鄒婷婷

［摘? 要］ 直觀想象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力能夠發(fā)展學(xué)生的抽象思維，能讓學(xué)生將抽象的問題變得更加形象，并學(xué)會利用空間圖形解決問題. 在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在空間事物中感受元素關(guān)系，在圖形描述中進行數(shù)形結(jié)合，利用空間圖形建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識、圖形以及數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系，從而提升綜合素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 直觀想象；核心素養(yǎng)；空間圖形；數(shù)學(xué)模型

培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，提升學(xué)生的綜合素質(zhì)是新課程改革的目標(biāo)和發(fā)展趨勢. 核心素養(yǎng)是學(xué)生適應(yīng)社會的綜合品質(zhì)與關(guān)鍵能力，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)主要包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析等方面的能力. 其中直觀想象能力對于轉(zhuǎn)變學(xué)生的思維方式，提升學(xué)生的思維能力，助力學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型都具有非常重要的作用. 下面筆者結(jié)合教學(xué)實踐，談一談在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的具體教學(xué)策略.

直觀認(rèn)識事物，感受空間關(guān)系

數(shù)學(xué)概念是從具體事物中歸納出來的抽象的性質(zhì)和特征，理解抽象的數(shù)學(xué)概念需要借助具體事物和空間想象能力. 學(xué)生通過觀察具體事物，能提升對空間關(guān)系的認(rèn)識；通過作圖、識圖，能提升幾何語言的轉(zhuǎn)化能力.

案例1理解“角”的概念.

教學(xué)過程如下.

師：我們生活中有哪些實物具備角的形象？你能舉幾個例子嗎？

教師根據(jù)學(xué)生的回答在課件中展示一些實物圖片，如圓規(guī)、鐘面、剪刀，使學(xué)生了解生活中的事物與角之間的密切關(guān)系，感受角的具體形象，認(rèn)識到學(xué)習(xí)的必要性.

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過直線、射線、線段的一些知識，你們還記得哪些內(nèi)容？根據(jù)直線、線段、射線的相關(guān)內(nèi)容，你們能猜出我們會研究角的哪些知識嗎？

學(xué)生通過類比線的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，猜想會學(xué)習(xí)角的哪些知識，從而建構(gòu)學(xué)習(xí)內(nèi)容，如圖1所示.

師：請大家拿出三角尺，摸一摸三角尺的邊，你感受到了什么？

生1：我摸到三角尺的頂端有一個點.

生2：要組成一個角，需要兩條邊和一個點.

師：你們能將角畫出來嗎？根據(jù)你們自己的畫法，跟大家說一說你的理解. 你們能描述出角的定義嗎？

學(xué)生動手畫角，感受角由兩條射線和一個公共頂點組成，從而歸納出角的定義.

師：現(xiàn)在讓我們把各自畫好的角表示出來. 觀察圖2，從角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引出一條射線，請問圖2中一共有幾個角，應(yīng)該如何表示這些角. 可以用一個大寫字母將這些角表示出來嗎？

生3：我們之前學(xué)習(xí)過用字母表示直線，現(xiàn)在同樣可以用字母表示角，但是角的表示要注意與角的頂點和邊相結(jié)合.

師：非常好，所以我們認(rèn)識角可以從生活中的實物出發(fā)，先用文字表示，再用圖形表示，最后用符號表示，這三種表示方式可以相互轉(zhuǎn)化.

設(shè)計意圖在本案例中，教師從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，首先帶領(lǐng)學(xué)生觀察身邊的事物，對角產(chǎn)生初步感受，進而引導(dǎo)學(xué)生說一說對角的認(rèn)識，再通過摸三角尺對角產(chǎn)生直觀認(rèn)知，最后將自己的認(rèn)識畫下來形成角的圖形. 這樣的過程使學(xué)生通過多種感官認(rèn)識到角是由點和射線組成的，理解了角的組成元素為公共頂點和兩條射線.

培養(yǎng)直觀想象能力的第一步是從實物中抽象出幾何圖形，在幾何圖形中研究問題的數(shù)學(xué)本質(zhì). 教師通過活動引導(dǎo)學(xué)生在直接觀察、實踐操作和空間想象、相互交流中學(xué)習(xí)角的概念，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力. 數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)不能進行強行灌輸和記憶，教師教學(xué)時要遵循概念形成的過程. 學(xué)生將實物模型抽象為幾何圖形，先學(xué)會用文字表示角，再理解用圖形表示角，最后掌握用符號表示角，經(jīng)歷了語言、圖形、符號之間的轉(zhuǎn)化，發(fā)展了直觀想象能力.

