袁晨露 楊濤

摘要：考慮真空負壓力隨時間變化，推導出真空預壓下釘形水泥土攪拌樁復合地基的固結控制方 程和求解條件。將固結方程和求解條件進行函數變換，基于雙層地基一維固結理論求解出樁間土 和復合地基加固區(qū)中的平均超靜孔隙水壓力， 然后獲得了釘形攪拌樁復合地基的整體平均固結 度。通過與數值模擬結果的比較，驗證了固結解析解的合理性。利用提出的固結解析解，分析了 樁置換率、擴大頭尺寸、樁間土剛度及真空加載參數等因素對復合地基固結的影響。研究結果表明：真空下釘形攪拌樁復合地基的固結速率隨樁置換率、擴大頭高度和其下樁間土壓縮模量的增 加而增大， 固結前期固結速率隨擴大頭半徑的增加而增大， 固結后期則影響很小。真空加載過程 對復合地基的固結過程幾乎沒有影響。

關鍵詞： 釘形攪拌樁 ；解析解 ；真空加載過程 ； 固結 ；復合地基

中圖分類號：? TU 473???????????? 文獻標志碼：?? A

Analytical solution for consolidation of composite ground with T-shaped deep cement mixing columns considering vacuum loading process

YUAN Chenlu， YANG Tao

（School of Environment and Architecture， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： Considering change in negative vacuum pressure with time， the governing equations and the corresponding solution conditions for consolidation of the composite ground with T-shaped deep cement mixing （TDM） columns under vacuum preloading were derived. Based on one dimensional consolidation theory of a double-layersoil ground， the average excess pore water pressures within the improved zones and the surrounding soil were obtained by the functional transformation of the consolidation equations and solution conditions. The overall average consolidation degree of the composite ground with TDM columns was presented. Then， the rationality of the proposed solutions was verified by comparison with the numerical simulation results. Finally， the influence of the replacement ratio of the column， the column cap size， the stiffness of the surrounding soil and the vacuum loading parameter on the consolidation rate of the composite ground was investigated using the proposed solution.The results indicate that the consolidation rate of the composite ground increases with increasing the replacement ratio of the column ， the height of its cap and the constrained modulus of the soil under the column cap. The consolidation is accelerated with increasing the radius of column cap in the early stage of consolidation， but it has insignificant influence in the later stage of consolidation process. The vacuum loading process has little effect on the consolidation of the composite ground.

Keywords：? TDM? column; analytical? solution; vacuum? loading process; consolidation; composite ground

真空預壓作為重要的排水固結法，是在地表封閉模下的砂墊層中抽真空，真空度通過地表砂墊層和打入地基中的排水體傳遞給地基土從而加速其固結，地基土的固結是在負孔壓下進行固結的。傳統的堆載預壓法和真空預壓法聯合使用，增大了預壓荷載，提高了地基土的固結速率，復合地基的穩(wěn)定性更高，在國內外得到了廣泛應用[1-3]。

目前，真空和真空?堆載聯合作用下砂井地基固結理論研究獲得了較大進展。 Indraratna 等[4]考慮砂井中的真空度呈線性衰減，建立了真空下砂井地基徑向固結解析解。韓文君等[5]對 Indraratna 等[4]的解析解作了改進，建立的解析解考慮了地基土非線性的影響。張玉國等[6]考慮涂抹區(qū)徑向滲透系數變化，給出了真空預壓下變徑阻砂井地基的徑向固結解析解。郭彪等[7]在變荷載和真空預壓的共同作用下，建立了考慮真空度呈線性衰減、涂抹區(qū)徑向滲透系數變化以及豎向附加應力非均勻分布條件下砂井地基的固結解析解。林偉岸等[8]考慮了荷載和真空度均隨時間變化、真空度沿地基徑向與豎向衰減、井阻和涂抹效應的真空?堆載下砂井地基固結的普遍解析解。田乙等[9] 假設真空和荷載均瞬時施加，建立了真空?堆載聯合作用條件下未打穿豎向砂井地基的固結解析解。

