何洋炎,王 林

(中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十一研究所,上海 201802)

0 引 言

20世紀(jì)50年代以來,瞬時(shí)測(cè)頻技術(shù)應(yīng)現(xiàn)代電子戰(zhàn)的需求而誕生,主要分為模擬瞬時(shí)測(cè)頻和數(shù)字瞬時(shí)測(cè)頻2個(gè)方向。前者雖說工程上易于實(shí)現(xiàn),但是穩(wěn)定性差、易受各類因素的影響以及測(cè)頻精度不高,故很少應(yīng)用于工程設(shè)備中;后者則很好地克服了上述缺點(diǎn)。目前其主要有以下幾種數(shù)字測(cè)頻算法:(1)基于幅值的測(cè)頻算法[1];(2)基于相位的測(cè)頻算法[2];(3)基于頻率信息的測(cè)頻算法[3];(4)基于功率譜的測(cè)頻算法[4]。上述各類算法各有優(yōu)缺點(diǎn),其中第(2)類相位法以其瞬時(shí)性好、測(cè)頻精度優(yōu)等特點(diǎn)而在工程上被廣泛采用;但是在非合作輻射源及少采樣點(diǎn)數(shù)時(shí),所測(cè)目標(biāo)頻率精度往往難以滿足目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特征提取的要求?；诖?本文提出了利用希爾伯特變換為參考信息,通過相位信息之間的相似性重構(gòu)目標(biāo)信息,從而提取出滿足參測(cè)需求的超高精度頻率。

1 理論基礎(chǔ)及所提算法

1.1 瞬時(shí)頻率[5]

瞬時(shí)頻率的確定目前有多種不同的方式,目前比較公認(rèn)的是Gaber所提出的利用解析信號(hào)以確定瞬時(shí)頻率的數(shù)值。該方法主要是依托于希爾伯特變換,舉例說明,對(duì)于信號(hào)a(t),構(gòu)造其復(fù)數(shù)域的解析信號(hào),其中H(f(t))表示對(duì)信號(hào)f(t)進(jìn)行希爾伯特變換,如下式所示:

F(t)=a(t)+jH(a(t))

(1)

當(dāng)?shù)玫叫盘?hào)的虛部后,即獲得了信號(hào)的相位信息時(shí),可以將信號(hào)寫成如下的解析形式:

F(t)=B(t)ejθ

(2)

信號(hào)的瞬時(shí)頻率一般被定義為相位對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù),這也符合物理意義上關(guān)于頻率的概念,如下式所示:

(3)

以上所引出的關(guān)于瞬時(shí)頻率的解算方式,作為后續(xù)所提方法的理論依據(jù)。

1.2 Hilbert變換

Hilbert變換具有諸多優(yōu)良特性,常會(huì)利用其來構(gòu)造解析信號(hào),在此先介紹Hilbert變換,為后續(xù)所提方法中利用其相關(guān)特性奠定一定的基礎(chǔ)。

對(duì)于實(shí)值函數(shù)a(t),t∈(-∞,∞),它的希爾伯特變換定義為a(t)與1/πt的卷積:

(4)

式中:符號(hào)*表示卷積。

利用卷積的特殊性質(zhì),即2個(gè)函數(shù)的卷積傅里葉變換等于2個(gè)函數(shù)傅里葉變換的乘積,設(shè)a(t)為原信號(hào),F(a(t))表示對(duì)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換,H[f(t)]為對(duì)信號(hào)進(jìn)行希爾伯特變換,于是可得:

(5)

利用歐拉公式ejθ=cosθ+isinθ,可以得到:

(6)

式中:sgn(f)為符號(hào)函數(shù),定義為:

(7)

通過上述變化的分析,可以看出,所謂希爾伯特變換就是一個(gè)相移轉(zhuǎn)換器,對(duì)于正頻率成分,將相位移動(dòng)了-π/2; 反之負(fù)頻率成分,移動(dòng)了π/2。同時(shí),可以發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)域信號(hào)在實(shí)數(shù)域的投影就是時(shí)域信號(hào),于是利用Hilbert變換,就可以得到含有信號(hào)相位變化信息的復(fù)數(shù)表達(dá)式。