借助圖形理解問題，建構(gòu)數(shù)形聯(lián)系

圖形能夠幫助學(xué)生通過直接觀察形成直覺判斷，從而使數(shù)學(xué)結(jié)果被直接“看出來”，這種直覺判斷建立在學(xué)生長期有效的思維訓(xùn)練基礎(chǔ)上. 因此，在教學(xué)中教師運用圖形描述問題，可以有效提升學(xué)生的觀察能力，助力學(xué)生形成直覺判斷. 函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點知識，在解決代數(shù)和幾何問題中都有非常重要的意義. 理解函數(shù)概念的核心是建構(gòu)數(shù)形聯(lián)系，教師可以用“學(xué)函數(shù)用圖象”的觀念來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識，通過圖象引導(dǎo)學(xué)生從“形”的角度理解函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)，滲透數(shù)形結(jié)合思想.

案例2基礎(chǔ)課：數(shù)形結(jié)合思想.

教學(xué)過程如下.

情境創(chuàng)設(shè)：大家看一下代數(shù)式x2-3x，你們能否從二次函數(shù)、因式分解以及幾何圖形的角度進行聯(lián)想？

生1：這個代數(shù)式可以作為二次函數(shù)的解析式，即y=x2-3x，它的圖象是一條拋物線，根據(jù)圖象我們可以知道這個二次函數(shù)的對稱性、增減性，以及最值等.

生2：可以將這個代數(shù)式進行因式分解，得到x2-3x=x（x-3）.

生3：因式分解后的代數(shù)式可以作為長方形的面積計算式，x為長方形的長，（x-3）為長方形的寬.

師：數(shù)形是結(jié)合在一起的，它們是同一個知識點的不同描述方式，一種是通過數(shù)學(xué)符號來描述，另一種是通過圖形來描述，解決實際問題時它們可以相互轉(zhuǎn)化. 數(shù)能夠精確表述數(shù)量關(guān)系，具有抽象性，圖形則直觀形象，兩者結(jié)合有助于我們理解函數(shù)的概念. 下面我們一起來看一道例題.

例題：如圖3所示，已知△ABC的頂點A，B，C的坐標(biāo)分別為（0，2），（1，0），（2，1）.

問題1：假設(shè)反比例函數(shù)y=的圖象和圖中陰影部分（包含邊界）一定有公共點，求實數(shù)k的取值范圍.

問題2：假設(shè)一次函數(shù)y=kx-2的圖象和圖中陰影部分（包含邊界）一定有公共點，求實數(shù)k的取值范圍.

變式訓(xùn)練：假設(shè)一次函數(shù)y=kx+k-2的圖象和圖中陰影部分（包含邊界）一定有公共點，求實數(shù)k的取值范圍.

問題3：假設(shè)二次函數(shù)y=x2+bx+1的圖象和圖中陰影部分（包含邊界）一定有公共點，求實數(shù)b的取值范圍.

師：剛才我們解決了與函數(shù)相關(guān)的幾個問題，你們能不能根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想總結(jié)一下解決這類問題的基本方法？

學(xué)生用框架圖將這種方法描述出來，如圖4所示.

設(shè)計意圖教師先借助代數(shù)式引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想，從而歸納出代數(shù)與圖形各自具有的特點，以及數(shù)形結(jié)合的必要性與優(yōu)勢，進而在解決具體問題的過程中滲透數(shù)形結(jié)合思想，最后歸納出用數(shù)形結(jié)合思想解決具體問題的方法和策略，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想和方法的內(nèi)化與升華.

培養(yǎng)直觀想象能力的第二步是通過圖形描述具體的數(shù)學(xué)問題，使代數(shù)與圖形建立聯(lián)系. 函數(shù)的表示方式包括函數(shù)解析式、函數(shù)圖象、表格，從函數(shù)的圖象中可以得到該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)與特點，因此，函數(shù)本身就具有數(shù)形結(jié)合特征，是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力的最佳載體. 在本案例中，教師利用例題及其變式，使學(xué)生能夠直觀地通過觀察函數(shù)圖象與陰影部分交點的變化情況，并在分析圖形特殊點變化的趨勢中理解圖形的特征，將特殊點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為方程或不等式，從而解決問題. 整個解決問題的過程包含從圖形的分析到代數(shù)的解析，從定性分析到定量研究，實現(xiàn)了“以形助數(shù)，以數(shù)解形”的目標(biāo).

利用圖形解決問題，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

利用數(shù)形結(jié)合思想研究問題的核心是數(shù)與形的順利轉(zhuǎn)化與有效聯(lián)系. 因此，在教學(xué)中教師要注重探源開流，找尋知識的背景與生長點，從而拓寬學(xué)生的視野，發(fā)展學(xué)生的逆向思維，增強學(xué)生的創(chuàng)新意識. 如可以根據(jù)代數(shù)式進行圖形聯(lián)想，找到解題思路，或根據(jù)圖形直觀想象并構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從而使無形的代數(shù)問題變成有形的幾何問題，使抽象問題變得具體、形象.

案例3拓展課：數(shù)形結(jié)合思想.

【教學(xué)課例1：數(shù)軸】

問題1：求x-2+x+3的最小值.

