李 健 于 涵

(人民教育出版社課程教材研究所 100081)(北京景山學校遠洋分校 100040)

隨著大數(shù)據(jù)時代的來臨,數(shù)據(jù)素養(yǎng)成為人們應對工作、生活的重要能力之一,也就自然成為數(shù)學課程聯(lián)系現(xiàn)實應用的重要落腳點．在《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(下稱《標準2022》)中,發(fā)展學生的數(shù)據(jù)意識與數(shù)據(jù)觀念,成為落實義務教育階段數(shù)學課程“三會”核心素養(yǎng)的重要舉措[1]．

“統(tǒng)計與概率”是義務教育階段數(shù)學課程內(nèi)容的四個學習領域之一,與《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》相比,《標準2022》在“統(tǒng)計與概率”領域中的變化不?。畬τ诔踔须A段而言,增加了“中位數(shù)、眾數(shù)的意義”“數(shù)據(jù)分類的原則”“四分位數(shù)、百分位數(shù)”“箱線圖”“分布式計算”等內(nèi)容[2],它們都可歸為探索數(shù)據(jù)特征的有力工具或重要方法．其中,箱線圖作為呈現(xiàn)數(shù)據(jù)分布特征的可視化技術,為初中生開展數(shù)據(jù)分析活動提供了一種簡單而直觀的工具．由于箱線圖是《標準2022》中新增的內(nèi)容,所以絕大多數(shù)一線教師對其并不熟悉．為此,本文將依循箱線圖有何形式、從何而來、如何認識、如何教學的邏輯線索展開分析:首先介紹箱線圖的呈現(xiàn)形式;再對箱線圖的起源與發(fā)展進行說明;然后從“數(shù)”“形”兩個角度討論箱線圖,加深認識;最后提出關于箱線圖的教學思考．

1 何其形:箱線圖的呈現(xiàn)形式

《標準2022》中出現(xiàn)的箱線圖,也可稱為盒須圖,緣于對英文術語box-and-whisker plot的直譯．又因常以英文術語box plot作為box-and-whisker plot的簡稱,故而也常將其譯作箱形圖或箱式圖．

統(tǒng)計分析一組定量數(shù)據(jù)時,最基本的操作包括了解這組數(shù)據(jù)的分布形式．對于一維數(shù)據(jù)而言,統(tǒng)計學中常常使用一種稱為“五數(shù)概括(5-number summary)”的數(shù)據(jù)描述方式．所謂“五數(shù)概括”,是指將一組數(shù)據(jù)按由小到大排序,使用最小值、第一四分位數(shù)(第25百分位數(shù)/下四分位數(shù))、中位數(shù)(第50百分位數(shù))、第三四分位數(shù)(第75百分位數(shù)/上四分位數(shù))、最大值對這組數(shù)據(jù)的分布形態(tài)進行綜合描述．

圖1 箱線圖的典型構造

箱線圖是一種可以直觀地呈現(xiàn)“五數(shù)概括”的數(shù)據(jù)可視化技術,箱線圖的典型構造見圖l．箱線圖將整個數(shù)據(jù)集劃分為容量大小相等的四個子集:“箱子”的下端和上端分別表示第一四分位數(shù)和第三四分位數(shù),整個“箱子”的長度(第三四分位數(shù)減第一四分位數(shù)的差)稱為四分位距,能夠呈現(xiàn)出中間50%的數(shù)據(jù)分布區(qū)域;在“箱子”內(nèi)部繪制一個橫條與“箱子”相交,該橫條上下各有一半的數(shù)據(jù),這個橫條表示整個數(shù)據(jù)集的中位數(shù);“箱子”兩端的兩條線被延展到整個數(shù)據(jù)集的最小值和最大值;有時為了避免一些極端值影響我們對數(shù)據(jù)分布的認識,也將線的長度設置為四分位距的倍數(shù)(如1.5或3),例如當個別數(shù)據(jù)不在區(qū)間[第一四分位數(shù)-1.5倍四分位距,第三四分數(shù)+1.5倍四分位距]內(nèi)時,就將該數(shù)據(jù)獨立標出,這個數(shù)據(jù)就稱為異常值．

