王杰
摘要:幾何是一門結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科,幾何證明大題也是當(dāng)前中考的必考題.然而不少一線數(shù)學(xué)教師總是抱怨學(xué)生在做這一類題時出現(xiàn)“會而不對,對而不全”的現(xiàn)象,學(xué)生對此也很苦惱.究其原因,主要是在答題過程中:幾何語言書寫不規(guī)范、邏輯推理不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?針對這一現(xiàn)象,本文談?wù)勅绾螏椭鷮W(xué)生提高幾何證明大題的正確率.
關(guān)鍵詞:幾何證明;規(guī)范敘寫;邏輯推證
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中指出,推理能力是初中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一,推理能力有助于逐步養(yǎng)成重論據(jù)、合乎邏輯的思維習(xí)慣,形成實事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神.[1]然而中學(xué)生的幾何推力能力存在一定的缺陷,主要原因是幾何語言的掌握和書寫不規(guī)范、邏輯推理過程不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?下面將以一道經(jīng)典試題為例,從試題分析、證法評析、典型錯誤以及教學(xué)啟示這四個方面淺談幾點看法.
1試題與分析
如圖1,已知AB∥CD,∠BAE=∠DCF,AC、EF相交于點M,且AM=CM.
(1) 求證:AE∥CF;
(2) 若AM平分∠FAE,求證:FE垂直平分AC.
本題為幾何證明題,題設(shè)條件為平行、一組角相等以及一個中點.第(1)小題證明另一組平行線,第(2)小題證明垂直平分線.主要考查平行線的性質(zhì)和判定及等腰三角形的判定和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查想象能力、邏輯推理論證能力及轉(zhuǎn)化思想方法.題目考查知識點廣泛;設(shè)計常規(guī)樸實,由易而難;語言表述簡明扼要,思路明朗,有利于學(xué)生上手,屬于承上啟下的常規(guī)題.
2證法與評析
本題看似樸實無華、平淡無奇,但其證明方法已將基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能和數(shù)學(xué)素養(yǎng)融為一體.本題是對最基礎(chǔ)、最重要知識點的單獨考查,關(guān)注通性通法,淡化特殊的技巧,涉及的恰是幾何學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵問題.因而對學(xué)生敘寫的規(guī)范性和邏輯推理論證能力要求明確而具體.
第(1)問證法單一,下面著重分析第(2)問,以下是常見的幾種證明方法:
(1) ∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠DCA,
又∠BAE=∠DCF,
∴∠BAC -∠BAE=∠DCA-∠DCF,
即∠EAM=∠FCM,
∴AE∥CF.
(2) 證法一: ∵AM平分∠FAE,
∴∠FAM=∠EAM,
又∠EAM=∠FCM,
∴∠FAM=∠FCM,
∴△FAC是等腰三角形,
又AM=CM,
∴FM⊥AC,即EF 垂直平分AC.
證法二:∴∠FAM=∠FCM,(同證法一)
∴FA=FC,
又AM=CM,
∴F、M分別是直線AC垂直平分線上的點,
∴直線FM垂直平分AC,即EF 垂直平分AC.
證法三(思路):先證△AEM≌△CFM(ASA)得AE=CF;再證FA=FC得AE=AF;進(jìn)而證△AFM≌△AEM(SAS)得∠AMF=AME,再利用平角定義得出∠AMF=90°,進(jìn)而推出EF垂直AC,即EF 垂直平分AC.
第(1)小題從學(xué)生答題情況來看,大多數(shù)學(xué)生熟練掌握并且靈活運用了這幾個定理,只有少數(shù)學(xué)生因?qū)戝e關(guān)鍵詞的字母而丟分;第(2)小題證法一,由第(1)問的平行和角平分線推出△FAC的兩底角相等,再判定是等腰三角形,然后利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)推出結(jié)論;證法二是利用兩點確定一條直線,證明 F、M分別是直線AC垂直平分線上的點,進(jìn)而推出結(jié)論;證法三通過全等得出角等,再利用平角的定義得出垂直,從而得證.從閱卷情況來看,此問學(xué)生答題情況不太好,主要問題就是證明過程不規(guī)范、邏輯推理混亂.
3典型錯誤分析
這道題目,不偏不怪,非?;A(chǔ),但是學(xué)生在答題中普遍存在“會而不對,對而不全”的現(xiàn)象,究其原因,主要是敗在一些“小問題”上.下面就從學(xué)生容易出錯的幾個方面進(jìn)行分類剖析,挖掘失誤的根本原因,從而有助于學(xué)生在高考中減少這些錯誤的產(chǎn)生.
