楊福勇 楊正朝 張龍宇

摘 要：為了解數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史分布情況，促進(jìn)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂.研究以人教版、蘇教版和北師大版高中數(shù)學(xué)教材為對(duì)象，從章前頁(yè)、內(nèi)容編排、呈現(xiàn)方式、數(shù)學(xué)史四個(gè)方面對(duì)數(shù)列內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比分析.基于此，提出幾點(diǎn)建議：統(tǒng)籌規(guī)劃教材中數(shù)學(xué)史的“數(shù)量”及“質(zhì)量”；基于HPM視角下設(shè)計(jì)教學(xué)，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的多元化；數(shù)學(xué)史融入要符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，合理設(shè)計(jì)教材內(nèi)容.

關(guān)鍵詞：數(shù)列；數(shù)學(xué)史；教材對(duì)比

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，要將數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容中，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展，感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、創(chuàng)新意識(shí)和人文素養(yǎng)［1］.可見，課標(biāo)強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)文化在課程實(shí)施中的重要性，數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，其融入課堂是十分必要的.近年來(lái)，隨著數(shù)學(xué)史研究的深入，其已然成為數(shù)學(xué)教育界的研究熱點(diǎn).HPM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系）視角下的數(shù)學(xué)研究成為眾多學(xué)者關(guān)注的焦點(diǎn)，相關(guān)研究成果不斷涌現(xiàn).對(duì)此，研究以人教版、蘇教版和北師大版高中數(shù)學(xué)教材為對(duì)象，從章前頁(yè)、內(nèi)容編排、呈現(xiàn)方式、數(shù)學(xué)史四個(gè)方面進(jìn)行對(duì)比分析，旨在為教材編制和教學(xué)開展提供參考.

1 三版教材中數(shù)列內(nèi)容的對(duì)比分析

1.1 數(shù)列中章前頁(yè)的對(duì)比

在章前頁(yè)中，三版教材都以不同的情境創(chuàng)設(shè)，介紹了數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用.人教版和蘇教版都是通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活情境提出問(wèn)題，而北師大版則利用科技史來(lái)揭示數(shù)列的內(nèi)涵，透過(guò)數(shù)字的規(guī)律性探索數(shù)學(xué)本質(zhì)及特征，注重培養(yǎng)學(xué)生的“四能”.不同之處在于：一是，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提出，人教版和北師大版直接給出，而蘇教版沒(méi)有；二是，蘇教版有安排章目錄，這便于學(xué)生清晰地了解本章要學(xué)習(xí)的具體內(nèi)容，而人教版和北師大版沒(méi)有.

1.2 數(shù)列中內(nèi)容編排的對(duì)比

通過(guò)對(duì)章節(jié)目錄進(jìn)行梳理，統(tǒng)計(jì)三版教材數(shù)列內(nèi)容編排情況（表1）.在內(nèi)容編排上，三版教材

存在著一定的異同點(diǎn).共同之處在于：一方面，三版教材都遵循由“數(shù)列→等差數(shù)列→等比數(shù)列→數(shù)學(xué)歸納法”循序漸進(jìn)的內(nèi)容排序，符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展.另一方面，都將斐波那契數(shù)列作為閱讀素材，擴(kuò)充了學(xué)生課外閱讀量.不同點(diǎn)：一是，章節(jié)數(shù)不同，人教版和蘇教版都是設(shè)計(jì)了四節(jié)，而北師大版有五節(jié).二是，北師大版將函數(shù)特性放在第一節(jié)中，并增設(shè)了“數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用”，反映了以函數(shù)視角看待數(shù)列問(wèn)題，強(qiáng)調(diào)了數(shù)列與實(shí)際生活的關(guān)聯(lián)性，而人教版和蘇教版盡管沒(méi)有獨(dú)立設(shè)計(jì)此內(nèi)容，但是在文中卻有所體現(xiàn).

1.3 數(shù)列中呈現(xiàn)方式的對(duì)比

數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列作為數(shù)列學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，研究以這三個(gè)板塊內(nèi)容作為分析對(duì)象，將其以概念導(dǎo)入的呈現(xiàn)方式羅列出來(lái)，見表2.