需要說明的是,“箱子”的寬度和填充、線的呈現(xiàn)形式、異常值的表示等都沒有絕對的標準,繪圖者可以自行選擇．

2 何由來:箱線圖的起源與發(fā)展

箱線圖的起源可以追溯到范圍條形圖(range-bar chart),如圖2(1)．Haemer認為,范圍條形圖不僅可用于數(shù)據(jù)全距的比較,還可以通過在圖中注釋,以此表示集中趨勢,如中位數(shù)、平均值、眾數(shù)、標準差等[3]．利用這種在范圍條形圖中做標注的改良思想,通過在范圍條形圖中標注“五數(shù)概括”,將條形圖縮短到只包含中間50%的數(shù)據(jù),使用細線表示整個范圍,用垂線表示中位數(shù),如圖2(2),這就是我們今天普遍見到的箱線圖[4]．20世紀70年代,美國統(tǒng)計學家John Tukey正式發(fā)明了箱線圖,并指出:描述一組數(shù)據(jù)時,當存在某些遠離絕大多數(shù)數(shù)據(jù)的極端值時,需要設置合適的“柵欄(fence)”對其進行區(qū)分,并提出將箱線圖兩端的線的長度設置為四分位距的1.5倍,并使用獨立標記來表示異常值;去掉了范圍條形圖中的填充;清楚地標記范圍線的末端[5]41-44．

圖2 箱線圖的演變

在此之后,一些改良版的箱線圖應運而生,如圖2(3)中的四分位數(shù)圖(quartile plot)、圖2(4)中的縮略箱線圖(abbreviated box plot)等.這些圖的一個共性特點是都盡可能地使用較少的“筆墨”繪制箱線圖,這既是出于減小繪制難度的考慮,又兼顧到了繪制、印刷過程中的顏料成本控制[4]．近年來,隨著計算機及數(shù)據(jù)可視化軟件的發(fā)展,箱線圖已經(jīng)逐步被一些更能夠精細地體現(xiàn)數(shù)據(jù)分布特征的統(tǒng)計圖所取代[6],例如圖3中的小提琴圖(violin plot)、散點圖(dot plot)就可以傳遞出某些數(shù)據(jù)集分布的多峰特征,但對應的箱線圖僅能呈現(xiàn)中位數(shù)這一集中趨勢．

圖3 同一數(shù)據(jù)集對應的箱線圖(左)、小提琴圖(中)與散點圖(右)

自箱線圖被發(fā)明以來,很快便得到廣泛應用,究其原因:一方面在于箱線圖能夠提供關于數(shù)據(jù)分布的豐富信息;另一方面在于箱線圖易于繪制,畢竟在上世紀中后期,數(shù)據(jù)可視化主要是通過手工繪制實現(xiàn)的．盡管箱線圖對信息傳遞的精確度不如之后發(fā)明的小提琴圖、散點圖等優(yōu)越,但無論如何,箱線圖都已憑借其簡單易得、直觀形象的特點,奠定了其在數(shù)據(jù)可視化技術中的地位,成為了描述數(shù)據(jù)分布特征的經(jīng)典工具．時至今日,我們能夠在許多數(shù)據(jù)分析報告中看見箱線圖的身影．

3 何以識:箱線圖的“數(shù)”“形”理解

作為統(tǒng)計圖的箱線圖,具有數(shù)形結合的特征．接下來,將分別從“數(shù)”“形”兩個視角入手分析箱線圖,確保能夠更加深入地認識箱線圖．

3.1 兩種數(shù)量表征:“五數(shù)概括”與“三個中位數(shù)”

從“數(shù)”的角度來看,理解箱線圖的前提條件是能夠準確認識“五數(shù)概括”．在“五數(shù)概括”中,最小值與最大值很容易理解,只要確定了這兩個值,也就輕松地確定了整個數(shù)據(jù)的分布范圍．緊接著,我們應該查看中位數(shù).中位數(shù)是衡量一組數(shù)據(jù)分布中心的參數(shù),它將整個數(shù)據(jù)集按數(shù)值大小“一分為二”,一半的數(shù)比它大、一半的數(shù)比它小,這樣就形成了兩個容量為原數(shù)據(jù)集容量一半的新數(shù)據(jù)集．然后,再對兩個新的數(shù)據(jù)集分別取中位數(shù),這兩個中位數(shù)就是原數(shù)據(jù)集的第一四分位數(shù)和第三四分位數(shù)了．

