劉佳偉　宋楠　董文琦　曹玉波

摘 要 以一階直線倒立擺為研究對象，基于牛頓第二運動定律，在慣性坐標系內(nèi)分析和建立倒立擺狀態(tài)空間表達式數(shù)學(xué)模型，設(shè)計并實現(xiàn)了基于經(jīng)典PID控制器、狀態(tài)反饋控制器和全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制器的倒立擺控制系統(tǒng)。通過MATLAB腳本語言實現(xiàn)了倒立擺實時仿真與控制系統(tǒng)，結(jié)果表明：優(yōu)化后的全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制器運行效果更優(yōu)，仿真結(jié)果與實際設(shè)備運行狀態(tài)基本吻合。

關(guān)鍵詞 一階倒立擺 全維狀態(tài)觀測器 狀態(tài)反饋控制器 PID控制器 腳本編程 實時仿真

中圖分類號 TP273? ?文獻標識碼 A? ?文章編號 1000-3932（2023）04-0453-06

倒立擺系統(tǒng)作為一類經(jīng)典的非最小相位系統(tǒng)具有機械構(gòu)造簡單、占用空間小及使用范圍廣等優(yōu)點，非常適合在經(jīng)費與科研條件都有限的實驗室中進行控制實驗［1］。其本身所具有的非線性、強耦合性及不穩(wěn)定性［2］等工程中十分普遍的特性，使其具備著一般非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)中非常重要的動態(tài)性能［3］。在控制領(lǐng)域，許多經(jīng)典和現(xiàn)代的控制方法以及復(fù)雜系統(tǒng)的物理模型都可以近似到倒立擺系統(tǒng)中［4］，各種經(jīng)典控制理論和新穎的控制策略也可通過倒立擺進行驗證［5］，并且控制效果可以通過擺桿和小車的狀態(tài)直觀地體現(xiàn)出來，其相關(guān)控制算法已應(yīng)用于軍工、航天及機器人等諸多領(lǐng)域［6，7］。因此，對倒立擺系統(tǒng)的實現(xiàn)與優(yōu)化不僅能將理論具體應(yīng)用到實際設(shè)備，同時也為探索、論證新理論的正確與否提供實驗平臺和實踐基礎(chǔ)。

1 倒立擺機理模型

直線倒立擺是經(jīng)典的倒立擺模型，針對直線倒立擺的實驗?zāi)軌蛑庇^體現(xiàn)許多控制性能，如系統(tǒng)的能控能觀性、穩(wěn)定性及抗干擾性等［8］。本次設(shè)計根據(jù)經(jīng)典控制理論利用牛頓第二運動定律對倒立擺系統(tǒng)進行力學(xué)分析，在忽略空氣阻力和摩擦力后，可以將其抽象為由小車和勻質(zhì)擺桿組成的剛性系統(tǒng)，如圖1所示。

直線一階倒立擺簡化模型中的參數(shù)，均取自圖1a所示的實驗室倒立擺裝置說明書中提供的設(shè)備參數(shù)值，具體數(shù)據(jù)見表1。

2 系統(tǒng)控制方案

2.1 經(jīng)典PID控制

PID作為最經(jīng)典的控制方法具有通俗易懂、簡單有效等優(yōu)點，能夠很好地解決單輸入單輸出控制問題，通常適用于對線性定常系統(tǒng)的研究。由第1節(jié)推導(dǎo)的倒立擺模型狀態(tài)方程可知，直線一階倒立擺是一個單輸入雙輸出系統(tǒng)，因此，需要在直立控制的基礎(chǔ)上添加正反饋以控制位置，形成雙閉環(huán)控制系統(tǒng)，具體系統(tǒng)框圖如圖2所示。

2.2 狀態(tài)反饋控制器控制

通過狀態(tài)空間法，把高階常微分方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程組描述系統(tǒng)動態(tài)過程，這樣可以解決多輸入多輸出問題，同時適用于研究線性定常系統(tǒng)和非線性時變系統(tǒng)［9］。狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的原理如圖4所示，其中輸入r為小車位置的步進命令，K為控制增益的矩陣。與經(jīng)典控制不同的是，狀態(tài)反饋控制器是反饋系統(tǒng)的所有狀態(tài)，而不是使用系統(tǒng)的輸出來反饋。

