吳海波

摘要：抽象函數(shù)的求值問題，是近年新高考數(shù)學(xué)試卷中的一個熱點與難點，需要結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)（包括奇偶性、單調(diào)性、周期性等），進(jìn)而借助邏輯推理與數(shù)學(xué)運算來綜合歸納與求解.本文結(jié)合一道模擬卷中抽象函數(shù)求值題實例，進(jìn)行思維發(fā)散展開，巧妙高考鏈接，合理變式拓展，技巧方法總結(jié)，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：抽象函數(shù)；基本性質(zhì)；周期；特殊；變式

抽象函數(shù)是在基本初等函數(shù)的基礎(chǔ)上的升華，是基于基本初等函數(shù)且合理交匯函數(shù)的概念、基本性質(zhì)、解析式以及圖象等眾多的相關(guān)知識，同時融合其他相關(guān)知識與思想方法的一個重要知識點.抽象函數(shù)及其相關(guān)基本性質(zhì)問題是近年高考中的一類常見題型，合理升華知識，巧妙知識融合，吻合高考命題的指導(dǎo)精神.

1問題呈現(xiàn)

問題：（2022—2023學(xué)年江蘇省南京市高三（上）學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（9月份）·8）已知函數(shù)f（x），任意x，y∈R，滿足f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），且f（1）=2，f（2）=0，則f（1）+f（2）+…+f（90）=（）

A. -2

B. 0

C. 2

D. 4

此題是一道與抽象函數(shù)的基本性質(zhì)相關(guān)的問題，此類問題是近年新高考中的一個熱點問題，主要考查抽象函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用.

解決此類問題的一般思路有兩種：（1） 特值法；（2） 函數(shù)的基本性質(zhì)法：對稱性、周期性等.

2問題破解

2.1思維視角1：函數(shù)基本性質(zhì)思維

方法1：（函數(shù)基本性質(zhì)——奇偶討論法1）

解析：由于f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），

令x=2，y=1，可得f（3）f（1）=f2（2）-f2（1），結(jié)合f（1）=2，f（2）=0，解得f（3）=-2，

令y=2，可得f（x+2）f（x-2）=f2（x）-f2（2）=f2（x），結(jié)合f（1）=2，f（3）=-2，可得f（5）=2，f（7）=-2，…，f（2n-1）=（-1）n-1×2，n∈N*，

令y=1，可得f（x+1）f（x-1）=f2（x）-f2（1）=f2（x）-4，令x=2n，n∈N*，可得f2（2n）=f（2n+1）f（2n-1）+4=0，解得f（2）=f（4）=…=f（2n）=0，n∈N*，

所以f（1）+f（2）+…+f（90）=2+0+（-2）+0+…+2+0=2，

故選擇答案：C.

方法2：（函數(shù)基本性質(zhì)——奇偶討論法2）

解析：由于f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），f（1）=2，f（2）=0，

令x=2，y=1，可得f（3）f（1）=f2（2）-f2（1），解得f（3）=-2，

令x=3，y=2，可得f（5）f（1）=f2（3）-f2（2），解得f（5）=2，

令y=2，可得f（x+2）f（x-2）=f2（x）-f2（2）=f2（x），可得f（7）=-2，f（9）=2，…，f（2n-1）=（-1）n-1×2，n∈N*，

令x=3，y=1，可得f（4）f（2）=f2（3）-f2（1）=0，①

令x=4，y=2，可得f（6）f（2）=f2（4）-f2（2）=f2（4），②

令x=5，y=1，可得f（6）f（4）=f2（5）-f2（1）=0，③

假設(shè)f（4）≠0，那么由③可知f（6）=0，將f（2）=0，f（6）=0代入②式發(fā)現(xiàn)與f（4）≠0矛盾，所以f（4）≠0不成立，即f（4）=0，

同理可得f（2n）=0，n∈N*，

所以f（1）+f（2）+…+f（90）=f（1）+f（3）+…+f（89）=2，

故選擇答案：C.

方法3：（函數(shù)基本性質(zhì)——周期法）

解析：由于f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），

令x-y=2，即x=y+2，結(jié)合f（2）=0，可得f2（y+2）-f2（y）=0，即|f（y+2）|=|f（y）|，則知函數(shù)|f（y）|是以2為周期的函數(shù)，

而結(jié)合f（2）=0，可得f（2n）=0，n∈N*，

又f（2n+1）f（2n-1）=f2（2n）-f2（1）=-4＜0，且|f（2n+1）|=|f（2n-1）|，可得f（2n+1）=-f（2n-1），

所以f（x+2）=-f（x）恒成立，則有f（x+4）=-f（x+2）=f（x），那么函數(shù)f（x）是以4為周期的函數(shù)，

而f（1）=2，f（2）=0，進(jìn)而求得f（3）=-f（1）=-2，f（4）=f（2）=0，

則有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，

所以f（1）+f（2）+…+f（90）=22×［f（1）+f（2）+f（3）+f（4）］+f（1）+f（2）=2，

故選擇答案：C.

