常建偉　常海波

動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題常與直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等知識(shí)相結(jié)合，具有較強(qiáng)的綜合性.這類問(wèn)題的命題形式多變，解題時(shí)的計(jì)算量大，很容易出現(xiàn)半途而廢的情況.對(duì)此，同學(xué)們?cè)谌粘W(xué)習(xí)中，要熟悉并掌握一些常規(guī)題型的通性通法，以便在考試時(shí)能輕松應(yīng)對(duì)此類問(wèn)題.本文主要介紹軌跡方程的幾種求法：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法等.

一、直接法

直接法是根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件直接列出等量關(guān)系式的方法.常涉及的幾何條件有向量關(guān)系、線段之間的比例關(guān)系、角之間的數(shù)量關(guān)系、點(diǎn)之間的位置關(guān)系.運(yùn)用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，需根據(jù)動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何關(guān)系，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式、直線的斜率公式、夾角公式等建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的方程或關(guān)系式.

例1.已知點(diǎn) P（-3， 0），點(diǎn) A 在 y 軸上，點(diǎn)Q 在 x 軸跡 C 的方程.

解：

二、定義法

若動(dòng)點(diǎn)的軌跡與直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線相吻合，則可采用定義法，根據(jù)直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義建立關(guān)系式，從而求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

例2.如圖2，已知兩個(gè)定圓 O1：（x+2）2+y2=1和 O2：（x-2）2+y2=4的半徑分別是1和2，動(dòng)圓 M 與圓 O1內(nèi)切，與圓 O2外切，求動(dòng)圓圓心M 的軌跡方程.

解：

解答本題的關(guān)鍵是明確三個(gè)圓的位置關(guān)系：動(dòng)圓M 與圓 O1內(nèi)切，與圓 O2外切，據(jù)此建立三個(gè)圓半徑之間的關(guān)系：MO2-MO1=3.然后將 O1、O2視為定點(diǎn)， M 視為動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，將 M 的軌跡視為雙曲線的左支，進(jìn)而求得 M 的軌跡方程.

三、參數(shù)法

如果動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件中涉及了參數(shù)，或者在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中受到某個(gè)變量的制約，那么就可以運(yùn)用參數(shù)法，以此變量為參數(shù)，建立關(guān)于該參數(shù)的方程，再設(shè)法消去參數(shù)，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.在選參數(shù)時(shí)，要考慮到制約變量的條件對(duì)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的范圍的影響.另外，選取的參數(shù)不同，解題中的運(yùn)算量也會(huì)不同，需選取合適的參數(shù)，以減少運(yùn)算量.

例3.已知點(diǎn) A，B 分別是射線 l1：y = xx≥0， l2：y =-xx≥0上的動(dòng)點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，且ΔOAB 的面積為2，求線段 AB 中點(diǎn) M 的軌跡方程.

解：

因?yàn)?M 為 AB的中點(diǎn)，隨著 A、B 兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，因此要求 M 的軌跡方程，需采用參數(shù)法，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù) AB 滿足的幾何條件，建立關(guān)系式，間接求出M 的軌跡方程.

四、相關(guān)點(diǎn)法

若動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)或多個(gè)相關(guān)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且已知相關(guān)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，此時(shí)很難直接根據(jù)動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件列出關(guān)系式，需采用相關(guān)點(diǎn)法，建立動(dòng)點(diǎn)與相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系式，通過(guò)代換求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

運(yùn)用相關(guān)點(diǎn)法解題的步驟為：

1.設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)以及相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；

2.建立動(dòng)點(diǎn)與相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)之間關(guān)系，并用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；

3.把相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)代入所滿足的條件或方程；

3.消去相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到動(dòng)點(diǎn)的方程.

例4.

解：

仔細(xì)分析題目，不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn) C、D、P 與 M 為相關(guān)點(diǎn)，而點(diǎn)C、D為拋物線的切點(diǎn)，既滿足切線的方程，又滿足拋物線的方程，點(diǎn)P在圓上，據(jù)此可建立方程，這為運(yùn)用相關(guān)點(diǎn)法解題創(chuàng)造了條件.于是分別設(shè)出幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)方程消去C、D、P三點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出點(diǎn)M的軌跡方程.另外，在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程后要注意對(duì)所求的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).

總而言之，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上是將“形” 轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，將“曲線”轉(zhuǎn)化為“方程”，通過(guò)研究等量關(guān)系式、方程來(lái)明確動(dòng)點(diǎn)的軌跡和曲線之間的位置關(guān)系.同學(xué)們?cè)谇髣?dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，要注意靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想來(lái)輔助解題.