交互作用研究多自變量與因變量間的關(guān)系，是當(dāng)前大學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中亟待解決的問(wèn)題. 在參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽時(shí)，大多數(shù)學(xué)生并不清楚如何排除交互作用，再研究多個(gè)自變量對(duì)因變量的影響[10-11].因此，教會(huì)學(xué)生如何排除交互作用的干擾，研究多個(gè)自變量對(duì)因變量的影響是至關(guān)重要的[12].

目前，排除交互作用的主要方法是多因素調(diào)整分析法[13].當(dāng)問(wèn)題中交互作用較多，且交互作用復(fù)雜時(shí)，可采用多因素調(diào)整分析法[14]. 在該方法中，根據(jù)因變量的類(lèi)型，可選擇三種回歸模型:多重線性回歸、logistic 回歸及Cox 回歸.其中多重線性回歸的因變量是連續(xù)變量，logistic 回歸的因變量是分類(lèi)變量，而Cox 回歸的因變量是時(shí)間變量.本文以2022 年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C 題為例，研究玻璃文物風(fēng)化與紋飾、顏色及類(lèi)型之間的關(guān)系.因?yàn)轱L(fēng)化是分類(lèi)因變量，所以選用logistic 回歸排除交互作用的干擾，并研究多自變量與因變量的關(guān)系.

本文將基于SPSS 軟件建立logistic 回歸模型，為學(xué)生提供一種層層遞進(jìn)的探究方法，讓學(xué)生掌握如何排除交互作用的干擾研究多個(gè)自變量與因變量之間的關(guān)系，如何利用軟件探究自變量之間的交互作用，如何深入地分析交互作用對(duì)變量間相關(guān)關(guān)系的影響.

1 問(wèn)題分析與模型假設(shè)

以2022 年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題為例，探究古代玻璃制品的成分分析與鑒別. 由于古代玻璃很容易因?yàn)槁癫丨h(huán)境的影響而導(dǎo)致風(fēng)化，而且在風(fēng)化過(guò)程中，外部環(huán)境元素與玻璃內(nèi)部元素進(jìn)行化學(xué)反應(yīng)而大量地交換，導(dǎo)致玻璃的成分比例發(fā)生改變，繼而影響對(duì)玻璃類(lèi)別的正確判斷. 現(xiàn)有一批我國(guó)古代玻璃制品的相關(guān)數(shù)據(jù)，需要分析玻璃文物表面風(fēng)化和顏色、玻璃類(lèi)型以及紋飾的關(guān)系.

這個(gè)題目包括54 件古代玻璃文物，每件玻璃文物都有具體的分類(lèi)信息，原始數(shù)據(jù)如表1 所示.

表1 54 件玻璃文物的分類(lèi)信息Table 1 Classification information of 54 glass cultural relics

為更好的進(jìn)行相關(guān)性分析，本文分別對(duì)表1 中“顏色”和“表面風(fēng)化”兩個(gè)變量進(jìn)行數(shù)據(jù)化處理，處理結(jié)果如表2 所示. 我們用1 到9 分別表示淺藍(lán)、藍(lán)綠、深綠、紫、淺綠、黑、深藍(lán)、綠色.用1 表示玻璃文物被風(fēng)化，0 表示未風(fēng)化.

表2 變量數(shù)據(jù)表Table 2 The table of variable data

為了研究文物樣品表面風(fēng)化與顏色、玻璃類(lèi)型以及紋飾間的關(guān)系. 首先，我們對(duì)所有變量進(jìn)行相關(guān)性分析；其次，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)軟件SPSS27.0，建立了7 種logistic 模型，得到顯著性結(jié)果并進(jìn)行分析；最后，根據(jù)顯著性的結(jié)果，排除交互作用的影響，給出風(fēng)化與顏色、玻璃類(lèi)型以及紋飾間的變量關(guān)系.

2 Logistic 回歸模型建立

2.1 模型假設(shè)

假設(shè)1:文物相互獨(dú)立；

假設(shè)2:文物的風(fēng)化情況服從二項(xiàng)分布；

2.3 子宮內(nèi)膜組織實(shí)時(shí)熒光定量PCR檢測(cè)兩組患者ER、PR 的表達(dá)水平比較 與對(duì)照組比較，宮腔粘連組患者ER 、PR蛋白表達(dá)水平均較高，兩組比較差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(P<0.05)。見(jiàn)表4。

假設(shè)3:π(xi)與xi有關(guān)，表示第i個(gè)文物發(fā)生風(fēng)化的概率，簡(jiǎn)記為πi.

定義為:

logistic 回歸不假設(shè)自變量與因變量之間存在直接的線性關(guān)系，而是通過(guò)鏈接函數(shù)建立線性關(guān)系，如

假設(shè)4:假設(shè)文物形狀對(duì)結(jié)果沒(méi)有顯著性影響；

假設(shè)5:假設(shè)只有顏色、紋飾和類(lèi)別對(duì)風(fēng)化有影響，不考慮其他因素對(duì)風(fēng)化有重要影響.