隨著樁體加固技術在軟土地基加固中的應用日益廣泛，近年來真空和真空?堆載聯合作用下復合地基固結理論研究開始受到學者們的關注。葉觀寶等[10]給出了荷載和真空均為瞬時施加的混凝土芯砂石樁復合地基徑向固結解析解。張丹貝等[11]將加固區(qū)的樁?土均質化，獲得了真空下懸浮不排水樁復合地基固結簡化解。張玉國等[12-13]建立了真空和堆載瞬時施加時散體材料樁復合地基徑向固結解析解，考慮了地基中豎向附加應力和樁體中真空度的線性衰減。

綜上可見，目前考慮真空作用的復合地基固結解析理論的研究成果不多。釘形攪拌樁是變截面水泥土攪拌樁，它是由上部大直徑的擴大頭和下部小直徑的攪拌樁組成。相較于傳統的等直徑攪拌樁復合地基，釘形攪拌樁復合地基的承載力更高。現有的釘形攪拌樁復合地基固結理論[14-15]都是針對荷載作用提出的，并沒有考慮真空作用。本文的目的是建立真空下釘形攪拌樁復合地基固結計算模型，分析真空作用下這種新型復合地基的固結特性，進一步完善變截面水泥土攪拌樁復合地基的設計理論。

1 軸對稱固結模型和基本假設

1.1 軸對稱固結模型

真空作用下端承釘形攪拌復合地基的軸對稱固結模型如圖1所示， r ，z 分別為系統的徑向、豎向坐標。圖中單樁影響區(qū)的半徑為 re ，H 為釘形攪拌樁的總長度，也是復合地基的厚度。H1， H2分別為釘形攪拌樁上部擴大頭的高度和下部小直徑攪拌樁的長度， rg1，rg2分別為擴大頭和下部小直徑攪拌樁的半徑。ρ=rg1/rg2，ρ為擴大頭的擴徑比， m=（rg2/re）2，m 為小直徑樁的置換率，可推算出擴大頭的置換率為 mρ2。根據擴大頭的高度將整個復合地基加固區(qū)分成上、下兩部分，同樣將樁間土分成上、下兩層。 kv1，Es1，kv2，Es2分別為上、下層樁間土的滲透系數和壓縮模量， Ep1， Ep2分別為擴大頭和其下部小直徑攪拌樁的壓縮模量。?q（t）為復合地基表面施加的真空負壓力，?q（t）=?q0[1?exp（?αt）]， t 為時間， q0為設計的膜下真空度，α為反映真空加載過程的參數，在實際工程中，α值可由實測真空加載線按指數曲線擬合方法得到。

1.2 基本假設

本文公式推導中采用了如下基本假設：

a.樁與樁間土僅豎向變形，任意深度處兩者豎向應變相等。

b.樁為不透水樁。樁間土完全飽和，水的滲流服從達西滲透定律。

c.處于擴大頭正下方的環(huán)狀土體僅發(fā)生徑向滲流。

d.地表真空度沿地基深度不衰減。

e.固結過程中樁間土的滲透系數和壓縮模量不發(fā)生變化。

2 固結控制方程及其解答

2.1 固結方程與定解條件

2.1.1上、下層樁間土的固結方程

參照楊濤等[14-15]的研究，可寫出上、下層樁間土的固結方程為

式中：?（u）s1，?（u）s2分別為上、下層樁間土在任意深度z 處的平均超靜孔隙水壓力； cv1c ，cv2c 分別為考慮擴大頭和小直徑樁影響后上、下層樁間土的等效固結系數；γw 為水的重度； Ecs1，Ecs2分別為上、下加固區(qū)的復合壓縮模量； cv1， cv2分別為上、下層樁間土的豎向固結系數， cv1=kv1Es1/γw ， cv2= kv2Es2/γw。