2.3 基于全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制

在狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計中，假設(shè)了狀態(tài)變量都可測量，然而在實際控制過程中并不是所有的狀態(tài)變量都是可測量，并且狀態(tài)反饋控制只能滿足瞬態(tài)要求，沒有考慮穩(wěn)態(tài)誤差［11］。為了解決以上問題，必須利用可以觀測的量（輸入、輸出量）通過一個模型重新構(gòu)造系統(tǒng)狀態(tài)以對所有狀態(tài)變量進行估計，該模型即狀態(tài)觀測器［12］。帶有全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制的原理如圖6所示，其中■、■分別為x、y的估計值。

3 倒立擺實時仿真實驗平臺設(shè)計

本次設(shè)計選用MATLAB/GUI進行倒立擺仿真實驗平臺的開發(fā)［13］。利用GUI中的用戶圖形界面工具，在MATLAB/GUI自動生成的.m文件中編寫倒立擺模型程序、控制器程序和實時仿真程序。設(shè)計了模型參數(shù)設(shè)置、控制算法選擇及參數(shù)整定、實時仿真曲線及圖形動態(tài)顯示等界面，使用戶能夠在仿真之前自由填寫模型參數(shù)，在仿真過程中直觀地看到倒立擺的控制效果，并且仿真結(jié)束后可再次施加輕微擾動，觀察控制效果，使仿真過程更加貼合實際控制效果。

倒立擺仿真實驗平臺的實時仿真效果如圖8所示，左側(cè)為倒立擺模型參數(shù)設(shè)計界面，用戶可以設(shè)置不同倒立擺的參數(shù)，系統(tǒng)會自動計算參數(shù)并生成倒立擺模型；在仿真設(shè)置中，用戶可以選擇不同的控制算法，包括經(jīng)典PID控制算法、LQR控制算法（狀態(tài)反饋控制器）和基于全維狀態(tài)觀測-狀態(tài)反饋控制器算法，并填寫相應(yīng)的控制參數(shù)，系統(tǒng)根據(jù)用戶設(shè)置的參數(shù)反饋相應(yīng)的增益矩陣數(shù)值。中間和右側(cè)分別為實時仿真曲線顯示界面和模型動態(tài)顯示界面，且模型動態(tài)顯示為運行結(jié)果放大10倍的效果，用戶可以同時觀察仿真曲線和動態(tài)模型，更加直觀地體會控制效果?？梢钥吹剑抡媲€與動態(tài)模型是實時隨動的，且反饋的增益矩陣與理論計算結(jié)果相同，證明了所設(shè)計控制器與控制系統(tǒng)的合理性和有效性。

4 結(jié)束語

在慣性坐標系內(nèi)建立了直線一階倒立擺的數(shù)學(xué)模型，以該模型方程為被控對象，設(shè)計了經(jīng)典PID控制器、狀態(tài)反饋控制器和全維狀態(tài)觀測-狀態(tài)反饋控制器。然后用MATLAB/GUI設(shè)計了倒立擺實時仿真實驗平臺，編寫了控制器程序、實時仿真程序及模型動態(tài)顯示程序等。最后，利用實驗室倒立擺設(shè)備的參數(shù)，分別使用3款控制器對倒立擺系統(tǒng)進行實時仿真實驗。仿真結(jié)果表明：3款控制器都可以完成仿真控制實驗，且基于全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制器的控制效果最優(yōu)，證明了優(yōu)化的合理性與有效性。

參 考 文 獻

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（收稿日期：2022-11-25，修回日期：2023-05-14）

Optimization and Real-time Simulation of Inverted

Pendulum Control System

LIU Jia-weia， SONG Nanb， DONG Wen-qia， CAO Yu-boa

（a. College of Information and Control Engineering； b. College of Petrochemical Engineering，

Jilin Institute of Chemical Technology）

Abstract? ?Through taking a linear first-order inverted pendulum as the object of study and based on Newtons second law of motion，? the mathematical model of space expression for the inverted pendulum was established and analyzed in inertial coordinate system. On this basis， the simulation of inverted pendulum control system based on classical PID controller， state feedback controller and the state feedback controller of full-dimensional state observer was designed and implemented， including having MATLTB script language based to design a real-time simulation experiment platform for the inverted pendulum. Operating result indicates that， the state feedback controller of the optimized full-dimensional state observer has better control effect. The simulation results are in good agreement with the actual equipment running state

Key words? ?first-order inverted pendulum， full-dimensional state observer， state feedback controller， PID controller， scripting， real-time simulation