3.1敘寫不規(guī)范
閱卷過程中發(fā)現(xiàn):解答思路正確,邏輯鏈條明晰,但由于不注意準(zhǔn)確表達(dá)和規(guī)范書寫而被扣分的學(xué)生不在少數(shù),很是令人扼腕.
3.1.1字母、符號使用混亂
學(xué)生答題過程中的字母錯、符號錯比較普遍,成為答題整體失誤的根源.個別學(xué)生答題時,E、F混寫、各種字母看錯;平行、垂直、等號符號亂用.這些情況著實令人惋惜,但又不能簡單地歸結(jié)為粗心,多半是平時不良的解題習(xí)慣和態(tài)度所致.
3.1.2表述不嚴(yán)謹(jǐn),嚴(yán)重跳步
第(2)小題的證法一有幾個得分點很多學(xué)生因表述不嚴(yán)謹(jǐn)而丟掉分?jǐn)?shù):第一,在證明△FAC是等腰三角形時很多同學(xué)這樣寫, ∵AM平分∠FAE,∴∠FAM=∠EAM=∠FCM.他們誤認(rèn)為第(1)小題有了∠EAM=∠FCM,第二小題要用時可以不寫,這是不對的,因為第(1)小題中已經(jīng)寫的條件、結(jié)論,在第(2)小題中引用時必須交代清楚,這樣才能保證推理的連續(xù)性、嚴(yán)謹(jǐn)性,另外由角平分線只能得到兩個角等,不能直接得到三個角等.第二,在利用三線合一時,個別同學(xué)沒有寫“AM=CM”,認(rèn)為題目中已有的少寫無影響.第三,在用證法三時,直接由△AFM≌△AEM(SAS)得∠AMF=AME=90°,跳過了平角定義這一步.由此可以看出,在解答幾何題中,丟分往往在“舉手投足”之間,表述若不嚴(yán)謹(jǐn),一不小心就會造成“會而不得分”的結(jié)果,實屬遺憾之至.
3.2邏輯混亂
閱卷中還發(fā)現(xiàn),導(dǎo)致證明錯誤的主要原因不僅在于知識,更重要的在于邏輯.很多答題能力差的學(xué)生在解答過程中表現(xiàn)出邏輯較混亂,比如:循環(huán)論證、主觀臆斷、沒有條理的羅列,因果關(guān)系倒置等等,進(jìn)而導(dǎo)致“一步錯步步錯”的現(xiàn)象發(fā)生.
3.2.1主觀臆斷
憑直覺判斷或缺乏論證就下結(jié)論是學(xué)生常犯的錯誤,這也是學(xué)習(xí)幾何的大忌.例如,第(1)小題只證明了AE∥CF,很多學(xué)生把由圖看出的結(jié)論直接拿來當(dāng)條件使用,憑空添加條件AF∥CE;其次,第(2)問已知AM平分∠FAE,不少同學(xué)直接認(rèn)為AM平分∠FCE,以此來證明AE=CE;此外,一些同學(xué)證明△AEM≌△CFM得出EM=FM(即M是中點),再由AM平分∠FAE,得出AM⊥EF,看似沒問題,實則是在利用“等腰三角形三線合一”的逆命題,而這個命題不是定理不可以直接拿來用,這也反映了學(xué)生對題目理解不透徹、對概念定理不熟悉、邏輯不清晰、急于求成等問題.
3.2.2虛假理由
部分學(xué)生對于幾何相關(guān)概念、定理并未真正理解、掌握,因此在幾何證明時,往往會任意推廣引申定理,進(jìn)而得出有利于論題成立的“假”判斷,并將其作為論證的根據(jù),導(dǎo)致證明出現(xiàn)誤差甚至錯誤.這樣的證明違反了邏輯上的充分理由律,“虛假理由”是初中生證明過程中出現(xiàn)頻率較高的錯誤.例如,第(2)問證法二,很多同學(xué)證明了FA=FC后,∴EF 垂直平分AC.這個證明方法從表面看沒有什么漏洞,但是由FA=FC只能得出F是直線AC垂直平分線上的點,而過點F的直線有無數(shù)條,AC的垂直平分線不一定是EF,犯了“虛假理由”的錯誤.
