劉冠男，胡振東

（同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092）

1 引言

在深井、核電站等大型建筑中，存在豎直放置的變長(zhǎng)度操作桿，用于實(shí)現(xiàn)狀態(tài)控制、信號(hào)傳輸?shù)裙δ堋Ｔ趯?duì)該類(lèi)結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震設(shè)計(jì)時(shí)，除了要檢驗(yàn)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度，還需要考慮結(jié)構(gòu)的變形，變形過(guò)大則可能影響功能實(shí)現(xiàn)，甚至產(chǎn)生碰撞。在地震作用下，變長(zhǎng)度操作桿固定于地面的頂端會(huì)隨地面移動(dòng)并引發(fā)結(jié)構(gòu)振動(dòng)，這一過(guò)程可以簡(jiǎn)化為軸向運(yùn)動(dòng)變長(zhǎng)度懸臂梁在位移激勵(lì)下的振動(dòng)。

關(guān)于軸向運(yùn)動(dòng)變長(zhǎng)度梁的研究主要集中于橫向自由振動(dòng)與穩(wěn)定性分析。文獻(xiàn)［1-3］利用廣義Hamilton原理和假設(shè)模態(tài)法研究了軸向運(yùn)動(dòng)Euler梁、Timoshenko梁、粘彈性梁的自由振動(dòng)特性。文獻(xiàn)［4-6］以機(jī)械臂、航天器天線(xiàn)等結(jié)構(gòu)為原型，對(duì)變長(zhǎng)度梁模型進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)和穩(wěn)定性分析。文獻(xiàn)［7-8］利用Euler梁理論，分別對(duì)均勻變長(zhǎng)度梁與自由端帶有主動(dòng)振子的變長(zhǎng)度梁進(jìn)行了振動(dòng)控制的研究。文獻(xiàn)［9］研究了功能梯度材料變長(zhǎng)度懸臂梁模型的動(dòng)力響應(yīng)。文獻(xiàn)［10-12］將火炮系統(tǒng)簡(jiǎn)化為移動(dòng)質(zhì)量作用下的變長(zhǎng)度懸臂梁模型，建立了橫向振動(dòng)方程并近似求解出振動(dòng)響應(yīng)。這些研究沒(méi)有考慮到外激勵(lì)的作用，而外激勵(lì)作用下動(dòng)力學(xué)分析的研究對(duì)象通常是定長(zhǎng)度梁。文獻(xiàn)［13］研究了基礎(chǔ)激勵(lì)作用下軸向運(yùn)動(dòng)定長(zhǎng)度懸臂梁的振動(dòng)及穩(wěn)定性問(wèn)題。文獻(xiàn)［14-16］運(yùn)用復(fù)模態(tài)法、多尺度法等方法研究了軸向運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)支梁的受迫振動(dòng)。文獻(xiàn)［17］運(yùn)用節(jié)點(diǎn)生死方法研究了簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下軸向運(yùn)動(dòng)外伸梁的橫向振動(dòng)特性。文獻(xiàn)［18］研究了功能梯度梁在集中移動(dòng)諧波荷載作用下的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)。這些研究考慮了軸向運(yùn)動(dòng)對(duì)振動(dòng)的影響，但沒(méi)有考慮梁長(zhǎng)度變化對(duì)振動(dòng)的影響。目前關(guān)于軸向運(yùn)動(dòng)梁的動(dòng)力學(xué)研究中，同時(shí)考慮梁時(shí)變長(zhǎng)度與外激勵(lì)作用的研究較少，且往往只關(guān)注于橫向方向的振動(dòng)。

在以往該類(lèi)研究的基礎(chǔ)上，以變長(zhǎng)度操作桿為研究對(duì)象，建立了變長(zhǎng)度梁在橫向與縱向位移作用下的動(dòng)力學(xué)方程，并通過(guò)數(shù)值仿真方法近似求解出變長(zhǎng)度梁在簡(jiǎn)諧波與地震波作用下的振動(dòng)響應(yīng)。結(jié)果說(shuō)明了在對(duì)變長(zhǎng)度梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震分析時(shí)，考慮結(jié)構(gòu)時(shí)變性的影響是必要的。

采用的方法與算法為軸向運(yùn)動(dòng)梁動(dòng)力學(xué)分析的研究補(bǔ)充了同時(shí)考慮梁長(zhǎng)度變化與橫縱兩個(gè)方向位移激勵(lì)的內(nèi)容，為工程應(yīng)用中相似時(shí)變結(jié)構(gòu)的抗震分析提供了參考。

