艾智勇，王大山，慕金晶

（1.同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué) 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092）

板具有剛度大、整體性好、可抵抗復(fù)雜荷載等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于軟土地區(qū)實(shí)際工程中。雖然一些學(xué)者［1-2］基于固結(jié)理論對(duì)飽和地基與板的共同作用問(wèn)題進(jìn)行了研究，然而飽和軟土地基在受荷后，除了主固結(jié)沉降之外，還存在次固結(jié)沉降，即土體的流變現(xiàn)象。因此，基于飽和軟土的固結(jié)流變理論進(jìn)行板?土共同作用分析具有重要的理論和工程價(jià)值。Nassar［3］和Kobayashi 等［4］采用彈性?黏彈性對(duì)應(yīng)原理，分別研究了線性黏彈性地基上的圓形板和矩形厚板的彎曲問(wèn)題?？芾冢?］比較分析了彈性模型、經(jīng)典Kelvin黏彈性模型和分?jǐn)?shù)階微分Kelvin黏彈性模型在研究板?土共同作用問(wèn)題上的差異。Zhang 等［6］研究了分?jǐn)?shù)階Zener 黏彈性地基上四邊簡(jiǎn)支的彈性板。近年來(lái)，一系列研究證明經(jīng)典的整數(shù)階流變模型具有一定的局限性，分?jǐn)?shù)階流變模型使用參數(shù)更少，能有效反映材料的記憶效應(yīng)，更適于表現(xiàn)材料的黏彈性力學(xué)響應(yīng)［7-8］。為此，本文基于層狀分?jǐn)?shù)階黏彈性橫觀各向同性飽和地基的固結(jié)解答［9］，引入Mindlin中厚板理論，將板的有限單元與地基表面的邊界單元進(jìn)行耦合，以求解板?土共同作用問(wèn)題，并討論分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和地基參數(shù)和地基加固深度等因素對(duì)板與地基共同作用時(shí)效的影響。

1 Mindlin板與地基共同作用方程

板與層狀黏彈性橫觀各向同性飽和地基共同作用的模型如圖1 所示，其中，L、B、hr分別表示板的長(zhǎng)、寬和厚度；E0v和E1v分別為分?jǐn)?shù)階黏彈性模型中線彈性體和Kelvin 體的豎向彈性模量；Eh為水平向彈性模量；Gv為土體剪切模量；η1v為分?jǐn)?shù)階黏彈性模型中Abel黏壺的黏滯系數(shù)；νh和νvh分別為水平應(yīng)力引起正交水平向應(yīng)變的泊松比和豎向應(yīng)力引起水平向應(yīng)變的泊松比；h為每層土體的厚度；kh和kz分別為水平向和豎向的滲透系數(shù)。

圖1 板與層狀黏彈性飽和地基共同作用示意圖Fig.1 Model of multilayered viscoelastic saturated soils and plate

1.1 Mindlin板的總剛度矩陣方程

Mindlin 板理論在Kinchhoff 薄板理論的基礎(chǔ)上計(jì)入板的橫向剪應(yīng)變影響，更加符合板的實(shí)際情況。其總剛度矩陣方程可以表示為［10］

考慮到板的單元?jiǎng)偠染仃嚥⒉浑S時(shí)間變化，將板的荷載向量拆分為由外力產(chǎn)生的等效節(jié)點(diǎn)荷載向量和由基底反力產(chǎn)生的等效節(jié)點(diǎn)荷載向量，則板的總剛度矩陣方程式（1）可改寫(xiě)為

式中：δ(t)、Fr(t)和Rr(t)分別為t時(shí)刻板的節(jié)點(diǎn)位移、已知外荷載和基底反力產(chǎn)生的等效節(jié)點(diǎn)力向量。