學(xué)生交流、討論后一致認(rèn)為需要對x進行分類討論，從而找到最小值.

師：這種解決問題的方法是對的，但有些煩瑣. 能不能進行數(shù)形結(jié)合，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為幾何圖形來解決呢？大家想一想絕對值的定義，覺得可以轉(zhuǎn)化為什么圖形呢？

生：絕對值代表的是數(shù)軸上點與原點之間的距離，所以我們可以把這道題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點之間的距離之和.

接著，師生一起解決問題1，并歸納出此類問題的解決策略——用代數(shù)式的幾何意義表達(dá)數(shù)量關(guān)系，或用圖形的性質(zhì)來分析數(shù)量關(guān)系，具體解題步驟如圖5所示.

變式1：x-1+x-2+x-3的最小值是多少？

變式2：x-1+x-2+x-3+x-4的最小值是多少？

變式3：x-1+x-2+x-3+x-4+…+x-2018的最小值是多少？

設(shè)計意圖把含絕對值的代數(shù)式求最值問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點之間的距離之和，能強化學(xué)生對絕對值的理解. 將絕對值問題與數(shù)軸相結(jié)合，實現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化. 將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為通過直觀觀察可以解決的幾何問題，彰顯了數(shù)形結(jié)合的意義.

【教學(xué)課例2：平面直角坐標(biāo)系】

問題2：已知平面直角坐標(biāo)系中點A的坐標(biāo)為（2，1），點P是x軸上的一個動點，坐標(biāo)為（x，0），你能用含有x的代數(shù)式表示線段PA嗎？

追問：假設(shè)點B的坐標(biāo)為（-1，3），請用含有x的式子表示線段PB.

問題3：當(dāng)+取得最小值時，x的值是多少？代數(shù)式的最小值是多少？

教師引導(dǎo)學(xué)生解題，并歸納解題策略，根據(jù)勾股定理把所求的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為求線段的和，最終求得最小值.

設(shè)計意圖教師將代數(shù)式求最值問題轉(zhuǎn)化為求兩點之間的距離，根據(jù)勾股定理確定代數(shù)式的幾何意義，從而根據(jù)線段和探討數(shù)量關(guān)系. 直觀的圖形能使復(fù)雜的代數(shù)問題變得簡易.

【教學(xué)課例3：方程、函數(shù)、圖象的結(jié)合——換個角度看問題】

問題4：假設(shè)方程1-（x-a）（x-b）=0的兩個根分別是m和n（m

變式1：假設(shè)關(guān)于x的方程x2-4x+3=m有4個不同的實數(shù)根，請求出m的取值范圍.

變式2：假設(shè)關(guān)于x的方程x2-4x+3=m有4個不同的實數(shù)根，請求出m的取值范圍.

解決上述問題后，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納解決此類問題的策略——換一個角度，將研究方程的問題轉(zhuǎn)化為研究方程兩邊的函數(shù)圖象關(guān)系問題.

設(shè)計意圖教師將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象相交問題，能讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢，學(xué)生能夠通過直觀的函數(shù)圖象看到方程根的變化，這對于解決復(fù)雜的函數(shù)問題來說具有非常重要的意義，能鍛煉學(xué)生思維的靈活性.

在本案例中，教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從數(shù)軸中的數(shù)形結(jié)合到平面直角坐標(biāo)系中函數(shù)圖象的應(yīng)用，實現(xiàn)了思想認(rèn)識的飛躍；從研究直線上兩點之間的距離到平面上兩點之間的距離，進而到函數(shù)的具體應(yīng)用，由淺入深，由易到難，引導(dǎo)學(xué)生深入思考.

培養(yǎng)直觀想象能力的第三步是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，深化數(shù)形結(jié)合思想，通過探索圖形解決問題. “案例3”把抽象的代數(shù)式與形象的圖形聯(lián)系起來，發(fā)揮了圖形的直觀優(yōu)勢，使學(xué)生建構(gòu)起了直觀的形象，從而達(dá)到以圖形解決代數(shù)問題的目的. 如x-2結(jié)合數(shù)軸表示數(shù)x對應(yīng)的點與數(shù)2對應(yīng)的點之間的距離. 我們在解決絕對值問題時可以結(jié)合數(shù)軸采用數(shù)形結(jié)合思想建構(gòu)數(shù)學(xué)模型. 運用數(shù)形結(jié)合思想解決代數(shù)問題，能讓學(xué)生對代數(shù)與幾何之間的關(guān)系有更深入的理解.

綜上所述，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力需要教師先引領(lǐng)學(xué)生從具體實物中感受幾何元素，接著解析圖形幫助學(xué)生理解問題，最后讓學(xué)生在圖形探索中解決問題，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型. 在教學(xué)中，教師要立足學(xué)生的認(rèn)知水平，引導(dǎo)學(xué)生展開想象，在數(shù)形結(jié)合中尋找新舊知識的聯(lián)結(jié)點，力求做到代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，進而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識.