2 變長(zhǎng)度梁的振動(dòng)方程

將變長(zhǎng)度操作桿簡(jiǎn)化為變長(zhǎng)度懸臂梁模型，如圖1所示。設(shè)梁的橫截面積為A，截面慣性矩為I，密度為ρ，彈性模量為E。梁上端處于剛性滑槽中，且與嵌入到滑槽中的齒輪嚙合，梁下端為自由端。梁在齒輪的驅(qū)動(dòng)下可以在滑槽內(nèi)沿軸向上下滑動(dòng)，設(shè)軸向運(yùn)動(dòng)速度為v(t) =v0+at，其中，v0是軸向初始速度，a是軸向運(yùn)動(dòng)的加速度，為定值。梁在軸向運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，梁的懸臂長(zhǎng)度也隨時(shí)間發(fā)生改變，設(shè)梁的初始長(zhǎng)度為l0，則梁的長(zhǎng)度可表示為。在上述變長(zhǎng)度梁模型中，滑槽限制了變長(zhǎng)度梁頂端的橫向位移，齒輪限制了變長(zhǎng)度梁頂端的縱向位移。設(shè)yg(t)為施加在頂部滑槽上的橫向地震位移，設(shè)ug(t)為通過(guò)齒輪施加在變長(zhǎng)度梁頂端的縱向地震位移。

圖1 變長(zhǎng)度梁的振動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Vibration Model of Time-Varying Beam

縱向運(yùn)動(dòng)包括齒輪帶動(dòng)及縱向位移激勵(lì)作用下的剛體運(yùn)動(dòng)和結(jié)構(gòu)自身在軸向方向的彈性變形。參考相關(guān)研究［19］可知，相同激勵(lì)下，軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁的軸向振動(dòng)響應(yīng)要遠(yuǎn)小于橫向振動(dòng)響應(yīng)，軸向變形引起的位移相比于橫向位移可忽略不計(jì)。因此考慮在縱向方向上忽略彈性振動(dòng)，采用剛體運(yùn)動(dòng)處理的變長(zhǎng)度梁抗震分析簡(jiǎn)化模型。

參考支座位移激勵(lì)下梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)研究［20］，以梁頂端滑槽支承處的初始位置為原點(diǎn)，梁軸向向下為x'軸方向，橫向?yàn)閥'軸方向，建立以地面為參照的絕對(duì)坐標(biāo)系O'x'y'。以梁頂端支承為原點(diǎn)，梁軸向向下為x軸方向，橫向?yàn)閥軸方向，建立以梁頂端支承為參照的相對(duì)坐標(biāo)系Oxy。則梁上任意一點(diǎn)相對(duì)于地面的位移可表示為：

梁任意一點(diǎn)絕對(duì)坐標(biāo)與相對(duì)坐標(biāo)之間的關(guān)系可表示為：

變長(zhǎng)度梁的動(dòng)能為：

變長(zhǎng)度梁的勢(shì)能為：

式中：P(x，t) —系統(tǒng)的軸力，由重力加速度、相對(duì)滑槽運(yùn)動(dòng)的軸

向加速度與縱向地震激勵(lì)加速度引起的慣性力組成，可表示為：

變長(zhǎng)度梁外載荷所作的功W可表示為：

式中：p(t) —橫向地震激勵(lì)作用在滑槽的外載荷。

根據(jù)廣義Hamilton原理可知：

將式（3）～式（6）代入式（7），考慮δy是任意的，可得到橫縱向地震作用下變長(zhǎng)度梁的動(dòng)力學(xué)方程：

邊界條件為：

3 振動(dòng)方程的近似求解

變長(zhǎng)度梁作為時(shí)變系統(tǒng)，其各階模態(tài)存在時(shí)變性。采用修正后的Galerkin法求解其近似響應(yīng)較為方便［21］。設(shè)描述變長(zhǎng)度梁振動(dòng)形態(tài)的振型函數(shù)為φ[x(t)]，描述時(shí)間變化的時(shí)間函數(shù)為q（t）。為方便求解，用變量ξ=x/l（t）作為振型函數(shù)中的自變量，設(shè)

式中：n—模態(tài)截?cái)嚯A數(shù)。參考關(guān)于變長(zhǎng)度梁動(dòng)力響應(yīng)求解的研究［1］，考慮下列兩點(diǎn)邊值問(wèn)題：