1.2 分?jǐn)?shù)階黏彈性飽和地基的柔度矩陣方程

地基表面的單元格劃分與板的有限單元格劃分完全一致，并將邊界上的節(jié)點(diǎn)稱為“板?土節(jié)點(diǎn)”。假定t時(shí)刻地基表面任意一點(diǎn)的緩變荷載可以用該點(diǎn)所在地基單元e上8個(gè)節(jié)點(diǎn)的邊界力來(lái)表示，其荷載應(yīng)滿足以下二維8節(jié)點(diǎn)單元的插值函數(shù)關(guān)系：

式中：q(i，t)為任意點(diǎn)i在t時(shí)刻的荷載；qs，e(t)為i點(diǎn)所在地基單元8 個(gè)節(jié)點(diǎn)的豎向邊界力向量；N=[N1，N2，…，N8]，為C0型二維8 節(jié)點(diǎn)單元的插值函數(shù)［10］，有

在板與飽和地基相互作用的過(guò)程中，由于孔隙水的存在，板底部的地基反力和變形是隨時(shí)間緩慢變化的。于是，任意地基單元i在t時(shí)刻受到的作用力具有如下積分型表達(dá)［2］：

式中：q(i，0)和q(i，t)分別為0 時(shí)刻和t時(shí)刻作用在板單元i上的作用力。

因此，t時(shí)刻由i板單元下的地基表面受到的作用力引起的j節(jié)點(diǎn)處地基表面的位移可表示為

式中：Is(j，i，t)為在第i個(gè)地基單元表面作用單位均布荷載，經(jīng)過(guò)t時(shí)間段時(shí)，在板j節(jié)點(diǎn)下地基表面處產(chǎn)生的豎向位移，可根據(jù)層狀分?jǐn)?shù)階黏彈性橫觀各向同性飽和地基的精細(xì)積分解［9］求得。

將式（3）代入式（6）并進(jìn)行Laplace變換，可得到Laplace 變換域內(nèi)s時(shí)刻地基表面點(diǎn)i(xi，yi，0)處作用豎向荷載時(shí)地基表面任意點(diǎn)j(xj，yj，0)處的豎向位移如下：

將式（7）應(yīng)用于所有地基單元并積分，即可得到以下Laplace變換域內(nèi)板?土節(jié)點(diǎn)豎向位移與豎向邊界力之間的關(guān)系：

式中：H?s(s)為L(zhǎng)aplace 變換域內(nèi)的地基柔度矩陣，u?s(s)和q?s(s)分別為L(zhǎng)aplace 變換域內(nèi)地基表面板?土節(jié)點(diǎn)的豎向位移向量和豎向邊界力向量。

1.3 板與地基共同作用方程的建立

為進(jìn)一步求解板與地基的共同作用問(wèn)題，需要實(shí)現(xiàn)板有限單元和地基邊界單元的耦合，即建立邊界元方程式（3）中豎向邊界力向量qs與有限元方程式（2）中基底反力產(chǎn)生的等效節(jié)點(diǎn)力向量Rr之間的轉(zhuǎn)換矩陣。根據(jù)有限元理論中荷載分量二維8節(jié)點(diǎn)的插值關(guān)系，由板單元下地基反力產(chǎn)生的單元e所受的等效節(jié)點(diǎn)力向量可表示為

式中：Rs，e(t)為板單元e下地基反力引起的作用于板單元上的等效節(jié)點(diǎn)力向量，且僅含豎向力；Se為板單元與地基接觸面的面積。

將式（3）代入式（9），即可建立以下單元e中豎向邊界力向量和等效節(jié)點(diǎn)力向量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

將式（10）應(yīng)用于所有板單元，并進(jìn)行Laplace變換，之后根據(jù)有限元的集成原理，即可組裝得到以下Laplace 變換域內(nèi)豎向邊界力向量與由地基反力產(chǎn)生的等效節(jié)點(diǎn)力向量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

將式（11）代入式（8），即可建立以下Laplace 變換域內(nèi)板?土節(jié)點(diǎn)豎向位移和等效豎向節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系：

