張海東

摘 要：因教學內容的二維靜態(tài)呈現(xiàn)方式和學生動手能力弱導致學生的直觀想象能力難以得以發(fā)展.本文利用皓駿軟件給學生創(chuàng)造一個實驗探索的環(huán)境，借助于數(shù)學實驗室，學生可以用鼠標拖動或觀察參數(shù)的變化來動態(tài)認識圖形變化的本質，用形象直觀的動態(tài)圖像表現(xiàn)抽象的定理，借此理解定理的形成過程.通過例題中的動態(tài)直觀感受，更好地去理解定理的應用，提升學生直觀想象的核心素養(yǎng).

關鍵詞：動態(tài)幾何；積件；垂直

“直線與平面垂直的判定”是人教A版高中數(shù)學教材必修二第二章第三節(jié)“直線、平面垂直的判定及其性質”第一課時的教學內容.教材遵循“直觀感知—操作確認—思辨論證—度量計算”的認知過程，從生活中的旗桿與地面垂直引入線面垂直的概念出發(fā)，接著通過折紙?zhí)骄?，讓學生直觀感知，然后直接給出線面垂直的判定定理，這容易讓學生難以理解.在教育信息化背景下，動態(tài)數(shù)學技術融入數(shù)學課堂已成為解決數(shù)學重難點的有力手段，恰當?shù)厥褂脛討B(tài)數(shù)學技術可以促進學生對數(shù)學本質理解.本文試圖基于Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學軟件設計“線面垂直判定”的教學積件，利用信息技術與數(shù)學知識的有機融合，培養(yǎng)學生空間想象能力.

1 教學設計與實施

1.1 動手試驗，引出定理

折紙試驗：請同學們準備一塊三角形的紙片，過△ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌子上，要求BD和DC與桌面接觸.（1） 折痕AD與桌面垂直嗎？（2） 如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直？

學生：我們小組經過反復試驗和討論得出結論：折痕AD⊥BC時，就可以判斷AD垂直桌面.

1.2 基于皓駿，驗證定理

1.2.1 積件制作步驟

（1） 繪制一個平面α和平面內的一條直線a

首先，下拉點擊“3D坐標系”得到三維坐標系，并顯示坐標系.點擊“繪制|坐標點”彈出對話框，“x坐標”“y坐標”“z坐標”分別輸入“2；2；-2；-2”“3；-3；-3；3”“0；0；0；0”得到坐標點A（2，3，0），B（2，-3，0），C（-2，-3，0），D（-2，3，0）.按住ctrl依次選擇點A、B、C、D，單擊“繪制|多邊形”，得到平行四邊形ABCD.該平行四邊形ABCD用于表示平面.其次以同樣的操作方式，得到E（2，0，0），F(xiàn)（-2，0，0），接著再繪制出線段EF.該線段用于表示平面內的一條直線.

（2） 繪制一條垂直于直線a的動直線l

點擊“插入|變量尺”彈出對話框，“變量”“左端”“右端”“步數(shù)”分別輸入“θ”“0”“π”“6”.點擊“繪制|坐標點”彈出對話框，“x坐標”“y坐標”“z坐標”分別輸入“0；0”“3*cos（θ）；0”“3*sin（θ）；0”得到G（3cosθ，3sinθ，0），H（0，0，0）.點擊G點，再按住ctrl點H點，單擊“繪制|約束點|對稱點”，得到點G關于點H的對稱點I，接著再繪制出線段GI，該線段用于表示垂直于直線a的動直線l.

（3） 測量角度與繪制直角標記

首先，按住ctrl依次選擇點E、H、G，點擊“測量|角度”，得到∠EHG=90.00°再點擊“∠EHG=90.00°”，點擊鼠標右鍵，彈出信息框，在“基本”處將測量精度改為“0”，得到∠EHG=90°.其次，點擊E點，再按住ctrl點H點，單擊“繪制|自由點|對象上的點”，得到線段EH上的自由點J.以同樣的操作方式繪制得到線段GH上的自由點K，點擊J點，再按住ctrl點H、K點，點擊“變換|平移”彈出對話框，點擊確定，得到變換點“L”.按住ctrl依次選擇點J、L、K、H，單擊“繪制|多邊形”，得到矩形JLKH.拖動點J、K，將矩形調整到合適的大小，用于標記∠EHG.接著點擊線段GI，再點擊“繪制|跟蹤”，同樣點擊多邊形JLKH，再點擊“繪制|跟蹤”，拖動變量尺，得到線段GI隨θ的變化而改變位置，但∠EHG一直都是90°.因此，動直線與平面內的一條直線保持垂直.