該問(wèn)題的頻率方程與振型函數(shù)表達(dá)式如下：

式中：ki—式（13）的第i個(gè)解；

系數(shù)Ci由正交性條件確定。

各矩陣元素的表達(dá)式為：

求解系統(tǒng)對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)，將初始條件按振型展開(kāi)：

根據(jù)靜力學(xué)方法，變長(zhǎng)度梁初始條件下的變形可表示為：

4 數(shù)值仿真算例

為驗(yàn)證動(dòng)力學(xué)方程的正確性，選擇文獻(xiàn)［1］的算例進(jìn)行驗(yàn)證。令g=yg=ug= 0，線(xiàn)密度ρA=27kg/m，抗彎剛度EI=23300N·m2，梁的收縮速度為1m/s，梁的初始長(zhǎng)度為7m，梁末端初始條件為。

運(yùn)用Newmark-β法取前四階模態(tài)進(jìn)行計(jì)算，求解該變長(zhǎng)度梁的振動(dòng)響應(yīng)。

計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)［1］算例的計(jì)算結(jié)果基本一致，由此可以驗(yàn)證上文所述動(dòng)力學(xué)方程的正確性，如圖2所示。

圖2 l0 = 7m，v0 =-1m/s，a = 0m/s2的自由端位移Fig.2 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 7m，v0 = —1m/s，a = 0m/s2

以某核電站變長(zhǎng)度操作桿作為算例，參數(shù)設(shè)置為：線(xiàn)密度ρA=11.74 kg/m，抗彎剛度EI=70905N·m2，時(shí)變長(zhǎng)度在（5～10）m范圍內(nèi)，重力加速度取為g=9.8m/s2。

為選取合適的模態(tài)數(shù)，計(jì)算變長(zhǎng)度梁長(zhǎng)度為5m和10m時(shí)前四階振型的有效質(zhì)量系數(shù)，如表1所示。

表1 變長(zhǎng)度梁四階振型的橫向有效質(zhì)量系數(shù)Tab.1 Transverse Effective Mass Coefficient of the Fourth Order Mode of the Length-Varying Beam

此時(shí)振型累計(jì)參與質(zhì)量達(dá)到總質(zhì)量90%，符合抗震規(guī)范的要求［22］。此外，還要保證選取到地震頻率范圍內(nèi)的所有模態(tài)。

算例前五階模態(tài)頻率在地震頻率范圍內(nèi)，故取前六階模態(tài)進(jìn)行計(jì)算。

為觀察變長(zhǎng)度梁的振動(dòng)規(guī)律，先對(duì)變長(zhǎng)度梁模型施加地震頻譜范圍內(nèi)的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，設(shè)初始條件為0m/s，外激勵(lì)為yg(t)=ug(t)= 0.4 sin(t)。

變長(zhǎng)度梁在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下以不同時(shí)變速度進(jìn)行軸向運(yùn)動(dòng)所得到的末端位移曲線(xiàn)，如圖3～圖8所示。

圖3 l0 = 10m，v0 = —0.2m/s，a = 0m/s2的自由端位移Fig.3 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 10m，v0 = —0.2m/s，a = 0m/s2

圖4 l0 = 5m，v0 = 0.2m/s，a = 0m/s2的自由端位移Fig.4 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 5m，v0 = 0.2m/s，a = 0m/s2

圖5 l0 = 10m，v0 = 0m/s，a = —0.01 m/s2的自由端位移Fig.5 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 10m，v0 = 0m/s，a = —0.01m/s2

圖6 l0 = 5m，v0 = 0m/s，a = 0.01 m/s2的自由端位移Fig.6 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 5m，v0 = 0m/s，a = 0.01m/s2

圖7 l0 = 10m，v0 = —0.5m/s，a = 0.025m/s2的自由端位移Fig.7 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 10m，v0 = —0.5m/s，a = 0.025m/s2

圖8 l0 = 5m，v0 = 0.5m/s，a = —0.025m/s2的自由端位移Fig.8 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 5m，v0 = 0.5m/s，a = —0.025m/s2

觀察圖3～圖8可知，在變長(zhǎng)度梁伸展過(guò)程中，自由端振動(dòng)頻率逐漸減小，而振幅逐漸增大。在變長(zhǎng)度梁收縮時(shí)，自由端振動(dòng)頻率逐漸增大，而振幅逐漸減小。