2.2 模型建立

設(shè)風(fēng)化的情況記為Y(Y ＝1 表示文物已風(fēng)化，Y＝0 表示文物未風(fēng)化)，每件文物由若干指標(biāo)表示其特征，記為X，如X1是類(lèi)型，X2是顏色，X3是紋飾.xi表示第i個(gè)文物的特征觀測(cè)值，xi1表示第i個(gè)文物的類(lèi)型值，xi2表示第i個(gè)文物的顏色值，xi3表示第i個(gè)文物的紋飾值，yi表示第i個(gè)文物的風(fēng)化結(jié)果(i ＝1，2，…，54) ，β0是常數(shù)項(xiàng)，β1，β2，β3是logistic 模型回歸系數(shù)，π(xi)的取值范圍是[0，1] .

我們層層遞進(jìn)，深入分析了三個(gè)自變量類(lèi)型、顏色、紋飾對(duì)因變量風(fēng)化的關(guān)系.首先，不排除三個(gè)自變量的交互作用，探究每個(gè)自變量對(duì)因變量的影響；其次，排除任意兩個(gè)自變量之間的交互作用，探究每個(gè)自變量對(duì)因變量的影響；最后，排除三個(gè)自變量之間的交互作用，探究三個(gè)自變量對(duì)因變量的影響. 本文總共建立了7 個(gè)logistic 模型[15]，如下所示.

1)不排除交互作用，建立每個(gè)自變量對(duì)因變量的影響模型.

模型一:不排除紋飾和顏色的交互作用，建立類(lèi)型對(duì)風(fēng)化的影響模型.

設(shè)風(fēng)化情況為Y，每件文物的特征為X ＝X1，則在第i個(gè)文物X ＝xi ＝xi1的條件下，風(fēng)化(yi ＝1 )的條件概率為:

模型二:不排除類(lèi)型和紋飾的交互作用，建立顏色對(duì)風(fēng)化的影響模型.

設(shè)風(fēng)化情況為Y，每件文物的特征為X ＝X2，則在第i個(gè)文物X ＝xi ＝xi2的條件下，風(fēng)化(yi ＝1 )的條件概率為:

模型三:不排除類(lèi)型和顏色的交互作用，建立紋飾對(duì)風(fēng)化的影響模型.

設(shè)風(fēng)化情況為Y，每件文物的特征為X ＝X3，則在第i個(gè)文物X ＝xi ＝xi3的條件下，風(fēng)化(yi ＝1 )的條件概率為:

2)排除任意兩個(gè)自變量之間的交互作用，探究剩余自變量對(duì)因變量的影響.

模型四:排除顏色和類(lèi)型的交互作用，建立類(lèi)型對(duì)風(fēng)化的影響模型.

設(shè)風(fēng)化情況為Y，每件文物的特征為X ＝(X1，X2) ，則在第i個(gè)文物X ＝xi ＝(xi1，xi2)的條件下，風(fēng)化(yi ＝1 )的條件概率為:

模型五:排除紋飾和類(lèi)型的交互作用，建立類(lèi)型對(duì)風(fēng)化的影響模型.

設(shè)風(fēng)化情況為Y，每件文物的特征為X ＝(X1，X3) ，則在第i個(gè)文物X ＝xi ＝(xi1，xi3)的條件下，風(fēng)化(yi ＝1 )的條件概率為:

模型六:排除紋飾和顏色的交互作用，建立顏色對(duì)風(fēng)化的影響模型和紋飾對(duì)風(fēng)化的影響模型.

設(shè)風(fēng)化情況為Y，每件文物的特征為X ＝(X2，X3) ，則在第i個(gè)文物X ＝xi ＝(xi2，xi3)的條件下，風(fēng)化(yi ＝1 )的條件概率為:

3)排除三個(gè)自變量之間的交互作用，建立三個(gè)自變量對(duì)風(fēng)化的影響模型.

模型七:排除紋飾和顏色的交互作用，建立類(lèi)型對(duì)風(fēng)化、紋飾對(duì)風(fēng)化和顏色對(duì)風(fēng)化的影響模型.

設(shè)風(fēng)化情況為Y，每件文物的特征為X ＝(X1，X2，X3) ，則在第i個(gè)文物X ＝xi ＝(xi1，xi2，xi3)的條件下，風(fēng)化(yi ＝1 )的條件概率為:

其中，logistic 回歸模型主要采用極大似然法估計(jì)4 個(gè)未知參數(shù)β0，β1，β2，β3.

2.3 模型求解和結(jié)果分析

利用表2 的數(shù)據(jù)，運(yùn)用SPSS27.0 軟件，得到logistic 模型中的參數(shù)的最大似然估計(jì)值，模型一的結(jié)果如表3 所示.

