蔣國(guó)慶 李葦

摘要：除去基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的傳授，數(shù)學(xué)教學(xué)最根本的任務(wù)應(yīng)當(dāng)是教會(huì)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生高層次的思維能力.本文以一道高考數(shù)學(xué)解析幾何題的解題為例，對(duì)如何在不斷地探究中培養(yǎng)學(xué)生的高層次思維能力進(jìn)行了深入探究.

關(guān)鍵詞：解析幾何；高層次思維；變式探究

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開數(shù)學(xué)思維能力的提升，而數(shù)學(xué)高層次思維能力又是其中的關(guān)鍵．高層次思維緣起于Bloom提出的認(rèn)知目標(biāo)分類，隨后Anderson將其修訂為記憶、理解、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造，其中分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造通常被稱作“高層次思維”．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)重在運(yùn)算，教學(xué)實(shí)踐中，不能只教會(huì)學(xué)生死記方法，生搬硬套，這樣思維只會(huì)停留在較低層次．而要想培養(yǎng)學(xué)生的高層次思維能力，就需要引導(dǎo)學(xué)生正確理解運(yùn)算對(duì)象，選擇運(yùn)算方向；分析比較運(yùn)算思路，優(yōu)化運(yùn)算程序；追根溯源推廣引申，揭示問題本質(zhì)，進(jìn)而達(dá)到提升核心素養(yǎng)的目的．下面就以2022年新高考卷的解幾題為例，談?wù)勅绾卧诓粩嗟靥骄恐信囵B(yǎng)學(xué)生的高層次思維能力，落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．

題目（2022新高考Ⅰ卷21題）已知點(diǎn)A（2，1）在雙曲線C：x2a2－y2a2－1=1（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0．

（1） 求l的斜率；

（2） 若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面積．

1解法探究，運(yùn)算思路多元化

下面主要以第一小問為研究對(duì)象．

解法1設(shè)直線AP的方程為y=k（x－2）+1，與雙曲線C的方程x22－y2=1聯(lián)立，消去y得（1－2k2）x2+4k（2k－1）x－8k2+8k－4=0．

因?yàn)閤A，xp為該方程的兩根，

所以xAxp=－8k2+8k－41－2k2，xp=4k2-4k+22k2-1，yp=k（xp－2）+1=2k2－4k+11－2k2．

因?yàn)橹本€AP，AQ的斜率之和為0，所以直線AQ的方程為y=－k（x－2）+1，同理可解得xQ=4k2+4k+22k2－1，yQ=2k2+4k+11－2k2，

故yP－yQxP－xQ=2k2－4k+11－2k2－2k2+4k+11－2k24k2－4k+22k2－1－4k2+4k+22k2－1=－1．

評(píng)注：本題的問題非常明確，就是計(jì)算直線的斜率，而斜率怎么求解，最直接的方法就是用斜率的坐標(biāo)公式來計(jì)算，問題就轉(zhuǎn)變成如何求解P，Q的坐標(biāo)．解法1思路清晰，學(xué)生容易想到，但運(yùn)算量較大，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算的毅力以及字母運(yùn)算的準(zhǔn)確性都有較高的要求，另外還要注意借助直線AP，AQ的方程的同構(gòu)特點(diǎn)來簡(jiǎn)化運(yùn)算．

解法2由題可知直線l的斜率存在，設(shè)l：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），由y=kx+m

x22－y2=1

化簡(jiǎn)得（2k2－1）x2+4kmx+2m2+2=0，

所以x1+x2=－4km2k2－1，x1x2=2m2+22k2－1．

因?yàn)閗AP+kAQ=y1－1x1－2+y2－1x2－2=kx1+m－1x1－2+kx2+m－1x2－2=0，

所以2k（2m2+2）2k2－1+（m－1－2k）－4km2k2－1－4（m－1）=0，

化簡(jiǎn)得（k+1）（m+2k－1）=0．

當(dāng)m+2k－1=0時(shí)，直線l過點(diǎn)A，不合題意，舍去，所以k=－1．

評(píng)注：解法2依然立足于研究點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線l的方程與雙曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理設(shè)而不求來處理．這是解析幾何中的常用的方法，平時(shí)的解題教學(xué)中訓(xùn)練得比較多，優(yōu)點(diǎn)是學(xué)生容易上手，缺點(diǎn)是運(yùn)算量稍大，最后對(duì)二元二次方程進(jìn)行因式分解也有一定難度．