接下來(lái)計(jì)算定長(zhǎng)度梁與變長(zhǎng)度梁在真實(shí)地震激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)，輸入的橫向與縱向地震波，如圖9所示。

圖9 橫向與縱向地震位移時(shí)程曲線(xiàn)Fig.9 Time History Curve of Lateral and Longitudinal Seismic Displacement

定長(zhǎng)度梁在地震激勵(lì)下的末端位移曲線(xiàn)，如圖10、圖11所示。

圖10 l=5m的自由端位移Fig.10 The Tip Deflection of the Beam when l=5m

圖11 l=10m的自由端位移Fig.11 The Tip Deflection of the Beam when l=10m

變長(zhǎng)度梁在地震激勵(lì)下以不同時(shí)變速度進(jìn)行軸向運(yùn)動(dòng)所得到的末端位移曲線(xiàn)，如圖12～圖17所示。

圖12 l0 = 10m，v0 = —0.02m/s，a = 0m/s2的自由端位移Fig.12 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 10m，v0 = —0.02m/s，a = 0m/s2

圖13 l0 = 5m，v0 = 0.02m/s，a = 0m/s2的自由端位移Fig.13 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 5m，v0 = 0.02m/s，a = 0m/s2

圖14 l0 = 10m，v0 = 0m/s，a= —0.008m/s2的自由端位移Fig.14 The Tip Deflection of theBeam when l0 = 10m，v0 = 0m/s，a = —0.008m/s2

圖15 l0 = 5m，v0 = 0m/s，a= 0.008m/s2的自由端位移Fig.15 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 5m，v0 = 0m/s，a = 0.008m/s2

圖16 l0 = 10m，v0 = —0.24m/s，a = 0.006m/s2的自由端位移Fig.16 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 10m，v0 = —0.24m/s，a = 0.006m/s2

圖17 l0 = 5m，v0 = 0.24m/s，a = —0.006m/s2的自由端位移Fig.17 The Tip Deflection of the Beam when l0 = 5m，v0 = 0.24m/s，a = —0.006m/s2

整理定長(zhǎng)度梁與不同軸向運(yùn)動(dòng)下的變長(zhǎng)度梁在相同地震作用下的末端最大位移結(jié)果，如表2所示。

表2 梁末端最大位移Tab.2 The Maximum Tip Deflection of the Beam

根據(jù)算例的計(jì)算結(jié)果可以看出，當(dāng)變長(zhǎng)度梁在（5～10）m 范圍內(nèi)做軸向收縮運(yùn)動(dòng)時(shí)，變長(zhǎng)度梁的地震響應(yīng)大于梁長(zhǎng)為10m和5m的固定梁的地震響應(yīng)。因此，在對(duì)變長(zhǎng)度梁進(jìn)行抗震分析時(shí)，如果以固定結(jié)構(gòu)代替時(shí)變結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，最終得到的結(jié)果可能小于結(jié)構(gòu)真實(shí)的地震響應(yīng)。

5 結(jié)論

這里以實(shí)際工程中的變長(zhǎng)度操作桿為研究對(duì)象，提出在縱向方向上忽略彈性振動(dòng)、作為剛體運(yùn)動(dòng)處理的抗震分析簡(jiǎn)化模型，建立了橫縱向地震激勵(lì)下變長(zhǎng)度梁的時(shí)變動(dòng)力學(xué)方程，并運(yùn)用假設(shè)模態(tài)法和修正后Galerkin法近似求解。通過(guò)數(shù)值算例分析可知，在橫縱向簡(jiǎn)諧激勵(lì)下，變長(zhǎng)度梁在軸向伸展時(shí)，振動(dòng)頻率減小而振幅增大，軸向收縮時(shí)，振動(dòng)頻率增大而振幅減小。在地震波作用下，變長(zhǎng)度梁在收縮時(shí)，其末端最大位移大于相同長(zhǎng)度范圍內(nèi)固定梁的末端最大位移。上述對(duì)比說(shuō)明，用固定結(jié)構(gòu)的抗震分析方法對(duì)時(shí)變結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震分析不滿(mǎn)足保守性原則。為保證結(jié)構(gòu)的安全性，在對(duì)類(lèi)似具有時(shí)變性的結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震分析時(shí)，應(yīng)充分考慮結(jié)構(gòu)時(shí)變性的影響。