通過上述分析,不難發(fā)現(xiàn)“五數(shù)概括”與三個中位數(shù)之間的緊密關聯(lián):以兩個極值為基礎,通過三次按數(shù)值大小“一分為二”,得到三個中位數(shù),也就是“五數(shù)概括”中的三個四分位數(shù)．因此,如果將“五數(shù)概括”稱為箱線圖的一種靜態(tài)形成方式,那么“三個中位數(shù)”就為我們提供了一種箱線圖的動態(tài)形成方式．

3.2 幾何特征分析:長度對應數(shù)據(jù)密度而非頻數(shù)

比較是認識事物特征的有效方式,將箱線圖與其他一些經(jīng)典統(tǒng)計圖相比較,有助于我們更好地認識箱線圖的特殊性．在條形圖(bar chart)中,不同類別對應的矩形高/面積,與該類別所占數(shù)據(jù)頻數(shù)成正比,如圖4中類別B對應的矩形是類別A對應矩形的高/面積的2倍,那么類別B對應的數(shù)據(jù)頻數(shù)就是類型A對應數(shù)據(jù)頻數(shù)的2倍．相似的情形在扇形圖(pie chart)、直方圖(histogram)、雷達圖(radar chart)中同樣存在:在這些統(tǒng)計圖中,幾何對象的度量值與其所占數(shù)據(jù)頻數(shù)成正比．

圖4 條形圖的高/面積與其頻數(shù)成正比 圖5 箱線圖各部分長度與其數(shù)據(jù)密度成反比

通過上述分析可知:不同于多數(shù)統(tǒng)計圖,箱線圖中各“部分”的長度(度量值),僅與其所占數(shù)據(jù)的密度有關,謹防將其與各“部分”所占數(shù)據(jù)頻數(shù)相關聯(lián)．

4 何所教:箱線圖的教學思考

基于上述對箱線圖的分析,以及大數(shù)據(jù)時代背景下統(tǒng)計教學的需求導向,對箱線圖的教學提出幾點思考．

4.1 以數(shù)據(jù)分布為載體,為學生提供“三會”素養(yǎng)的學習機會

《標準2022》將“三會”(會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界)作為數(shù)學學科核心素養(yǎng),是學生數(shù)學學習的關鍵．箱線圖的本質是對數(shù)據(jù)分布的可視化呈現(xiàn),能幫助學生掌握與探索一組事物數(shù)據(jù)信息的分布概貌．利用箱線圖直觀刻畫現(xiàn)實世界中的數(shù)據(jù)分布,能夠為學生提供發(fā)展“三會”核心素養(yǎng)的有效學習機會．首先是體現(xiàn)“數(shù)學的眼光”,教學時要注意體現(xiàn)學習數(shù)據(jù)分布的意義所在,例如呈現(xiàn)希望了解不同天氣情況的單日冷飲售賣情況、不同睡眠時間學生的身高差異等問題情境,使學生基于不同情境感受到研究數(shù)據(jù)分布是一種行之有效的解決問題的手段．其次是體現(xiàn)“數(shù)學的思維”,由于箱線圖的最佳用途在于同時比較多個數(shù)據(jù)的分布[7],所以應讓學生結合箱線圖中的“五數(shù)概括”與圖形特征,對不同類別數(shù)據(jù)的分布進行比較．最后是體現(xiàn)“數(shù)學的語言”,箱線圖是基于數(shù)據(jù)建立的一種能夠反映其分布特點的模型,這種模型就是一種數(shù)學的語言,故而要借助箱線圖培養(yǎng)學生解讀數(shù)據(jù)分布的能力．對于部分學有余力的學生,甚至可建議其通過自行繪制箱線圖,進行數(shù)據(jù)分布的分析．