解法3設(shè)過點(diǎn)A的直線方程為y=k（x－2）+1，直線l的方程為y=k0x+m，

由y=k0x+m

y=k（x－2）+1得xP=m+2k－1k－k0

yP=2kk0－k0+mkk－k0，

代入雙曲線方程x22－y2=1整理得，

［4－2（2k0+m）2－2］k2+4［（m－1）+k0（2k0+m）+k0］k+［（m－1）2－4k02］=0．

直線AP，AQ的斜率k1，k2可以看做是該方程的兩個(gè)根，

所以由k1+k2=0可得（m－1）+k0（2k0+m）+k0=0，

即（k0+1）（2k0+m－1）=0．

因?yàn)橹本€l不過點(diǎn)A，所以2k0+m－1≠0，

所以k0=－1，即直線l的斜率為－1．

評(píng)注：設(shè)出直線聯(lián)立方程組是解決本題的基本方法，解法1、2是由直線與雙曲線聯(lián)立方程組來求解的，而解法3將兩條直線聯(lián)立方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入雙曲線方程，再利用同構(gòu)思想將直線AP，AQ的斜率看做二次方程的兩個(gè)根．解法3體現(xiàn)了對(duì)運(yùn)算對(duì)象的深層次的理解，思維水平較解法1、2有了提升.

解法4設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），AP，AQ的斜率為k1，k2，

所以k1+k2=y1－1x1－2+y2－1x2－2=0.

將雙曲線方程為x22－y2=1變形為：（x－2+2）22－（y－1+1）2=1（），

且設(shè)直線l：m（x－2）+n（y－1）=1.

由（）式整理得（x－2）2－2（y－1）2+4［（x－2）－（y－1）］=0，

（x－2）2－2（y－1）2+4［（x－2）－（y－1）］×［m（x－2）+n（y－1）］=0，

（4n+2）（y－1）2（x－2）2+（4m－4n）y－1x－2－（4m+1）=0，

即（4n+2）k2+（4m－4n）k－（4m+1）=0.

而k1，k2是此方程的兩根，所以k1+k2=4n－4m4n+2=0，m=n，

所以直線l的斜率為－1．

評(píng)注：化齊次的解法在解決直線的斜率和或斜率積的定值問題時(shí)，常常有化繁為簡(jiǎn)的效果．該解法的核心是抓住斜率的表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形，關(guān)鍵步驟是變齊次式，雖然運(yùn)算量不大，但技巧性較強(qiáng)，需要一定量的訓(xùn)練學(xué)生才能掌握．

解法5設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由點(diǎn)P，Q，A都在雙曲線C上可得，

x212－y21=1 ①，x222－y22=1 ②，222－12=1 ③

①式減③式變形得，

kPA=y1－1x1－2=x1+22（y1+1），

同理可得kPB=y2－1x2－2=x2+22（y2+1）．

由kPA+kPB=0可得y1－1x1－2=－x2+22（y2+1），

化簡(jiǎn)得2（y1y2+y1－y2－1）=－（x1x2+2x1－2x2－4）④，

同理由y2－1x2－2=－x1+22（y1+1）化簡(jiǎn)得，

2（y1y2+y2－y1－1）=－（x1x2+2x2－2x1－4）⑤．

④式減⑤式得y1－y2=x2－x1，

從而kPQ=y1－y2x1－x2=－1，即直線l的斜率為－1．

評(píng)注：設(shè)線聯(lián)立與設(shè)點(diǎn)構(gòu)造是解析幾何的兩種主要方法．設(shè)線法往往運(yùn)算量較大，設(shè)點(diǎn)法技巧性強(qiáng)，各有優(yōu)點(diǎn)．解法5設(shè)點(diǎn)作差再進(jìn)行變形運(yùn)算，式子對(duì)稱簡(jiǎn)潔，運(yùn)算量小，解決本題有奇效，但需要較高的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)才能完成．

2變式探究，揭示問題本質(zhì)