2.1.2 固結方程（1）的定解條件

豎向邊界條件：

上、下加固區(qū)交界面上連續(xù)性條件：

初始條件：

2.2 固結方程與定解條件的變換

為了方便在定解條件式（6）～（10）下更直接地求解固結方程（1），先作如下的函數變換：

式中，?（u）1，?（u）2分別為復合地基中的上、下加固區(qū)任意深度的平均孔壓。

將函數變換式（11）代入固結方程（1）和定解條件式（6）～（10），可得，

為使邊界條件式（13）齊次化，再作如下函數變換：

式中， ws1，ws2為系數。

將式（18）和（19）代入式（12）～（17），可得，

3 固結解析解

3.1 超靜孔壓解答

方程式（20）及其定解條件式（21）～（25）與荷載為 q（t）下雙層地基固結問題中的固結方程與定解條件在形式上是一致的，不同之處是上、下層土的平均超靜孔壓和固結系數分別用函數 wsi（z，t）和 cvic （i=1，2）來代替，故可利用謝康和[16]雙層地基一維固結理論的方法直接求解。

為簡化列式，定義 a ，b ，c 和μ這4個無量綱參數。

參照謝康和[16]的研究，可得，

λm 通過求解下面特征方程確定： pabtan （λm）tan （?cλm）=1（26）

將 q（t）= q0[1一exp （一αt）]代入式（27）～（28），可得，

將式（32）和（33）代入式（18）和（19），得到復合地基上、下加固區(qū)的平均超靜孔隙水壓力：

將式（34）和（35）代入式（11），得到上、下層樁間土中的平均超靜孔隙水壓力：

3.2 固結度解答

Chu 等[17]指出：相較于按沉降定義的固結度，真空荷載下采用按孔壓定義的固結度更為合理。參照彭劼等[18]和張丹貝等[11]的研究，真空下釘形攪拌樁復合地基上、下加固區(qū)按孔壓定義的固結度

式中，?（u）i為整個上、下加固區(qū)的平均超靜孔壓。

將式（34）和式（35）分別代入式（39）和式（40），再將式（39）和式（40）代入式（38），可得，

真空下釘形攪拌樁復合地基按孔壓定義的整體平均固結度

將式（41）和式（42）代入式（43），可得，

4 算例驗證

端承釘形水泥土攪拌樁復合地基厚度 H=16 m，擴大頭高度和半徑分別為 H1=4 m 和 rg1=0.5 m，下部小直徑攪拌樁長度和半徑分別為 H2=12 m 和 rg2=0.25 m ，單樁影響區(qū)半徑 re=1.2 m ，擴大頭的擴徑比ρ=2。各材料參數：釘形攪拌樁壓縮模量 Ep1=Ep2=Ep=120 MPa ，Ep 為樁的壓縮模量，泊松比為0.25；上、下層樁間土的壓縮模量 Es1=Es2=3 MPa，豎向滲透系數 kv1=kv2=10?7 cm/s；樁間土的泊松比為0.35。復合地基表面真空荷載為?q（t）=?80[1?exp（?t）]，即取 q0=80 kPa ，α=1.0 s?1。

分別采用本文建立的固結解析解和有限元法計算真空下釘形攪拌樁復合地基固結度并進行比較。有限元計算采用 ABAQUS 軟件。取圖1所示復合地基軸對稱固結模型進行軸對稱有限元固結計算，利用對稱性可取其一半區(qū)域進行分析。數值計算時使模型左、右側邊界上不發(fā)生徑向變形，即不產生徑向位移，約束模型底部徑、豎向變形，即不產生徑、豎向的位移。模型的底部和左、右兩側面均不排水，復合地基表面自由且可以排水。在有限元固結計算中，各材料均為線彈性模型，其彈性模量 E 可由其壓縮模量 E0和泊松比μ按式 E=（1+μ）（1?2μ）E0/（1?μ）近似計算。釘形攪拌樁用4結點CAX4單元離散，樁間土用應力?孔壓耦合4結點CAX4P 單元離散，樁?土界面完全接觸。在有限元固結計算中將樁間土表面作為已知孔壓邊界，其上用負孔壓?q（t）模擬真空荷載。圖2為模型的有限元網格示意圖，單元總數1773個，結點總數1240個。

