江西省南昌縣蓮塘第一中學(xué) (330200) 魏 紅

一、APOS的概念教學(xué)階段

杜賓斯基認(rèn)為,學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)要進(jìn)行心理建構(gòu),這個(gè)建構(gòu)過程需經(jīng)歷活動(dòng)、過程、對(duì)象和圖式4個(gè)階段.“活動(dòng)階段”是指將具有內(nèi)隱性的數(shù)學(xué)概念通過一系列外顯的探究活動(dòng)來獲得.在函數(shù)單調(diào)性概念中,可借助幾何畫板觀察圖像上動(dòng)點(diǎn)的變化規(guī)律,并由此得到概念的雛形.“過程階段” 是對(duì)外顯數(shù)學(xué)活動(dòng)的進(jìn)一步思考過程.當(dāng)學(xué)生經(jīng)過多次重復(fù)活動(dòng)并對(duì)其熟悉后,便會(huì)在頭腦中抽象出概念的本質(zhì)特征.“對(duì)象階段”是給抽象出的本質(zhì)特征賦予形式化的定義和符號(hào),使其成為一個(gè)具體的對(duì)象.“圖式階段”是與其它概念建立聯(lián)系,形成知識(shí)的綜合圖式,并把這個(gè)圖式納入自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,與已有的知識(shí)建立新的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系.

二、“函數(shù)單調(diào)性概念”教學(xué)四階段的設(shè)計(jì)

1.活動(dòng)階段

階段目標(biāo):直觀感知函數(shù)圖像在某區(qū)間上的變化趨勢.

教師:引導(dǎo)學(xué)生說出函數(shù)f(x)=x+1,f(x)=x2,f(x)=x-1的變化趨勢.

學(xué)生:不難得出f(x)=x+1在R上呈上升趨勢,如圖1;f(x)=x2在(-∞,0)上呈下降趨勢,在(0,+∞)上呈上升趨勢,如圖2;f(x)=x-1在(-∞,0)上呈下降趨勢,在(0,+∞)上呈下降趨勢,如圖3.

圖1

圖2

圖3

教師:函數(shù)圖像是滿足某種規(guī)律的點(diǎn)集,所以,我們可以將函數(shù)圖像變化趨勢這個(gè)問題轉(zhuǎn)化到圖像上點(diǎn)的變化規(guī)律.引導(dǎo)學(xué)生思考用點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)變化關(guān)系來描述函數(shù)f(x)圖像變化趨勢,并借助幾何畫板軟件動(dòng)態(tài)驗(yàn)證函數(shù)圖像上動(dòng)點(diǎn)A從左到右拖動(dòng)過程中的坐標(biāo)變化關(guān)系.

學(xué)生:通過觀察點(diǎn)A沿著圖像拖動(dòng)過程中點(diǎn)A坐標(biāo)的變化.認(rèn)識(shí)到如果函數(shù)圖像在區(qū)間D上呈上升(下降)趨勢,則在區(qū)間D內(nèi),從左往右看,y隨x增大而增大(減小),從右往左看y隨x減小而減小(增大).

教師:提出增減函數(shù)的初步認(rèn)識(shí).如果在區(qū)間D上y隨x增大而增大,或y隨x減小而減小,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D為增函數(shù),反之,為減函數(shù).函數(shù)的這種性質(zhì)稱之為“單調(diào)性”,D為函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間.

2.過程階段

階段目標(biāo):從圖形上,我們已感知到到增(減)函數(shù)y隨x的增大而增大(y隨x增大而減小),那么怎么理解y隨x的增大而增大(減小)呢?學(xué)生的思維還不夠抽象,在某區(qū)間上有限對(duì)變量的變化關(guān)系都不能反映增函數(shù)的本質(zhì),通過問題引發(fā)學(xué)生的思考并意識(shí)到x1,x2的任意性,從而進(jìn)一步引出函數(shù)單調(diào)性的定義,這是本節(jié)課的重難點(diǎn).

教師:以函數(shù)f(x)=x2為例,取x=1,2,3,4,5…相應(yīng)地,y=1,4,9,16,25…這樣能不能說函數(shù)在(0,+∞)上y隨x的增大而增大?

學(xué)生:不能,因?yàn)橹蝗×俗宰兞吭?0,+∞)一些特殊值時(shí),函數(shù)值y隨x的增大而增大,這不代表所有,不能說明自變量取在(0,+∞)上其他值時(shí)也符合這個(gè)規(guī)律.

教師:x和y都屬于無限集合,我們不能將有限列舉得到的函數(shù)變化規(guī)律推廣到自變量在無限區(qū)間上,實(shí)際上函數(shù)圖像上定點(diǎn)不能無限列舉,那我們可以考慮從函數(shù)圖像上取動(dòng),那么取幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)呢?

