蔡文捷

摘要：以平面向量為基礎(chǔ)的創(chuàng)新應(yīng)用問題，有其特定的幾何意義和計(jì)數(shù)形式，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)、基本思想方法與基本數(shù)學(xué)能力的要求很高.本文探究一道以平面向量為背景的新定義題，展示平面向量獨(dú)特的內(nèi)涵與性質(zhì).

關(guān)鍵詞：平面向量；幾何意義；數(shù)量積

平面向量同時(shí)具有“數(shù)”的性質(zhì)與“形”的特征，一直是高考中創(chuàng)設(shè)情境問題與創(chuàng)新定義的一個(gè)重要知識(shí)來源.借助平面向量的知識(shí)背景，或通過“數(shù)”的視角加以抽象或運(yùn)算，或通過“形”的直觀加以設(shè)置或切入，其形式新穎，變化多端．本文以一道高考新定義題為例對(duì)此作些探索.

1問題呈現(xiàn)

設(shè)向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），記a*b=x1x2－y1y2，若圓C：x2+y2－2x+4y=0上的任意三點(diǎn)A1，A2，A3，且A1A2⊥A2A3，則|OA1*OA2+OA2*OA3|的最大值是．

此題以向量的創(chuàng)新運(yùn)算定義為問題背景，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算與幾何意義、圓的方程與幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等相關(guān)知識(shí)考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用．向量的創(chuàng)新運(yùn)算定義與平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算有一定有聯(lián)系與區(qū)別，學(xué)生在解決此類問題時(shí)需要合理形成類比法與知識(shí)遷移．

2問題解決

0方法1：（向量幾何意義+線性規(guī)劃法）

0解析：由圓C的方程配方可得（x－1）2+（y+2）2=5，則圓心C（1，－2），半徑r=5，

設(shè)A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），

由A1A2⊥A2A3，可得A1A3為圓C的直徑，

則有x1+x32=1，y1+y32=－2，

即x1+x3=2，y1+y3=－4，

可得|OA1*OA2+OA2*OA3|=|x1x2－y1y2+x2x3－y2y3|=|x2（x1+x3）－y2（y1+y3）|=|2x2+4y2|，

而A2為圓C上的任意一點(diǎn)，則當(dāng)直線2x+4y+b=0與圓（x－1）2+（y+2）2=5相切時(shí)|2x2+4y2|有最大值，

由于圓心C到直線2x+4y+b=0的距離d=|2×1-4×2+b|4+16=5，解得b=16或b=－4，由于|－4|≤16，所以當(dāng)b=16時(shí)，原式有最大值16．

0解后反思：利用圓上的三點(diǎn)所滿足的條件，結(jié)合圓的性質(zhì)確定直徑A1A3過圓心C，進(jìn)而構(gòu)建對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，接著利用向量的創(chuàng)新運(yùn)算定義和線性規(guī)劃將其轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問題，然后結(jié)合直線與圓相切時(shí)有最值，利用點(diǎn)到直線的距離公式來確定參數(shù)值，從而得以解決對(duì)應(yīng)的最值問題．思路自然，方法流暢．

0方法2：（向量幾何意義+參數(shù)方程法）

0解析：由圓C的方程配方可得（x－1）2+（y+2）2=5，則圓心C（1，－2），半徑r=5，

由A1A2⊥A2A3，可得A1A3為圓C的直徑，

設(shè)A1（1+5cosα，－2+5sinα），A2（1+5cosβ，－2+5sinβ），

則有A3（1+5cos（π+α），－2+5sin（π+α）），即A3（1－5cosα，－2－5sinα），

結(jié)合創(chuàng)新定義，可得|OA1*OA2+OA2*OA3|=|（1+5cosα）（1+5cosβ）－（－2+5sinα）（－2+5sinβ）+（1+5cosβ）（1－5cosα）－（－2+5sinβ）（－2－5sinα）|

=|2（1+5cosβ）+4（－2+5sinβ）|=|45sinβ+25cosβ－6|=|10sin（β+φ）－6|≤16，

所以原式有最大值16，故填答案：16．

0解后反思：借助圓的參數(shù)方程，引入兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)，利用A1A3為圓C的直徑來確定第三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而通過向量的創(chuàng)新運(yùn)算定義來列式，并利用三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式，從而得以確定對(duì)應(yīng)關(guān)系式的最值問題．利用三角函數(shù)來確定最值問題有一定的優(yōu)勢(shì)，關(guān)鍵就是合理引入對(duì)應(yīng)的角參，并利用三角函數(shù)的知識(shí)加以消參與變形，然后結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定對(duì)應(yīng)的最值問題．

0方法3：（特殊位置法）

0解析：由圓C的方程配方可得（x－1）2+（y+2）2=5，則圓心C（1，－2），半徑r=5，

由A1A2⊥A2A3，可得A1A3為圓C的直徑，取A1（0，0），則知A3（2，－4），

設(shè)A2（1+5cosθ，－2+5sinθ），

結(jié)合創(chuàng)新定義，可得|OA1*OA2+OA2*OA3|=|2（1+5cosθ）－（－4）（－2+5sinθ）|=|45sinθ+25cosθ－6|=|10sin（θ+φ）－6|≤16，

