嚴(yán)豪東　劉成龍

一、試題再現(xiàn)

（2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷22題）已知點(diǎn)A（2，1）在雙曲線(xiàn)C：x2a2－y2a2－1=1（a>0）上，直線(xiàn)l交C于兩點(diǎn)P、Q，直線(xiàn)AP、AQ的斜率之和為0.

（Ⅰ）求l的斜率;

（Ⅱ）若tan∠PAQ=22，求△PAQ的面積.

本題以雙曲線(xiàn)為載體，主要考查解析幾何中的設(shè)線(xiàn)、解點(diǎn)與面積計(jì)算.該試題內(nèi)涵豐富，解答入口寬，是考查學(xué)生運(yùn)算能力、推理能力等學(xué)科素養(yǎng)的良好載體.

二、試題立意

試題的立意是指試題所包含的主要思想.［1］本例立意深刻，下面從基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法、核心素養(yǎng)三個(gè)方面進(jìn)行分析.

（1）基礎(chǔ)知識(shí)立意：命題者在遵循課程標(biāo)準(zhǔn)的前提下，以雙曲線(xiàn)為載體，考查了高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)：雙曲線(xiàn)方程、誘導(dǎo)公式、兩直線(xiàn)夾角公式、三角形面積公式等，這有導(dǎo)向高中數(shù)學(xué)教學(xué)夯實(shí)基礎(chǔ)、著力主干之意.

（2）思想方法立意：本題涉及函數(shù)與方程思想、化歸轉(zhuǎn)化與思想、數(shù)形結(jié)合思想等多種數(shù)學(xué)思想，對(duì)引導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重視數(shù)學(xué)思想方法具有積極意義.

（3）核心素養(yǎng)立意：本題解答涉及較為復(fù)雜的運(yùn)算和推理，充分考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng);解答（Ⅱ）問(wèn)建構(gòu)“兩直線(xiàn)夾角”模型，考查數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng);整個(gè)解答過(guò)程中建立了形與數(shù)間的聯(lián)系，利用圖形描述問(wèn)題，借助幾何直觀(guān)理解問(wèn)題，考查直觀(guān)想象素養(yǎng).

三、試題解法

從系統(tǒng)論來(lái)看，一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題就是一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)的處理（解題）就是把系統(tǒng)中一個(gè)個(gè)零散的信息按照一定順序串在一起形成一個(gè)有機(jī)整體.一題多解是解法研究的基本形式，體現(xiàn)的是信息組合的多樣性和思維策略的靈活性［2］.下面給出本題（Ⅱ）的解答.

分析：解答分為三步：求斜率kAP、kAQ，求三角形的各點(diǎn)坐標(biāo)，求面積.

參考文獻(xiàn)

［1］劉成龍，余小芬.研究高考試題的視角與案例［M］.成都： 四川大學(xué)出版社，2018.

［2］嚴(yán)豪東，劉成龍.研究高考試題的視角與案例—以2019年高考全國(guó)卷I理科為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020.6.

［3］劉成龍，余小芬.數(shù)學(xué)推廣：概念、特征及教育價(jià)值［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2021.5.

（基金項(xiàng)目：內(nèi)江師范學(xué)院本科生教學(xué)研究能力培養(yǎng)模式探索與實(shí)踐（YLZY201902），內(nèi)江師范學(xué)院基礎(chǔ)教育研究與實(shí)踐專(zhuān)項(xiàng)“聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的大概念教學(xué)研究”（JG202125）.劉成龍系本文通訊作者. ）