（4） 界面的優(yōu)化

首先選中線段GI、EF，點擊“設計|線寬”，增加線寬，改變顏色等.其次選中多邊形ABCD、多邊形JLKH，填充顏色，降低非透明度.接著右擊對象中的“跟蹤”，在畫筆處將虛線改為“True”，增加線寬，改變顏色，降低非透明度；以及點擊“插入|文字表格”將直線和平面用字母表示.最后選中需要隱藏的對象，按“Ctrl+H”隱藏，得到最終效果圖1.

（5） 繪制與平面內的兩條平行線都垂直的直線

在空間中，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，則這條直線與另一條直線也垂直.因此在前四步的基礎上，只需要制作與直線a平行的直線b，即可探究一條直線與平面內兩條平行直線垂直時，直線與平面的位置關系.按照上述操作方法制作線段CD上的自由點M，點擊M點，再按住ctrl點F、E點，點擊“變換|平移”彈出對話框，點擊確定，得到變換點“N”.點擊M點，再按住ctrl點N點，單擊“繪制|線段”，得到線段MN.線段MN即為平行于直線a的直線b.最后優(yōu)化界面，增加直線b的線寬，插入文字表格表示直線b，選中需要隱藏的對象，按“Ctrl+H”隱藏，得到最終效果圖2.

1.2.2 積件的教學應用

動態(tài)數(shù)學技術應用于立體幾何教學，與幾何知識深度融合，使學生樂學、善學.首先，讓學生感知直線l垂直于平面內一條直線a的情況，通過動畫演示發(fā)現(xiàn)直線l無法始終垂直于平面α，如圖1所示；接著讓直線l垂直于平面內兩條平行直線a和直線b，讓學生通過動手動態(tài)操作發(fā)現(xiàn)直線l也不能與平面保持垂直，如圖2所示；最后，讓直線l垂直于平面內兩條相交直線a和直線b，通過直線l與直線a或直線l與直線b夾角度數(shù)的變化，從而發(fā)現(xiàn)當直線l與直線a和直線b同時垂直時，直線與平面保持垂直.

1.3 動態(tài)分析，運用定理

在學生初步理解線面垂直的條件后，教師出示例題，引導學生完成，結合信息技術，利用蒙層功能，動態(tài)呈現(xiàn)題中線面之間的關系，通過應用加深學生對判定定理的運用.

例題 如圖，已知點M是菱形ABCD所在的平面外一點，且MA=MC.

求證：AC⊥平面BDM.

師：請同學們梳理清楚題中已知條件，結合圖形，看看要證明AC⊥平面BDM，還需要什么條件？

生：老師，根據(jù)菱形的性質，我們知道AC⊥BD（如圖3），那么根據(jù)線面垂直的判定定理可知，還需要求證AC垂直于平面內另外一條和BD相交的直線，從圖形上可以看出，在已知線段中只有MO.

師：這位學生已經找到一對垂直關系，那請哪位同學來說一下，怎么證明AC⊥MO？

生：我又看了一下題中的已知條件，MA=MC我們還沒用到，結合菱形的性質可知點O為AC的中點，由△MAC為等腰三角形可知，MO⊥AC（如圖4），由AC⊥BD及MO∩BD=O，根據(jù)線面垂直判定定理可知，AC⊥平面BDM.

師：上面兩位學生回答得很好，思路清晰，語言嚴謹.老師把他們的思考過程用圖形表示出來了，請同學們結合圖形，寫出解題思路.

2 積件在教學中應用的反思

與傳統(tǒng)教學比較，本節(jié)課利用積件將動態(tài)數(shù)學技術與數(shù)學課堂融合，能促進學生的深度學習，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：一是直觀演示，促進理解.積件的動態(tài)演示，幫助學生，突破空間想象難點，促進學生對線面判定定理的理解和運用；二是測量精準，助力驗證.當說明直線和兩條相交直線都垂直，才能證明線面垂直時，利用角度的變化來展現(xiàn)直角關系更具有說服力.