由表2可知，在呈現(xiàn)方式中，能夠發(fā)現(xiàn)三版教材概念導(dǎo)入方式大致一樣，都是以不同的情境設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生歸納其共同特點(diǎn)，從而得出相關(guān)概念，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力.不同點(diǎn)在于：一是，從情境類型來(lái)看，人教版和北師大版的問(wèn)題情境更為豐富，其中涉及數(shù)學(xué)史方面的內(nèi)容，如高斯的等差數(shù)列求和方法，能夠讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的演變，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)家所具備的探究精神以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.二是，在等比數(shù)列的前n項(xiàng)和中，蘇教版沒(méi)有背景導(dǎo)入，比較直接地提出“如何求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和？”這一問(wèn)題，略顯生硬，尤其是基礎(chǔ)差的學(xué)生，很難快速進(jìn)入問(wèn)題解決過(guò)程.三是，北師大版在每個(gè)概念導(dǎo)入環(huán)節(jié)，都增設(shè)了由案例分析到抽象概括的過(guò)程，將“抽象概括”單獨(dú)設(shè)計(jì)出來(lái)，從中能夠清晰地體現(xiàn)出從實(shí)際問(wèn)題解決到抽象化的過(guò)程，其層次清晰，特點(diǎn)鮮明，讓人眼前一亮，充分展現(xiàn)了培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力的重要性.盡管人教版和蘇教版沒(méi)有刻意突顯抽象概括這一板塊，但實(shí)際上是蘊(yùn)含的.

1.4 數(shù)列中數(shù)學(xué)史的對(duì)比

數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，教科書作為數(shù)學(xué)課堂的重要工具.梳理教科書內(nèi)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，能夠?yàn)閿?shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課堂的融合創(chuàng)造條件.因此，對(duì)數(shù)列這一章的數(shù)學(xué)史進(jìn)行分析，由于數(shù)列內(nèi)容中，個(gè)別“閱讀與思考”板塊出現(xiàn)多個(gè)數(shù)學(xué)史介紹，如人教版第42頁(yè)的“閱讀與思考”連續(xù)出現(xiàn)古埃及的“加罕紙草書”、中國(guó)古代“垛積術(shù)”、劉徽在《九章算術(shù)》給出等差數(shù)列的求和方法等，本文進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3所示.

在數(shù)學(xué)史總數(shù)上，人教版最多，出現(xiàn)次數(shù)高達(dá)11次；其次是蘇教版，有7次；最后是北師大版，僅有2次.由此可見，人教版與蘇教版較為注重?cái)?shù)學(xué)史融入教科書，為相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了豐富的背景知識(shí)，拓展了學(xué)生的眼界.在數(shù)學(xué)史類別上，三版教材主要以人物與事件、問(wèn)題與求解、概念與術(shù)語(yǔ)等為主，例如楊輝所著《詳解九章算法·商功》中的“三角垛”、劉徽在《九章算術(shù)》中給出了等差數(shù)列的求和方法、斐波那契數(shù)列，介紹了數(shù)學(xué)家及其著作、問(wèn)題的解法和術(shù)語(yǔ)的產(chǎn)生等相關(guān)內(nèi)容，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力，讓學(xué)生親身體會(huì)數(shù)學(xué)的歷史演變以及數(shù)學(xué)家在探究真理的科學(xué)精神，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在數(shù)學(xué)史安排的位置上，主要安排在教材的習(xí)題、閱讀與思考部分.一方面，數(shù)學(xué)史與教材習(xí)題的融合是高考命題的源頭，其不僅能夠極大地提升學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，而且為學(xué)生提前適應(yīng)高考試題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).另一方面，閱讀與思考不僅僅是閱讀素材那么簡(jiǎn)單.近年來(lái)，隨著高考改革，高考中部分試題的問(wèn)題情境加大了對(duì)學(xué)生閱讀和理解能力的考查，通過(guò)學(xué)習(xí)閱讀與思考部分，不但能夠拓展學(xué)生知識(shí)面，提升學(xué)生的快速閱讀能力，也可以滿足學(xué)生的好奇心，尤其是其中蘊(yùn)含著公式證明、術(shù)語(yǔ)引入等內(nèi)容，能夠培養(yǎng)學(xué)生推理和探究的能力.此外，蘇教版在4.2等差數(shù)列習(xí)題中，設(shè)計(jì)了一道開放型試題，即“查閱‘楊輝三角、《四元玉鑒》等資料，撰寫小論文”，試題新穎獨(dú)特，能夠營(yíng)造學(xué)生內(nèi)部的學(xué)習(xí)氛圍，提升學(xué)生民族自豪感和文化自信，感悟我國(guó)古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，落實(shí)立德樹人的目標(biāo).