4.2 加強數(shù)學內(nèi)部關聯(lián),注重箱線圖與相關統(tǒng)計知識的整合

箱線圖本身不是孤立存在的,在其對應的統(tǒng)計知識體系中占據(jù)著一席之地,將其與相關統(tǒng)計知識整合在一起,將有助學生形成良好的數(shù)學知識脈絡、更好地理解與掌握箱線圖．首先,箱線圖是“五數(shù)概括”的可視化形式,也就直接關聯(lián)到四分位數(shù)、百分位數(shù)等統(tǒng)計概念,這些概念都與一組數(shù)據(jù)中元素的順序相關,是典型的基于“數(shù)值順序”刻畫數(shù)據(jù)分布形式的參數(shù),教學時應注重結合箱線圖,使學生會計算四分位數(shù),能感悟百分位數(shù)的意義．其次,要注意將箱線圖與條形圖、直方圖等統(tǒng)計圖進行比較教學,通過異同點分析,將有助學生更好地理解箱線圖的特征,諸如箱線圖中不同部分的長度僅能反映對應的數(shù)據(jù)密度等．最后,還要注意箱線圖與“均值+標準差”的比較.它們的相同點在于均能夠刻畫數(shù)據(jù)的分布特征,不同點也同樣明顯:箱線圖上、下兩端點刻畫數(shù)據(jù)集的整體范圍,“箱子”的上、下邊刻畫中間50%數(shù)據(jù)的范圍;相較于箱線圖按“數(shù)值順序”刻畫數(shù)據(jù)分布,“均值+標準差”是按“數(shù)值大小”對整個數(shù)據(jù)集最中間的那一部分數(shù)據(jù)的刻畫,均值刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢,標準差刻畫數(shù)據(jù)的離散程度．兩種刻畫方式的內(nèi)涵有差異,操作難易程度也不相同,希望通過比較兩種刻畫數(shù)據(jù)分布的方式,使學生面對具體問題時能夠選擇合適的數(shù)據(jù)分析手段．

4.3 落實數(shù)學文化育人,借箱線圖發(fā)展拓寬學生的統(tǒng)計學視野

數(shù)學文化是數(shù)學課程的組成要素之一,挖掘箱線圖發(fā)展過程中所蘊含的數(shù)學文化,合理地將其融入教學之中,有助于拓寬學生的統(tǒng)計學視野,使學生更好地認識統(tǒng)計學的發(fā)展．箱線圖作為上世紀70年代發(fā)明出的一種探究數(shù)據(jù)特征的技術,是伴隨著探索性數(shù)據(jù)分析的興起而發(fā)展起來的．1977年,箱線圖之父Tukey的著作《探索性數(shù)據(jù)分析》(ExploratoryDataAnalysis)出版,該書前言中記載著如下一段文字:“曾幾何時,統(tǒng)計學家只會探索．后來,他們學會了準確地驗證……任何沒有明確附加驗證過程的東西都被譴責為‘僅僅是描述性統(tǒng)計’……今天,探索和驗證可以——也應該——并肩而行．”[5]Ⅶ這段話為我們大致描述了統(tǒng)計學的變革:從早期的描述性統(tǒng)計時期,到基于小樣本數(shù)據(jù)的推斷性統(tǒng)計發(fā)展期,再到重視數(shù)據(jù)探索．而Tukey所吹響的探索性數(shù)據(jù)分析的變革號角,可稱之為大數(shù)據(jù)時代來臨的前哨.箱線圖正是這一時期Tukey為實現(xiàn)數(shù)據(jù)探索而發(fā)明的有力工具,不僅有助于探索數(shù)據(jù)的分布形式,還能較好地實現(xiàn)數(shù)據(jù)可視化．以向學生講授箱線圖發(fā)展為契機,趁機融入統(tǒng)計學的發(fā)展變革及數(shù)據(jù)探索、可視化等內(nèi)容,能夠使學生感受到統(tǒng)計的科學價值與應用價值、領悟統(tǒng)計之美,有助于落實數(shù)學的文化育人功能．