式中：k?s(s)=T?H?Ts(s)。

將式（12）的剛度矩陣中與轉(zhuǎn)角和彎矩所對(duì)應(yīng)的行列進(jìn)行零值擴(kuò)充，使板與地基的剛度矩陣方程維數(shù)相同，于是式（12）可重寫(xiě)為

式中：U?s(s)為u?s(s)擴(kuò)充轉(zhuǎn)角未知量后的向量；R?r(s)為R?s(s)擴(kuò)充彎矩未知量后的向量；K?s(s)為k?s(s)經(jīng)零值擴(kuò)充后地基的總剛度矩陣。

假設(shè)板與地基的接觸面光滑且緊密接觸，則地基表面板?土節(jié)點(diǎn)的位移向量與板的節(jié)點(diǎn)位移向量應(yīng)該完全相等，即

對(duì)式（2）和式（14）進(jìn)行Laplace 變換，然后結(jié)合式（13）消去地基反力向量，即可得到板與地基共同作用的總矩陣方程為

求解式（15）即可得到Laplace 變換域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角與位移分量，而物理域內(nèi)的真實(shí)解答可通過(guò)相應(yīng)的Laplace數(shù)值逆變換［11］求得。

2 數(shù)值計(jì)算與分析

為驗(yàn)證本文所提出解答的正確性，此處將層狀黏彈性飽和地基上的矩形板受集中荷載的解答與基于ABAQUS 的解答進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算模型如圖2 所示，板與地基的參數(shù)選取如圖2及表1所示。圖2和表1 中，E0為分?jǐn)?shù)階Merchant 模型串聯(lián)段Hooke 體彈性模量，E1為并聯(lián)段Hooke體彈性模量，Er為板剛度，hr為板厚，νr為板的泊松比，η1為地基土的黏滯系數(shù)，k為滲透系數(shù)。為了減少計(jì)算時(shí)間，ABAQUS采用1/4 對(duì)稱建模，土體尺寸為25 m×25 m，深度30 m。土體部分采用C3D8P單元，單元數(shù)量50 000個(gè)，筏板采用C3D8I單元，單元數(shù)量2 700個(gè)。

表1 黏彈性飽和地基參數(shù)Tab.1 Parameters of viscoelastic saturated soil

表2 6種工況的黏彈性飽和地基參數(shù)Tab.2 Viscoelastic saturated soil parameters for 6 cases

表3 黏彈性飽和土體參數(shù)Tab.3 Parameters of viscoelastic saturated soil

圖2 黏彈性飽和地基上的矩形板Fig.2 Model of viscoelastic saturated soils and rectangular plate

板中心點(diǎn)處地基沉降wo隨時(shí)間變化的計(jì)算結(jié)果如圖3 所示。由圖3 可見(jiàn)，本文解答與基于ABAQUS的計(jì)算結(jié)果吻合較好，證明了本文理論及計(jì)算程序的正確性。此外，本文使用AMD Ryzen 3600 處理器單核進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，通過(guò)ABAQUS 完成計(jì)算共耗時(shí)3 970 s，而使用本文理論編制程序進(jìn)行計(jì)算僅需922 s，由此可見(jiàn)本文方法具有較高的計(jì)算效率。

圖3 板中心點(diǎn)處黏彈性飽和地基沉降隨時(shí)間的變化Fig.3 Time-settlement of viscoelastic saturatedsoils at the center of the plate

2.1 土骨架黏彈性和橫觀各向同性的影響分析

從圖4 可知，工況1、2、3 具有相同的終態(tài)模量，所以它們終態(tài)時(shí)刻地基沉降曲線重合，即最終地基沉降量w*相同；工況4、1、5 的橫向彈性模量逐漸增大，所以最終地基沉降依次減小。從圖5 可知，E0/E1和η1越大，同時(shí)刻的地基沉降w*o越小，且黏滯系數(shù)η1的影響更為顯著。由工況2、6 可以看出，分?jǐn)?shù)階次α對(duì)最終沉降沒(méi)有影響，但α越大，地基的固結(jié)沉降發(fā)展速率越快。