圖3給出了由本文解析解和有限元法計算獲得的釘形攪拌樁復合地基平均固結度和樁間土超靜孔壓隨時間變化曲線的比較，橫坐標為無量綱時間因數 Tv=cv1t/H2，孔壓計算點位于有限元模型外側邊界上 z=12 m 處。 Us 為沉降定義的固結度。由圖3可見，真空在樁間土中引起負孔壓，在持續(xù)真空作用下負孔壓的數值逐漸增大，最后穩(wěn)定在約?80 kPa。由解析解得到的復合地基固結度和樁間土孔壓與有限元解的結果十分接近，解析解計算的孔壓是樁間土深度 z=12 m 的平均值，數值略大于有限元解。算例證明了本文解析解的合理性。

5 復合地基固結性狀分析

現通過單參數分析法來研究真空下釘形攪拌樁復合地基的固結特性。用作比較基準的參數如下： H=16 m ， H1=4 m ， H2=12 m ， rg1=0.5 m， rg2=0.25 m，re=1.2 m，m=0.04，ρ=2。Es1=Es2=3 MPa， kv1=kv2=10?7 cm/s，樁的壓縮模量 Ep1=Ep2=Ep=120 MPa ，q（t）=80[1?exp（?t）]。

圖4給出了不同擴大頭半徑情況下復合地基的固結度曲線，擴大頭半徑 rg1=0.3，0.4，0.5，0.6 m ，相應的擴大頭的擴徑比ρ=1.2～2.4。從圖4中可以看出，在固結前期復合地基的固結速率隨擴大頭半徑的增加而略微增大，在固結后期則隨擴大頭半徑的增加而減小，但減小的幅度非常小。

圖5給出了不同擴大頭高度情況下復合地基固結速率曲線的比較，擴大頭高度 H1=2，4，6，8，10 m。從圖5中可以看出，真空下釘形攪拌樁復合地基固結速率隨擴大頭高度的增加而增大，在固結中期較為顯著，這與楊濤等[14]指出的荷載作用下復合地基固結速率隨擴大頭高度的增加先略微減小然后增大有所不同，這主要是真空下樁間土是負孔壓下固結，負壓下樁?土間相互作用機制與荷載下不同引起的。

圖6給出了小直徑攪拌樁的置換率 m 對復合地基固結速率影響曲線圖， m=0.04，0.05，0.08，0.1，計算中樁的幾何尺寸不變。 m 增加表示整個釘形攪拌樁的置換率增大。從圖6可以發(fā)現，復合地基的固結速率隨著釘形攪拌樁置換率的增加而增大，但增加的幅度逐漸減小。

圖7給出了下層樁間土與上層樁間土的壓縮模量之比 Es2/Es1對復合地基固結度的影響，Es2/Es1=1.0，3.0，5.0，7.0，9.0，計算中 Es1的數值保持不變。 Es2/Es1數值增加，擴大頭以下樁間土的剛度隨之增大。圖7的計算結果表明，擴大頭以下樁間土的壓縮模量越大，復合地基的固結越快，但固結速率的增幅逐漸減小。

圖8給出了真空加載參數α對復合地基固結速率的影響。從圖8中可以看出，不同α下復合地基固結度曲線近乎重合，說明真空加載參數α對釘形攪拌樁復合地基固結速率的影響很小。

6 結 論

建立了真空下釘形攪拌樁復合地基固結解析解，并對復合地基的固結特性進行分析，主要結論如下：

a.在固結早期，釘形攪拌樁復合地基的固結速率隨擴大頭半徑的增加而增大，但在固結后期，擴大頭半徑的變化對復合地基固結的影響較小。

b.增加釘形攪拌樁置換率、擴大頭的高度和它下面樁間土的壓縮模量，釘形攪拌樁復合地基的固結速率增大。

c.真空加載過程對釘形攪拌樁復合地基固結的影響較小。

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（編輯：石 瑛）