1.3 正交性分析

由前兩節(jié)的分析,理論上的Hilbert是基于無限時(shí)間長(zhǎng)度的,但是此需求在實(shí)際工程應(yīng)用中難以滿足,甚至在絕大多數(shù)條件下,只具備少量點(diǎn)數(shù)的用于信號(hào)相位信息的求取,受限于工程應(yīng)用的局限,勢(shì)必對(duì)虛部信號(hào)的準(zhǔn)確獲得造成一定程度的誤差,主要體現(xiàn)在其與原始實(shí)部信號(hào)的正交性上,正交度定義如下:

(8)

式中:η表示正交度;M表示量化位數(shù);D(·)表示模數(shù)量化;H(·)表示Hilbert變換。

現(xiàn)給出如下仿真條件,分析測(cè)頻誤差與正交度之間的關(guān)系(具體參數(shù)參見表1),分別給出采樣點(diǎn)數(shù)與測(cè)頻誤差的關(guān)系曲線,以及采樣點(diǎn)數(shù)與正交度的關(guān)系曲線,如圖1所示。

表1 基本參數(shù)

圖1 測(cè)頻誤差、正交度隨采樣點(diǎn)數(shù)的變化

從圖1(a)中可以看出,誤差隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加呈現(xiàn)整體下降的趨勢(shì)。這是由于隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加,在頻率域中對(duì)信號(hào)處理過程中原始信號(hào)的信息保存就越完整,恢復(fù)至?xí)r域中時(shí),對(duì)應(yīng)的幅相信息就更準(zhǔn)確。同樣,觀察圖1(b)中正交度的變化趨勢(shì),可以看出隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加,正交度的數(shù)值不斷趨于0,意味著信號(hào)實(shí)部與Hilbert變換所得虛部之間的正交度越高,復(fù)原的信號(hào)越接近真實(shí)信號(hào)。對(duì)比圖1(a)與(b),可以發(fā)現(xiàn)測(cè)頻誤差與正交度之間呈現(xiàn)出相同的變化趨勢(shì),基于此,可以考慮利用提高信號(hào)的正交度來滿足高要求的測(cè)頻需求。

1.4 基于信號(hào)相似性的頻率測(cè)量

從上述分析可以得到,為了提高測(cè)頻精度,滿足目標(biāo)運(yùn)動(dòng)特征表達(dá)的需求,需得到更加貼合實(shí)際信號(hào)的復(fù)信號(hào)形式,即與實(shí)部正交性更好的信號(hào)虛部信息。但是單純地基于Hilbert變換得到的測(cè)頻精度(特別是在少量采樣點(diǎn)時(shí))難以滿足實(shí)際測(cè)頻的要求,提高信號(hào)虛部的準(zhǔn)確度主要解決2個(gè)方面問題:(1)虛部的符號(hào)問題;(2)虛部的絕對(duì)值。其中,第1點(diǎn)可以通過Hilbert變換獲得,通過前述分析信號(hào)的取值不存在跳變點(diǎn),則Hilbert變換得到的數(shù)值正負(fù)是符合實(shí)際情況的;第2點(diǎn),考慮到變換所得信號(hào)的幅度會(huì)呈現(xiàn)出起伏狀態(tài),即偏離真實(shí)幅度,且均值也會(huì)因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)及采樣率的原因,并非與實(shí)際幅值相近。現(xiàn)考慮基于分析不同信號(hào)的特征,利用相似性原理來確定信號(hào)的幅值。

1.4.1 點(diǎn)頻信號(hào)

如果是單一頻點(diǎn)的信號(hào),那么在等間隔采樣點(diǎn)之間,理論上信號(hào)的相位變化值應(yīng)該是相同的,如下式所示:

mod(Δφ1,2π)=mod(Δφ2,2π)=…=

mod(ΔφN-1,2π)

(9)