所以原式有最大值16，故填答案：16．

0解后反思：利用A1A3為圓C的直徑的性質(zhì)，選取特殊位置來確定其中的兩個(gè)點(diǎn)，并引入圓的參數(shù)方程來確定另外一點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)，通過向量的創(chuàng)新運(yùn)算定義來列式，合理簡(jiǎn)化三角函數(shù)關(guān)系式的運(yùn)算與化簡(jiǎn)過程，以特殊位置中的“靜”來特殊化解決“動(dòng)”的問題，實(shí)現(xiàn)特殊與一般思維的轉(zhuǎn)化，使得處理問題更加簡(jiǎn)捷．

0方法4：（向量數(shù)量積法）

0解析：由圓C的方程配方可得（x－1）2+（y+2）2=5，則圓心C（1，－2），

其關(guān)于x軸對(duì)稱的圓C1的方程為（x+1）2+（y+2）2=5，則C1（1，2），

由A1A2⊥A2A3，可得A1A3為圓C的直徑，則有OA1+OA3=2OC，

可得|OA1*OA2+OA2*OA3|=|OA2*（OA1+OA3）|

=|OA2*2OC|=2|OA2*OC|=2|OA2·OC1|，

如圖1所示，顯然當(dāng)OA2位于OC1的反向延長(zhǎng)線的投影最長(zhǎng)時(shí)（設(shè)為點(diǎn)Q），此時(shí)PC∥OC1，對(duì)應(yīng)直線OC1的方程為y=2x，可知直線PC的方程為y+2=2（x－1），即y=2x－4，此時(shí)直線PC與圓C的交點(diǎn)P時(shí)，|OA2·OC1|取得最大值，

將y=2x－4代入圓C：x2+y2－2x+4y=0，可得x2－2x=0，

解得x=0或x=2，則知P（0，－4），

那么OP·OC1=（0，－4）·（1，2）=－8，

所以2|OA2·OC1|的最大值為2×8=16，即原式有最大值16，故填答案：16．

0解后反思：將向量的創(chuàng)新運(yùn)算定義轉(zhuǎn)化為熟知的平面向量的數(shù)量積問題，然后抓住對(duì)稱以及平面幾何圖形的特征，結(jié)合平面解析幾何中直線、圓的方程的確定與關(guān)系的求解，利用投影的定義加以數(shù)形結(jié)合，進(jìn)而直觀分析解決創(chuàng)新應(yīng)用問題．此類化歸與轉(zhuǎn)化問題，是將創(chuàng)新定義轉(zhuǎn)化為已有知識(shí)，思路新穎，直觀形象．

3變式拓展

涉及兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的差的關(guān)系是一個(gè)創(chuàng)新特殊與新穎的表達(dá)式，與平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式有一定有聯(lián)系與區(qū)別，也為問題的創(chuàng)新設(shè)置與巧妙破解提供一定的指導(dǎo)與創(chuàng)新．

0【變式】已知雙曲線x2a2－y2=1（a>0），雙曲線上右支上有任意兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），滿足x1x2－y1y2>0恒成立，則a的取值范圍是．（解略）

4教學(xué)啟示

4.1回歸本質(zhì)，重視基礎(chǔ)

以平面向量為問題情境的創(chuàng)新應(yīng)用中，通過巧妙設(shè)置，回歸平面向量的問題本質(zhì)，利用熟悉化歸轉(zhuǎn)化為平面向量的基本概念、基本運(yùn)算、幾何意義或數(shù)量積等相關(guān)的知識(shí).總結(jié)來說，就是通過“形”的特征加以數(shù)形結(jié)合，直觀處理；通過“數(shù)”的性質(zhì)加以數(shù)學(xué)運(yùn)算，代數(shù)變形．但無論怎樣，都離不開平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，從基礎(chǔ)中來，到基礎(chǔ)中去．

4.2合理聯(lián)系，類比應(yīng)用

對(duì)于高考中創(chuàng)新變點(diǎn)之一的情境信息創(chuàng)新題，是依托已有的概念、運(yùn)算法則和運(yùn)算律等的基礎(chǔ)上定義的一種新的概念、運(yùn)算、規(guī)則、性質(zhì)等的問題，關(guān)鍵是抓住題目條件中對(duì)應(yīng)的定義新概念、設(shè)置新運(yùn)算、遷移新信息、創(chuàng)設(shè)新題型等信息，通過類比并結(jié)合原有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上中的定義、性質(zhì)、公式、方法等視角加以創(chuàng)新、應(yīng)用、探究，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)與能力的綜合、提升與拓展等，真正達(dá)到創(chuàng)新應(yīng)用與深入探究的目的．