2 幾點(diǎn)建議

2.1 統(tǒng)籌規(guī)劃教材中數(shù)學(xué)史的“數(shù)量”及“質(zhì)量”

通過(guò)上述研究表明，三版教材數(shù)學(xué)史的數(shù)量存在一定的差異性，尤其是北師大版，對(duì)數(shù)學(xué)史的編排相對(duì)較少.近年來(lái)，高校教師、研究者以及一線數(shù)學(xué)教師紛紛投入數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的探索中，并取得了一定的成效，針對(duì)數(shù)學(xué)史的研究成果與日俱增.這足以證明在教科書中滲透數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)是十分有必要的，得到了眾多學(xué)者的肯定.因此，一方面，要增加數(shù)學(xué)史的數(shù)量.可以從習(xí)題出發(fā)，在相關(guān)例題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題等環(huán)節(jié)，以數(shù)學(xué)史為背景知識(shí)，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這樣做既可以滿足命題需要，豐富試題數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵，同時(shí)也可以培養(yǎng)學(xué)生在前人知識(shí)的沉淀中，學(xué)會(huì)獨(dú)立解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)探索精神，激發(fā)求知欲.亦可以在“章前頁(yè)”和“閱讀與思考”中添加數(shù)學(xué)史，有利于引出章節(jié)內(nèi)容要點(diǎn)，為拓展學(xué)生知識(shí)面提供必要的理論基礎(chǔ)，尤其是介紹一些重要數(shù)學(xué)公式、公理的證明，抑或者增設(shè)相關(guān)數(shù)學(xué)名詞的由來(lái)等方面的內(nèi)容.另一方面，毫無(wú)節(jié)制的量的堆積往往會(huì)適得其反.這就需要教材編制人員在選擇史料時(shí)，充分考慮到數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，重視數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，立足于趣味性、科學(xué)性、有效性、可學(xué)性、新穎性等原則，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.

2.2 基于HPM視角下設(shè)計(jì)教學(xué)，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的多元化

上述研究發(fā)現(xiàn)，多數(shù)數(shù)學(xué)史內(nèi)容更多地放置在正式教學(xué)內(nèi)容之外，如閱讀與思考等位置，對(duì)于學(xué)生而言，閱讀與思考部分往往容易受到學(xué)生忽視，加上高中課程較多，作業(yè)壓力大，極少有學(xué)生去學(xué)習(xí)，這也就導(dǎo)致了其設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容沒(méi)有受到學(xué)生的足夠重視，沒(méi)有起到應(yīng)有的教育意義.此外，在以往的教學(xué)實(shí)踐中，多數(shù)教師為了節(jié)省授課時(shí)間完成教學(xué)任務(wù)，通常直接講授知識(shí)點(diǎn)和習(xí)題，這就使得數(shù)學(xué)課堂缺乏生機(jī)，枯燥無(wú)味，營(yíng)造了較為壓抑的課堂氛圍.為了落實(shí)數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值，活躍課堂氛圍，教師應(yīng)該合理設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用，通過(guò)挑選優(yōu)質(zhì)數(shù)學(xué)史料，基于HPM視角設(shè)計(jì)教學(xué)，將數(shù)學(xué)史的價(jià)值真正實(shí)現(xiàn)在課堂中落地生根.如利用印度泰姬陵的陵寢中等邊三角形圖案，計(jì)算寶石總個(gè)數(shù)，引出等差數(shù)列前n項(xiàng)和求法，或引入高斯的簡(jiǎn)單求“1+2+3+4+…+100=？”的方法，進(jìn)而抽象出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法.通過(guò)上述實(shí)例，能夠啟發(fā)學(xué)生思考問(wèn)題的積極性，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究的樂(lè)趣，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)史的有機(jī)融合.

2.3 數(shù)學(xué)史融入要符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，合理設(shè)計(jì)教材內(nèi)容

三版教材在設(shè)計(jì)數(shù)列概念引入時(shí)，都是以現(xiàn)實(shí)生活方面知識(shí)為情境來(lái)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，充分符合學(xué)生認(rèn)知水平現(xiàn)狀和教材內(nèi)容的編排邏輯順序.倘若將三版教材閱讀材料部分都涉及的“斐波那契數(shù)列”作為數(shù)列概念導(dǎo)入的背景，可能會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)理解數(shù)列概念造成困難，原因在于斐波那契數(shù)列雖屬數(shù)列范疇，但是從閱讀材料中不難發(fā)現(xiàn)，其蘊(yùn)含著大量的文字簡(jiǎn)介，數(shù)字規(guī)律性較強(qiáng)，涉及的語(yǔ)言表述對(duì)于初學(xué)數(shù)列的學(xué)生來(lái)說(shuō)，晦澀難懂.對(duì)此，教科書將其放置在閱讀材料中，是有一定道理的，這樣能夠供有興趣、有能力的學(xué)生增加課外數(shù)學(xué)閱讀量，形成理性和邏輯思維.因此，要統(tǒng)籌教材內(nèi)容排版，基于學(xué)生認(rèn)知，保證數(shù)學(xué)史與教材內(nèi)容的適切性，在教科書中融入數(shù)學(xué)史要有章可循，數(shù)學(xué)史的位置要符合教材內(nèi)容的邏輯順序，同時(shí)，正文中切勿設(shè)計(jì)難度較大的史料背景，以免學(xué)生形成畏難情緒.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.