表3 不排除紋飾和顏色的交互作用下類(lèi)型對(duì)風(fēng)化的模型結(jié)果(模型一)Table 3 Model results of the type on the weathering with the interaction of texture and color (Model I)

由表3 知，類(lèi)型的顯著性值為0.024，小于置信水平0.05，所以在紋飾和顏色的交互作用下，類(lèi)型對(duì)風(fēng)化在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上有顯著性影響；Odds Ration (OR)值為0.250，表明高鉀發(fā)生風(fēng)化的可能性與鉛鋇發(fā)生風(fēng)化可能性之比是0.25，鉛鋇更容易發(fā)生風(fēng)化.在紋飾和顏色的交互作用下，類(lèi)型對(duì)風(fēng)化的影響模型為:

lnπ(xi)＝β0＋β1xi1＝0.693-1.386xi1.

從模型二到模型七的顯著性結(jié)果如表4 到表9所示.當(dāng)顯著性值大于置信水平0.05 時(shí)，表明該變量對(duì)因變量的影響不顯著；反之，顯著性值小于置信水平0.05 時(shí)，表明該變量對(duì)因變量的影響顯著，且顯著性值越小表明影響越顯著.

表4 不排除類(lèi)型和紋飾的交互作用下顏色對(duì)風(fēng)化的模型結(jié)果(模型二)Table 4 Model results of the color on the weathering with the interaction of type and decoration (Model II)

由表4 到表9 知，模型二到模型七的顯著性結(jié)果都大于置信水平0.05，說(shuō)明從模型二到模型七，模型的自變量對(duì)因變量在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上沒(méi)有顯著性影響.

另外，由表9 中每個(gè)自變量的參數(shù)估計(jì)值的絕對(duì)值大小知，對(duì)風(fēng)化影響最重要的前三種特征是:黑色(62.034)，藍(lán)綠色(59.352)和高鉀( -56.391)，其中黑色和藍(lán)綠色對(duì)風(fēng)化是正相關(guān)影響，高鉀對(duì)風(fēng)化是負(fù)相關(guān)影響.由表3 中的顯著性結(jié)果(0.024)知，考慮其他自變量交互作用時(shí)，類(lèi)型對(duì)風(fēng)化有顯著性影響；由表6 ～表9 中的顯著性結(jié)果知，不考慮其他自變量交互作用時(shí)，類(lèi)型對(duì)風(fēng)化沒(méi)有顯著性影響.由表4、表5、表8 和表9 中的顯著性結(jié)果知，考慮和不考慮其他自變量交互作用時(shí)，顏色和紋飾對(duì)風(fēng)化都沒(méi)有顯著性影響.

表5 不排除類(lèi)型和顏色的交互作用下紋飾對(duì)風(fēng)化的模型結(jié)果(模型三)Table 5 Model results of the decoration on the weathering with the interaction of type and color (Model III)

表6 排除顏色和類(lèi)型的交互作用下類(lèi)型對(duì)風(fēng)化的模型結(jié)果(模型四)Table 6 Model results of the type on the weathering without the interaction of color and type (Model IV)

表7 排除紋飾和類(lèi)型的交互作用下類(lèi)型對(duì)風(fēng)化的模型結(jié)果(模型五)Table 7 Model results of the type on the weathering without the interaction of decoration and type (Model V)

表8 排除任意兩個(gè)自變量的交互作用下自變量對(duì)風(fēng)化的模型結(jié)果(模型六)Table 8 Model results of the independent variables on the weathering without the interaction of any two independent variables (Model VI)

表9 排除三個(gè)自變量的交互作用下自變量對(duì)風(fēng)化的模型結(jié)果(模型七)Table 9 Model results of the independent variables on the weathering without the interaction of three independent variables (Model VII)

綜上所述，通過(guò)討論自變量間的交互作用，本文探究了多個(gè)自變量對(duì)因變量的影響，獲得了7 個(gè)自變量和因變量的關(guān)系模型. 從7 個(gè)關(guān)系模型中，發(fā)現(xiàn)模型一是最能表示3 個(gè)自變量和因變量之間的關(guān)系.

3 結(jié)論

本文以數(shù)學(xué)建模題目為例，詳細(xì)闡述了如何分析多個(gè)自變量與因變量間的關(guān)系.通過(guò)深入考慮多個(gè)自變量之間的交互作用，建立多個(gè)Logistic 回歸模型，層層遞進(jìn)地研究了多個(gè)自變量對(duì)因變量的影響，得出最能表示自變量與因變量之間的關(guān)系模型.

因變量是定性變量的回歸分析，作為一種有效的數(shù)據(jù)處理方法，已被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、考古學(xué)、社會(huì)調(diào)查、生物信息處理等領(lǐng)域. 教會(huì)大學(xué)生如何分析多個(gè)自變量與因變量的關(guān)系，建立準(zhǔn)確的關(guān)系模型，不論在競(jìng)賽中還是在學(xué)習(xí)過(guò)程中都非常重要.