張正君

摘要：“一題多解”可以很好地考查學(xué)生的邏輯思維能力與數(shù)學(xué)發(fā)散思維等，教師應(yīng)注重將“一題多解”的意識滲透到數(shù)學(xué)解題教學(xué)中．本文結(jié)合一道解三角形的證明題，從三角函數(shù)、解三角形、推理證明以及平面幾何等不同的視角切入并展示不同方法，讓學(xué)生在解題探究中感悟數(shù)學(xué)思想方法之美，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，開拓學(xué)生視野，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)．

關(guān)鍵詞：解三角形；三角函數(shù)；推理證明；平面幾何

“一題多解”的倡導(dǎo)與實(shí)施，在一定程度上可以開闊學(xué)生解題思路，發(fā)散學(xué)生數(shù)學(xué)思維，多角度、多層面去分析、處理與解決問題．借助“一題多解”，在發(fā)散學(xué)生數(shù)學(xué)思維的同時，優(yōu)選最佳的方法，并在此過程中不斷探究，靈活變通，實(shí)現(xiàn)在探究中升華能力，研究之路定會越鋪越遠(yuǎn)．

1問題呈現(xiàn)

問題在△ABC中，內(nèi)角A，B，C滿足2sin2A+sin2B=2sin2C．

（1） 求證：tanC=3tanA；

（2） 求1/tanA+2/tanB+3/tanC的最小值．

此題以三角形中的對應(yīng)內(nèi)角的正弦值的平方關(guān)系式來創(chuàng)設(shè)問題情境，進(jìn)而證明兩內(nèi)角的正切值之間的數(shù)量關(guān)系，以及求解三內(nèi)角的正切值的倒數(shù)的關(guān)系式的最值問題．這里第一問中三角關(guān)系式的證明是問題的難點(diǎn)與關(guān)鍵所在，結(jié)合題設(shè)條件，可以從三角函數(shù)、解三角形、推理證明以及平面幾何等思維視角切入，利用不同視角的思維展開與應(yīng)用來達(dá)到目的．本文僅對第（1）問加以剖析.

2問題破解

思維視角1：三角函數(shù)思維

方法1：（三角恒等變換法1）

由2sin2A+sin2B=2sin2C，可得2sin2A+sin2（A+C）=2sin2C，

則有2sin2A+（sinAcosC+cosAsinC）2=2sin2C，

展開有2sin2A+sin2Acos2C+cos2Asin2C+2sinAcosAsinCcosC=2sin2C，

可得2sin2A（sin2C+cos2C）+sin2Acos2C+cos2Asin2C+2sinAcosAsinCcosC=2sin2C（sin2A+cos2A），整理有3sin2Acos2C+2sinAcosAsinCcosC－cos2Asin2C=0，

以上式子兩邊同時除以cos2Acos2C，可得3tan2A+2tanAtanC－tan2C=0，

則有（3tanA－tanC）（tanA+tanC）=0，解得tanC=3tanA或tanA=－tanC（舍去），

所以結(jié)論tanC=3tanA成立．

解后反思：借助三角恒等變換法來處理解三角形問題，關(guān)鍵是抓住題設(shè)與結(jié)論中兩個不同的三角關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，利用證明目標(biāo)沒有涉及角B，借助三角形的內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式加以變形，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)建對應(yīng)的方程加以分析與求解．三角恒等變換法中對三角關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化具有較高的靈活性與技巧性．

方法2：（三角恒等變換法2）

由2sin2A+sin2B=2sin2C，結(jié)合二倍角公式，

可得sin2B=2sin2C－2sin2A=1－cos2C－（1－cos2A）=cos2A－cos2C，

而sin2B=sin2（A+C）=cos2A－cos2C=cos［（A+C）+（A－C）］ －cos［（A+C）－（A－C）］=－2sin（A+C）sin（A－C），

則有sin（A+C）=－2sin（A－C），展開有sinAcosC+cosAsinC =－2sinAcosC+2cosAsinC，

整理可得3sinAcosC=cosAsinC，則有tanC=3tanA．

解后反思：借助三角恒等變換法來處理解三角形問題，利用二倍角公式進(jìn)行降次處理，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式加以變形，綜合角的拆分處理與整體化思維，巧妙變形與應(yīng)用，利用三角恒等變換公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式來綜合處理．從另一個視角，將三角恒等變換公式巧妙應(yīng)用．

