史記祥 余繼光

(1.江蘇省泰州市姜堰第二中學(xué);2.浙江省紹興市柯橋中學(xué))

本文通過對過去兩年新高考數(shù)學(xué)多項選擇題的知識點梳理,總結(jié)命題特點與應(yīng)試特征,得到最后階段復(fù)習(xí)的一些啟示,并結(jié)合新高考數(shù)學(xué)命題的規(guī)律進(jìn)行預(yù)測,最后提供原創(chuàng)的數(shù)學(xué)模擬試題,拋磚引玉,以提高新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的針對性與有效性.

多項選擇題從題干到選項圍繞一個較大主題展開,從內(nèi)涵到外延,從表征到本質(zhì),從判斷到推理,覆蓋面較大,綜合性較強(qiáng).多選題的構(gòu)成要素較復(fù)雜,破解的難度較大,需要的能力點較多,運算,推理,應(yīng)用能力都可能會觸及到,多項選擇題增加了考生數(shù)學(xué)思維的復(fù)雜性,要求考生更加細(xì)心.新高考數(shù)學(xué)命題引入多項選擇題后,在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時應(yīng)該增加相應(yīng)的專題訓(xùn)練.

1.2021—2022年新高考數(shù)學(xué)多選題的啟示

1.1 知識點分布

表1 2021年新高考數(shù)學(xué)多選題

表2 2022年新高考數(shù)學(xué)多選題

1.2 多選題應(yīng)試特征

從近兩年新高考數(shù)學(xué)多選題知識點角度來看,空間圖形、直線與圓錐曲線為必考點,向量、函數(shù)導(dǎo)數(shù)次之;從能力點角度來看,三角變換與數(shù)據(jù)分析能力要求高,運算能力次之;從痛點分布來看,多選題能力要求高,數(shù)學(xué)思維能力弱者痛點多,障礙多.

1.3 數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)啟示

一是教學(xué)落腳點關(guān)注數(shù)學(xué)基本概念與基本方法,考生只要打好數(shù)學(xué)基本功就能獲得較好成績;

二是圍繞干擾項的類型進(jìn)行復(fù)習(xí),如條件疏漏(將容易疏漏的條件所產(chǎn)生的結(jié)果設(shè)計為干擾項);實際背景忽視(細(xì)心模擬學(xué)生的演算過失和差錯,得到迷惑性較強(qiáng)的干擾項,對提高試題的針對性和鑒別力十分有效);概念混淆(針對學(xué)生容易混淆的概念、性質(zhì)設(shè)計為干擾項);題意誤解(讀題不慎,審題不細(xì),誤解題意,由此引發(fā)的錯誤結(jié)論設(shè)計為干擾項);推理錯亂(由不合邏輯地推理而造成的錯誤結(jié)果設(shè)計為干擾項);思維定式(熟悉的內(nèi)容,相似的形式,常會令人產(chǎn)生類比與聯(lián)想,可能產(chǎn)生負(fù)遷移,由此導(dǎo)致的錯誤設(shè)計為干擾項).

2.2023年新高考數(shù)學(xué)多選題的預(yù)測

2.1直線與圓錐曲線內(nèi)容在新高考數(shù)學(xué)命題中一般都有一大(解答題)二小(客觀題),所以在多選題中必有一題,直線與圓、直線與橢圓、直線與雙曲線、直線與拋物線都有可能,而且考的比較多的是直線與圓錐曲線中的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系,命題的范圍比較大,因此復(fù)習(xí)盡可能覆蓋面寬一點.

2.2空間圖形內(nèi)容在新高考數(shù)學(xué)命題中一般也是一大(解答題)二小(客觀題),所以在多選題中必有一題,空間直線、平面的位置關(guān)系與度量關(guān)系都是命題的落腳點,命題的切入點傳統(tǒng)的是正向命題,可以嘗試的是從策略方案角度切入創(chuàng)新,側(cè)重于位置關(guān)系,因為解答題一般會涉及空間三大角的計算.

2.3數(shù)列是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),雖然2021年與2022年多選題中還沒有涉及到,但是數(shù)列內(nèi)容在新高考數(shù)學(xué)命題中一般會有一大(解答題)一小(客觀題),關(guān)鍵是一小放在填空還是選擇題中,數(shù)列重點在等差數(shù)列、等比數(shù)列、特殊數(shù)列,前兩項內(nèi)容在解答題的可能性更大,而特殊數(shù)列選準(zhǔn)創(chuàng)新點可能會對整份試卷是一大亮點.

2.4函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在新高考數(shù)學(xué)命題中一般都有一大(解答題)二小(客觀題),所以在多選題中可能會有一題,其內(nèi)容重點在檢測函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)可能會成為函數(shù)應(yīng)用時的一個工具,為了將創(chuàng)新意識與發(fā)散性思維引入高考數(shù)學(xué)命題,命題的結(jié)構(gòu)與形式會很靈活.