學(xué)生:前面取一個(gè)動(dòng)點(diǎn),要規(guī)定拖動(dòng)動(dòng)點(diǎn)的順序,也就是控制動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)變化前提下,觀察動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變化情況.實(shí)際上,可以在函數(shù)圖像取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),因?yàn)閮蓚€(gè)動(dòng)點(diǎn)可以比較x和y的增大或減小,從而刻畫它們之間的變化關(guān)系.

教師:函數(shù)f(x)=x+1,f(x)=x2,f(x)=x-1的任取點(diǎn)A和B,保證點(diǎn)B在點(diǎn)A右邊(或左邊)的前提下,拖動(dòng)A、B兩點(diǎn),并用幾何畫板度量點(diǎn)A的坐標(biāo)變化.

學(xué)生:對(duì)于函數(shù)f(x)=x+1,如果點(diǎn)B在點(diǎn)A右邊,即點(diǎn)B橫坐標(biāo)大于點(diǎn)A橫坐標(biāo)前提下,點(diǎn)B縱坐標(biāo)會(huì)一直大于點(diǎn)A縱坐標(biāo),如圖4.

圖4

圖5

圖6

教師:對(duì)于函數(shù)f(x)=x2,f(x)=x-1,有同樣的結(jié)論嗎?

學(xué)生:要注意單調(diào)區(qū)間,要控制點(diǎn)A和B在y軸同側(cè),即同在右邊或左邊.

教師:用幾何畫板動(dòng)態(tài)展示點(diǎn)A和B在y軸異側(cè)情況下,如圖7,8.

圖7

圖8

學(xué)生:得不到同樣結(jié)論,意識(shí)到函數(shù)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集,函數(shù)在區(qū)間具有單調(diào)性,不能說明在整個(gè)函數(shù)定義域也具有單調(diào)性.函數(shù)單調(diào)性只是函數(shù)的局部性質(zhì).如不能說f(x)=x-1在(-∞,0)∪(0,+∞)上是減函數(shù).

3.對(duì)象階段

階段目標(biāo):用數(shù)學(xué)語言描述“增函數(shù)”與“減函數(shù)”.

教師:前面我們說,在區(qū)間D上y隨x增大而增大,或y隨x減小而減小,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D為增函數(shù),反之,為減函數(shù).而y隨x增大而增大,我們可以用數(shù)學(xué)式子的不等關(guān)系替換.

4.圖式階段

階段目標(biāo):函數(shù)單調(diào)性的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖:

變式1 將例1中的函數(shù)改成

變式2 將例1中的函數(shù)改成f(x)=-x2+2|x|+3.

小結(jié):在公共區(qū)間內(nèi),若f(x),g(x)都有單調(diào)性,則有:

f(x)是增函數(shù)g(x)是增函數(shù)f(x)+g(x)是增函數(shù)f(x)是增函數(shù)g(x)是減函數(shù)f(x)-g(x)是增函數(shù)f(x)是減函數(shù)g(x)是增函數(shù)f(x)-g(x)是減函數(shù)f(x)是減函數(shù)g(x)是減函數(shù)f(x)+g(x)是減函數(shù)

典例3 若函數(shù)f(x)=-x2-2(a+1)+3在區(qū)間(-∞,3]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式將上例函數(shù)單調(diào)性改成在區(qū)間(1,2)上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

典例4 已知函數(shù)y=f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù),且f(2x-3)>f(5x-6),求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

變式將上面函數(shù)定義在(0,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

三、進(jìn)一步的思考

本教學(xué)設(shè)計(jì)以“活動(dòng)——過程——對(duì)象——圖式”4個(gè)階段展開,環(huán)環(huán)相扣,循序漸進(jìn).在“活動(dòng)”階段,教師創(chuàng)設(shè)問題情境的目的主要在于讓學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性概念的直觀背景和概念間的關(guān)系,感知函數(shù)變量之間的相互依賴關(guān)系.在該階段中獲得了初步感覺印象的基礎(chǔ)上,“過程”階段需對(duì)其不斷進(jìn)行完善,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)生在操作中反思反思,又在思考中操作,這樣得到“函數(shù)單調(diào)性”概念的認(rèn)識(shí),并且進(jìn)入“對(duì)象”階段.第三階段是對(duì)以上2個(gè)階段抽象出的概念所特有的性質(zhì)賦予形式話的定義及符號(hào),使其達(dá)到精致化,成為一個(gè)具體的對(duì)象.圖式階段是將概念作為一個(gè)已知對(duì)象應(yīng)用到它生存的土壤或背景中,促進(jìn)概念的內(nèi)化.

簡而言之,APOS理論作為一種數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)論,為我們提供的循環(huán)上升的連續(xù)的階段,牽引并支持著學(xué)生在自己的經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)本質(zhì)之間不斷對(duì)話,在連續(xù)性地回顧與反思過程中提升、擴(kuò)充學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí),豐富、深化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.