思維視角2：解三角形思維

方法3：（正弦定理與余弦定理綜合法1）

由2sin2A+sin2B=2sin2C，結(jié)合正弦定理可得2a2+b2=2c2，

而由余弦定理，可得cosC=a2+b2-c22ab=b4a=sinB4sinA，即4sinAcosC=sinB，

由誘導(dǎo)公式得4sinAcosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，可得3sinAcosC=cosAsinC，故有tanC=3tanA．

方法4：（正弦定理與余弦定理綜合法2）

由2sin2A+sin2B=2sin2C，結(jié)合正弦定理可得2a2+b2=2c2，

而由余弦定理，可得cosA=b2+c2-a22bc=3b4c=3sinB4sinC，即4sinCcosA=3sinB，

則有4sinCcosA=3sinB=3sin（A+C）=3sinAcosC+3cosAsinC，可得3sinAcosC=cosAsinC，故有tanC=3tanA．

解后反思：借助解三角形中的正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)“角”與“邊”之間的互化與恒等變形，綜合三角形的內(nèi)角和定理，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及三角恒等變換公式等，考慮題設(shè)條件與所證結(jié)論之間的聯(lián)系．解三角形中的正弦定理、余弦定理綜合法是處理解三角形問題中離不開的基本知識與技巧．

思維視角3：推理證明思維

方法5：（分析法）

要證tanC=3tanA，即證sinCcosC=3sinAcosA，

結(jié)合正弦定理與余弦定理，即證ca2+b2-c22ab=3ab2+c2-a22bc，等價整理有

3（a2+b2－c2）=b2+c2－a2Symbol[C@2a2+b2=2c2，

結(jié)合正弦定理，即證2sin2A+sin2B=2sin2C，即題設(shè)條件，

所以結(jié)論tanC=3tanA成立．

解后反思：借助邏輯推理中的分析法處理，執(zhí)果索因，逆向思維，吻合問題的分析歷程，遇“正切”利用“化正余弦”法轉(zhuǎn)化，遇“角”轉(zhuǎn)“邊”，遇“邊”借正弦定理恒等變形，再利用遇“邊”轉(zhuǎn)“角”等思維的轉(zhuǎn)化，與題設(shè)加以聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)分析法證明問題的目的．分析法更加契合邏輯推理過程中思維的歷程，是證明問題中比較常用的一種技巧方法．

思維視角4：平面幾何思維

方法6：（幾何法）

由2sin2A+sin2B=2sin2C，結(jié)合正弦定理可得2a2+b2=2c2，

如圖所示，過點(diǎn)B作ED⊥AC交AC于點(diǎn)D，

設(shè)BD=x，AD=m，CD=n，則b=m+n，

利用勾股定理，可得

c2=m2+x2，a2=n2+x2，

代入2a2+b2=2c2，可得2（n2+x2）+（m+n）2=2（m2+x2），整理可得3n2+2mn－m2=0，

則有（3n－m）（n+m）=0，解得m=3n（負(fù)值關(guān)系舍去），

而tanA=xm=x3n，tanC=xn，則有tanC=3tanA．

解后反思：借助平面幾何圖形的直觀構(gòu)建來分析與解決解三角形中的證明問題，可以有效回避三角函數(shù)中眾多三角恒等變換公式的應(yīng)用，以及與之相關(guān)的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算，抓住平面幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，合理引入邊或角等相關(guān)參數(shù)，解決起來更加直觀形象，處理問題也更加簡單快捷．

3教學(xué)啟示

3.1教師細(xì)心備課，拓展教學(xué)價值

一些看似平淡無奇的習(xí)題，也許有著意想不到的價值．這就需要教師全面認(rèn)真地備課，挖掘一些經(jīng)典習(xí)題的本質(zhì)、內(nèi)涵與新意，合理引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系，挖掘不同數(shù)學(xué)模塊、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識之間的聯(lián)系，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法之間的滲透與溝通，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的巧妙轉(zhuǎn)化與合理應(yīng)用，拓展數(shù)學(xué)教學(xué)價值．

3.2注重“一題多解”，全面發(fā)展能力

對于一些模擬卷中的經(jīng)典試題，借助“一題多解”的研究與應(yīng)用，可以很好地挖掘各部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，全面構(gòu)建與發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)與解題能力，以及相應(yīng)的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新思維，注重培養(yǎng)學(xué)生“嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)”“善于思考”“敢于質(zhì)疑”“激勵創(chuàng)新”等方面的能力．