在求出上述問題后，自然會(huì)有以下思考．

思考1如果將點(diǎn)A的坐標(biāo)變一變，直線l的斜率是否還是定值．

變式1已知點(diǎn)A（4，7）在雙曲線C：x22－y2=1上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0，求l的斜率．

思考2如果將試題中的雙曲線改為橢圓或者拋物線，直線l的斜率是否還是定值．

變式2已知點(diǎn)A1，22在橢圓C：x22+y2=1上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0，求l的斜率．

變式3已知點(diǎn)A（1，2）在拋物線y2=4x上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0，求l的斜率．

通過變式2和變式3可以發(fā)現(xiàn)，將雙曲線換成橢圓或拋物線，直線l的斜率還是定值，于是我們有理由將問題推廣到更一般的情形．

思考3點(diǎn)A與曲線都一般化后，又有什么規(guī)律呢？

利用解法5設(shè)點(diǎn)作差的方法，可以很容易證明（過程略）出以下一般性的命題．

命題1已知點(diǎn)A（x0，y0）（y0≠0）在雙曲線C：x2a2－y2b2=1上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0，則l的斜率為定值－b2a2x0y0，反之成立．

命題2已知點(diǎn)A（x0，y0）（y0≠0）在橢圓C：x2a2+y2b2=1上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0，則l的斜率為定值b2a2x0y0，反之成立．

命題3已知點(diǎn)A（x0，y0）（y0≠0）在拋物線C：y2=2px上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0，則l的斜率為定值－py0，反之成立．

如果本題僅僅停留于對(duì)各種解法的探討，雖然對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力以及分析、評(píng)價(jià)等思維能力的培養(yǎng)有一定的作用，但不能變式遷移，推廣引申，終將是只見樹木不見森林，缺乏對(duì)問題的深入思考，不能培養(yǎng)創(chuàng)造性運(yùn)用的高層次思維能力．

3背景探究，追求問題本源

上述對(duì)問題（1）的探究，都是一些常規(guī)的思路，我們還需要對(duì)命題的背景追根溯源一探究竟．

定理若兩條直線與二次曲線C：ax2+by2+cx+dy+e=0（a≠b）有四個(gè)交點(diǎn)則這四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是這兩條直線的斜率均不存在或這兩條直線的斜率均存在且互為相反數(shù)．

當(dāng)四個(gè)交點(diǎn)退化為三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即其中有兩個(gè)點(diǎn)重合時(shí)，可以得到以下推論．

推論設(shè)點(diǎn)A是圓錐曲線C的定點(diǎn)但不是頂點(diǎn)，E、F是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AE、AF的斜率互為相反數(shù)，則直線EF的斜率為曲線C過點(diǎn)A的切線斜率的相反數(shù)（定值）．

很明顯2022新高考Ⅰ卷第21題的第（1）問就是根據(jù)上述推論來命題的．事實(shí)上，在2009年的遼寧高考卷理科第20題就已經(jīng)考過這種問題，其他諸如2005年的江西卷文科第21題，2004年北京卷理科第17題等高考題中都曾考過這個(gè)問題．

4結(jié)束語

鄭毓信教授說過“數(shù)學(xué)要為學(xué)生的思維發(fā)展而教”．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)的立足點(diǎn)應(yīng)是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，尤其是學(xué)生高層次思維的培養(yǎng)．在上述的問題探究中，通過分析運(yùn)算對(duì)象對(duì)多種解題方法進(jìn)行探究，拓寬學(xué)生思維廣度．對(duì)不同方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較分析，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維．圍繞一個(gè)問題進(jìn)行變式研究，由確定的點(diǎn)到任意的點(diǎn)，由雙曲線到一般圓錐曲線，學(xué)生“變”出一個(gè)個(gè)“新問題”，又在問題的求解過程中逐漸地看清題目的本質(zhì)，最后的本源探究將學(xué)生的深度學(xué)習(xí)推向了頂峰，創(chuàng)造性思維能力在探究的過程中得到培養(yǎng)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也從“雙基”層面提升到了“學(xué)科思維”層面．

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基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2018年度課題——培養(yǎng)高中生高層次數(shù)學(xué)思維能力的實(shí)踐研究（項(xiàng)目編號(hào)：C-b/2018/02/21）．