圖4 黏彈性飽和地基參數(shù)對(duì)板中線處地基沉降的影響（τ=106）Fig.4 Influence of soil parameters on ground settlement at the center line of the plate (τ=106)

圖5 黏彈性飽和地基參數(shù)對(duì)板中心點(diǎn)地基沉降的影響Fig.5 Influence of soil parameters on groundsettlement at the center of the plate

2.2 地基加固深度的影響分析

圖6為采取不同地基加固深度時(shí)板中線處的終態(tài)（τ=106）地基沉降曲線，圖7 為板中心點(diǎn)地基沉降隨時(shí)間的變化。

圖6 地基加固深度對(duì)板中線處地基沉降的影響(τ=106)Fig.6 Influence of reinforcement depth on ground settlement at the center line of the plate (τ=106)

圖7 地基加固深度對(duì)板中心點(diǎn)地基沉降的影響Fig.7 Influence of reinforcement depth on ground settlement at the center of the plate

由圖6、7可見(jiàn)，即便加固深度很小，加固表土層依然能夠明顯減小地基土的沉降；但隨著加固深度的增大，沉降減小效率逐漸降低。地基加固深度對(duì)板差異沉降的影響見(jiàn)圖8。由圖8可知，加固深度的增加能夠有效減小板的差異沉降Δw*，且差異沉降的減小幅度同樣隨著加固深度的增大而逐漸減小。為了更直觀地分析地基加固深度與加固效率之間的關(guān)系，這里給出基礎(chǔ)板中心點(diǎn)下單位加固深度地基沉降減小效率χ隨加固深度的變化曲線，如圖9 所示。由圖9 可見(jiàn)，地基沉降的減小效率隨著加固深度的增加而減小，且地基加固深度在0.2B～0.4B的范圍內(nèi)較為經(jīng)濟(jì)有效。

圖8 地基加固深度對(duì)板差異沉降的影響Fig.8 Influence of reinforcement depth on differential settlement of the plate

圖9 不同地基加固深度下的地基沉降減小效率Fig.9 Teduction efficiency of ground settlement atdifferent reinforcement depths

3 結(jié)論

為更好地描述軟土地基與板相互作用的時(shí)變行為，本文基于分?jǐn)?shù)階黏彈性模型的層狀橫觀各向同性飽和土的Biot 固結(jié)解答，采用邊界元法與有限元法耦合的方法，推導(dǎo)了層狀黏彈性飽和地基與板共同作用的解答。在此基礎(chǔ)上，分析了黏彈性飽和地基參數(shù)和地基加固深度對(duì)地基沉降的影響。主要結(jié)論有：

（1）土骨架黏彈性對(duì)基礎(chǔ)板與地基共同作用的影響主要體現(xiàn)在固結(jié)流變的時(shí)效性上，E0/E1和η1越小，分?jǐn)?shù)階次α越大，地基的固結(jié)沉降發(fā)展速率越快。

（2）橫觀各向同性的影響主要體現(xiàn)在地基沉降值的變化上，橫向彈性模量越大，最終地基沉降越小。

（3）加固表土層能夠明顯降低地基的沉降與差異沉降，但隨著加固深度的增加，單位加固深度的加固效率逐漸降低。綜合考慮分析可知，地基加固深度在0.2B～0.4B的范圍內(nèi)較為經(jīng)濟(jì)有效。

作者貢獻(xiàn)聲明：

艾智勇：提出理論分析方法，指導(dǎo)理論求解及數(shù)值分析，指導(dǎo)文章撰寫(xiě)及修改。

王大山：參與算例的設(shè)計(jì)及分析，參與完成文章初稿，進(jìn)行稿件修改。

慕金晶：理論求解及數(shù)值分析，完成文章初稿。