解后反思：根據(jù)題設(shè)條件中的關(guān)系式，通過賦值法處理，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行邏輯推理與歸納，確定函數(shù)的周期性或奇偶項值的規(guī)律，進(jìn)而進(jìn)行求值.具體推理時，借助奇偶項值的規(guī)律，或奇偶討論法，或奇偶討論與周期綜合法，或周期法等，都可以達(dá)到目的，切入點不同，歸納的視角也不同，但殊途同歸.

2.2思維視角2：特殊模型思維

方法4：（特殊函數(shù)法）

解析：結(jié)合已知條件f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），聯(lián)想到正弦平方差公式：sin2x-sin2y=sin（x+y）sin（x-y），從而構(gòu)造特殊函數(shù)輔助特殊化處理，

令特殊函數(shù)f（x）=2sinπ2x，該函數(shù)滿足題設(shè)條件，

此時函數(shù)f（x）是以4為周期的函數(shù)，

而f（1）=2，f（2）=0，進(jìn)而求得f（3）=-2，f（4）=0，

則有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，

所以f（1）+f（2）+…+f（90）=22×［f（1）+f（2）+f（3）+f（4）］+f（1）+f（2）=2，

故選擇答案：C.

解后反思：根據(jù)題設(shè)條件中的關(guān)系式，合理聯(lián)想與之相似結(jié)構(gòu)特征的公式，進(jìn)而為構(gòu)造特殊函數(shù)輔助分析與處理提供條件.熟練掌握一些具有特定結(jié)構(gòu)特征的基本初等函數(shù)類型（特別是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)等），為解決此類問題的特殊函數(shù)模型思維提供理論依據(jù)，也是綜合創(chuàng)新應(yīng)用的基礎(chǔ).

3鏈接高考

高考真題：（2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·8）若函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），f（1）=1，則∑22k=1f（k）=（）

A. -3

B. -2

C. 0

D. 1

解析：結(jié)合已知條件f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y），聯(lián)想到余弦函數(shù)積化和差公式cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，從而構(gòu)造特殊函數(shù)輔助特殊化處理，

令特殊函數(shù)模型f（x）=2cosπ3x，則函數(shù)f（x）滿足題目條件，

于是，可知函數(shù)f（x）的周期為6，且f（1）=1，f（2）=-1，f（3）=-2，f（4）=-1，f（5）=1，f（6）=2，

所以∑22k=1f（k）=4［f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）］-f（5）-f（6）=4×0-1-2=-3，故選擇答案：A.

4變式拓展

變式：已知函數(shù)f（x），任意x，y∈R，滿足f（x+y）f（x-y）=f2（x）-f2（y），且f（1）=2，f（2）=0，則f（1）+f（2）+…+f（2023）=（）

A. -2

B. 0

C. 2

D. 4

（解答略，答案：B.）

5教學(xué)啟示

5.1技巧策略，規(guī)律總結(jié)

抽象函數(shù)綜合創(chuàng)新應(yīng)用問題的解決，主要的技巧方法包括：（1） 回歸定義，借助相應(yīng)抽象函數(shù)關(guān)系式的定義加以合理賦值與應(yīng)用；（2） 歸納推理，借助關(guān)系式的特征，通過前若干項的分析進(jìn)行合理的歸納與分析；（3） 特殊模型，借助特殊函數(shù)模型的構(gòu)建，使之吻合題設(shè)條件，進(jìn)而加以特殊化處理；（4） 數(shù)形結(jié)合，借助直觀模型特征的構(gòu)建，通過直觀形象分析來解決等.

5.2熟知性質(zhì)，快捷應(yīng)用

涉及抽象函數(shù)綜合創(chuàng)新應(yīng)用問題中，經(jīng)常需要用到一些函數(shù)的基本性質(zhì)，如函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及周期性、對稱性等相關(guān)的結(jié)論.在實際解決問題過程中，借助相關(guān)的基本性質(zhì)結(jié)論，可以很好快捷分析與推理，借助相應(yīng)的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀模型等來綜合應(yīng)用，從而優(yōu)化過程，提升效益.