3.2023年新高考數(shù)學(xué)多選題的模擬

3.1 直線與圓錐曲線

( )

【答案】ABCD

設(shè)M(x1,y1),N(-x1,-y1),P(x,y),由M,N,P在橢圓上,得

選項D是選項B的一種特殊情形,故選項D同樣正確,

故選ABCD.

【設(shè)計意圖】點差法探究發(fā)現(xiàn)橢圓的弦斜率與弦中點與原點連線斜率之積的數(shù)量關(guān)系規(guī)律;橢圓內(nèi)兩條弦,所得到的數(shù)量規(guī)律與它是一致的;橢圓內(nèi)的弦移動至相切,得到的數(shù)量規(guī)律仍不變,此問題反映直線與橢圓位置關(guān)系與度量關(guān)系中非常重要的性質(zhì),是圓錐曲線中的一個經(jīng)典問題,應(yīng)試中能夠檢測學(xué)生的基本功,很多學(xué)生并不知道這一經(jīng)典,也沒有完全掌握點差法,可能沒有想到這4個命題都是正確的,命題本身結(jié)構(gòu)簡潔整齊,體現(xiàn)數(shù)學(xué)美.

3.2 空間圖形

在正三棱柱A1B1C1—ABC中,D是C1C的中點,O是A1B與AB1的交點,E是OA的中點,尋找證明EC∥平面A1BD的正確途徑有

( )

A.選取OA1的中點為F

B.選取B1C與BD的交點為R

C.選取AB的中點為G

D.選取AA1的中點為H

【答案】ABCD

【解析】對于A,如圖1,把EC沿CD方向平行投影光束到平面A1BD上,可得DF,此時點F為OA1的中點,易證四邊形CDFE為平行四邊形,得EC∥平面A1BD,故選項A正確;

圖1

對于B,如圖2,將B1作為點光源,在平面A1BD內(nèi)連接OR,其中心投影光束為EC,利用線段成比例證明OR∥EC,得EC∥平面A1BD,故選項B正確;

圖2

對于C,如圖3,把點E沿A1B方向平行投影到平面ABC上,得到點G,則由EG∥A1B,GC∥OD可證平面EGC∥平面A1BD,得EC∥平面A1BD,故選C正確;

圖3

對于D,如圖4,把點E沿BA1方向平行投影到平面AA1C1C上,得到點H,H為A1A的中點,則由EH∥A1B,HC∥A1D,可證平面EHC∥平面A1BD,得EC∥平面A1BD,故選項D正確.

圖4

故選ABCD.

【設(shè)計意圖】尋找證明直線與平面平行的途徑,看似簡單,但需要作輔助圖形或輔助線,驗證思維途徑正確性的經(jīng)驗是:尋找點或線或圖形的投影,一次次通過平移線段CE的位置來進(jìn)行探索,最后通過邏輯推理完成問題,命題本身語言簡潔,命題角度新穎,從邏輯思維的角度來檢測學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,思維量大,沒有運算量,從解題策略與方案優(yōu)化上命題將是新高考數(shù)學(xué)命題的一個方向,此命題思路也可以用在證明直線與平面垂直、平面與平面垂直的策略與途徑上,提升思維難度.

3.3 特殊數(shù)列

( )

【答案】ABCD

得到下標(biāo)規(guī)律如表所示:

下標(biāo)(n為奇數(shù)項)1357…2n-1an3×0+33×1+33×2+33×3+3…3×(n-1)+3規(guī)律3×(1-1)+33×(2-1)+33×(3-1)+33×(4-1)+3…3×(n-1)+3

故選ABCD.

證明:當(dāng)n=1時,命題顯然成立.

命題也成立,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納原理,對任意正整數(shù)n,命題都成立.

【設(shè)計意圖】遞推思想與遞推能力不僅是數(shù)列的重要思想方法,也是科學(xué)研究的基本功,取整函數(shù)與小數(shù)函數(shù)雖然在中學(xué)數(shù)學(xué)中使用率較小,但在高等數(shù)學(xué)中起著十分重要的作用,特殊數(shù)列的規(guī)律不是十分明顯,必須通過遞推去發(fā)現(xiàn)、去歸納、去猜測,由特殊到一般尋找下標(biāo)規(guī)律比較困難,所以此題的難度較大.

3.4 函數(shù)導(dǎo)數(shù)

( )

A.學(xué)生甲構(gòu)造函數(shù)f(x)=asinx舉一例為f(x)=sinx

【答案】ABCD

f(x)=ax2sinx+bx,f′(x)=(2axsinx+ax2cosx)+b,為偶函數(shù),f′(0)=b=1,

f(x)=ax3+bsinx+cx,f′(x)=3ax2+bcosx+c,f′(0)=b+c=1,

故選ABCD.