式中:mod()表示取余;Δφi表示相鄰采樣點(diǎn)之間的相位差;N表示采樣點(diǎn)數(shù)。

現(xiàn)考慮以一定的步進(jìn)遍歷幅值變化區(qū)間,求取各幅值點(diǎn)處基于相似性原理的相差抖動(dòng)情況,典型的相似性處理方式(皮爾遜相似系數(shù))如下式所示[6]:

(10)

該處理方式存在相位跳變問題,且工程運(yùn)算量較大,現(xiàn)擬采用如下相關(guān)系數(shù)的計(jì)算方法:

(11)

1.4.2 線性調(diào)頻信號(hào)

給出調(diào)頻信號(hào)的模型如下式所示:

(12)

式中:K表示調(diào)頻斜率;φ0表示初相位。

于是可以得到圖2。

圖2 線性調(diào)頻信號(hào)相位差差值變化

圖2中的灰區(qū)塊代表相鄰采樣點(diǎn)相位的差值,通過相位差差值的運(yùn)算可以得到如圖2所示的結(jié)果。相差的差值也呈現(xiàn)出恒值的態(tài)勢(shì),因此同樣可以采樣類似上節(jié)的分析,利用相同的相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法得到不同幅值對(duì)應(yīng)的相位抖動(dòng)情況,分析過后則可以將2類典型信號(hào)采取相同的信號(hào)處理方式進(jìn)行預(yù)處理,在保證算法能夠處理不同類型信號(hào)的同時(shí),節(jié)省了工程應(yīng)用中的資源消耗。

接著給出了2類信號(hào)的相似度曲線,如圖3所示。

圖3 2類信號(hào)的相似度曲線

從圖3中可以清楚地看到,2條不規(guī)則曲線均存在極小值點(diǎn)(即所需的幅值點(diǎn)),為后續(xù)的超精度測(cè)頻提供了理論保證。

2 仿真分析

根據(jù)實(shí)際需求,給出如表1所示的基本參數(shù)設(shè)置。

基于上述參數(shù)給出了基于所提算法與常規(guī)瞬時(shí)測(cè)頻算法的比較,測(cè)頻誤差如圖4所示。

圖4 基于所提算法與常規(guī)瞬時(shí)測(cè)頻算法的測(cè)頻誤差比較

從圖4中可以清晰地看出,常規(guī)方法下即便是能夠連續(xù)獲取上萬采樣點(diǎn),測(cè)頻精度也只能達(dá)到300 Hz的精度要求,對(duì)于測(cè)量目標(biāo)百赫茲量級(jí)的測(cè)頻需求是難以滿足的;然而采用了基于所提相似算法,僅利用不到10個(gè)采樣點(diǎn),得到測(cè)頻精度可以控制在60 Hz以內(nèi),平均數(shù)值可控制在10 Hz上下,可以很好地滿足實(shí)際測(cè)頻的需求。接著,基于所提方法給出了線性調(diào)頻信號(hào)的關(guān)鍵參數(shù)調(diào)頻斜率的測(cè)量結(jié)果,如表2所示。

表2 參數(shù)測(cè)量結(jié)果

從上述結(jié)果可以看出,所提算法不但能夠很好地測(cè)得點(diǎn)頻信號(hào)的頻率,同時(shí)對(duì)于線性調(diào)頻信號(hào)調(diào)頻斜率的測(cè)量誤差低于千分之一,累計(jì)測(cè)頻誤差單脈沖小于21 Hz,能滿足實(shí)際測(cè)量百赫茲量級(jí)多普勒頻率的需求。

3 結(jié)束語

本文通過分析不同采樣點(diǎn)測(cè)頻誤差與信號(hào)實(shí)部虛部之間正交性的變化趨勢(shì),引出了在低采樣點(diǎn)需提高信號(hào)的正交性作為提升測(cè)頻精度的基礎(chǔ);而后通過分析相位信息的相似性,采用了更符合工程實(shí)現(xiàn)的相似性處理函數(shù),通過極值點(diǎn)的求取重構(gòu)目標(biāo)信號(hào),進(jìn)而求得相應(yīng)的精準(zhǔn)頻率。仿真結(jié)果也證明了所提算法在不同信號(hào)類型上的適用性與超精度性能。