3.2.3循環(huán)論證
循環(huán)論證是證明題中最容易出現(xiàn)的、也是最隱蔽的邏輯性錯誤.每個邏輯段由條件和結(jié)論構(gòu)成,條件是已知或已證(前面邏輯段的結(jié)論)的語句,結(jié)論則是由公理或定理推理而得的新判斷,而循環(huán)論證就是把待證的結(jié)論當(dāng)作了推理的條件.看似正確的證明過程實際上就是“雞生蛋、蛋生雞”的往復(fù)論證.其實,這種循環(huán)論證的背后也反映出學(xué)生對問題理解不深刻,基礎(chǔ)不扎實,推理論證能立薄弱.
4對幾何教學(xué)的幾點思考
熟知定理、證明規(guī)范、邏輯推理嚴(yán)謹(jǐn)是學(xué)生得分的關(guān)鍵.那么如何在幾何教學(xué)中做到這幾點,從而避免學(xué)生犯上述不必要的錯誤呢?可以從以下三個方面入手:
4.1立足課本,回歸基礎(chǔ)知識
從試題解答暴露出的問題可以看出學(xué)生的基礎(chǔ)掌握不扎實,而不是技巧應(yīng)用困難.幾何中涉及的概念、性質(zhì)、定理較多,知識點之間的聯(lián)系也比較緊密.基礎(chǔ)不扎實的學(xué)生,在考試極度緊張的環(huán)境下,很容易因知識掌握不牢而導(dǎo)致邏輯混亂、表述不嚴(yán)謹(jǐn).因此,在平時的教學(xué)中,無論是概念、命題教學(xué)還是解題訓(xùn)練,都必須緊緊圍繞基礎(chǔ)知識去展開.在平時的練習(xí)中要注意歸納和概括,幫助學(xué)生梳理知識形成系統(tǒng),對幾何的知識點準(zhǔn)確把握,掌握對一類題目的常規(guī)解法,熟記定理中的每一個條件,切勿為追求進(jìn)度效率而忽視部分學(xué)困生,也切勿過于追求解題技巧而忽視課本基礎(chǔ)知識.
4.2規(guī)范表述,合理劃分步驟
在幾何教學(xué)中,很多數(shù)學(xué)老師只注重畫圖分析、培養(yǎng)學(xué)生解題能力與技巧,卻往往忽視了對學(xué)生答題規(guī)范性的培養(yǎng)和訓(xùn)練,久而久之,學(xué)生就誤認(rèn)為題目只要解出來、證出來就行,過程怎么表述也就無所謂,最終導(dǎo)致學(xué)生在考試中“會做而不得分”. 因此,合理劃分步驟、規(guī)范表述在幾何教學(xué)中非常重要.比如,在平時訓(xùn)練時,教師要教學(xué)生學(xué)會劃分解題步驟,理清邏輯段之間的順序,并且對有效得分點做重點訓(xùn)練,使學(xué)生明確哪些步驟是可省的,哪些是一定不能省的,在做題時盡量按得分點、按步書寫,嚴(yán)格訓(xùn)練;再比如,為了避免出現(xiàn)“筆誤”,教師在平時批閱作業(yè)和試卷時,一定要嚴(yán)格要求學(xué)生,不姑息字母、數(shù)值、數(shù)學(xué)符號等一些看似不起眼的錯誤,這樣學(xué)生逐漸就會意識到規(guī)范證明的重要性,意識到唯有解題規(guī)范,思維的軌跡才能顯現(xiàn)清楚,做到“言之有理,落筆有據(jù)”.
4.3縝密思考,強化推理論證
養(yǎng)成“縝密思考,嚴(yán)格推理論證”的習(xí)慣應(yīng)當(dāng)作為幾何教學(xué)的關(guān)鍵和落腳點.然而,在學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生很容易出現(xiàn)邏輯上的錯誤,因為這類錯誤往往隱蔽性強,而且不易察覺,比如循環(huán)論證、主觀臆斷、因果倒置等.那么如何才能做到縝密思考,嚴(yán)格論證,推理嚴(yán)謹(jǐn)呢?可以考慮采用“曝光法”.即教師在平時改作業(yè)時,把學(xué)生的典型邏輯錯誤曝光在黑板上,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤,糾正錯誤,并給出正確的解題步驟,最后讓學(xué)生反思“如何避免這類錯誤”.久而久之,學(xué)生就會潛移默化地在尋找證據(jù)時采取嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)度,養(yǎng)成嚴(yán)格論證的習(xí)慣,進(jìn)而強化學(xué)生的推理論證基本功.
參考文獻(xiàn):
[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京:北京師范大學(xué)出版社,2022.