趙 巖

(江蘇省蘇州高新區(qū)景山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校 215129)

1989年全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)(NCTM)明確提出:“數(shù)學(xué)課程的重點(diǎn)應(yīng)該是‘?dāng)?shù)學(xué)概念和理解’,數(shù)學(xué)教育研究者和教學(xué)設(shè)計(jì)者要將數(shù)學(xué)理解作為數(shù)學(xué)研究的首要重點(diǎn)．”[1]數(shù)學(xué)理解是指學(xué)習(xí)者經(jīng)歷對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的理解性學(xué)習(xí)后,形成了對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象及其知識(shí)外延的本質(zhì)性認(rèn)識(shí)．21世紀(jì)以來(lái),國(guó)內(nèi)外也涌現(xiàn)了諸多相關(guān)數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵、價(jià)值、過(guò)程與水平層次的研究．顧泠沅先后通過(guò)兩次大樣本調(diào)查,確定了數(shù)學(xué)理解的水平分析框架,將數(shù)學(xué)理解劃分為“記憶性理解水平”“解釋性理解水平”和“探究性理解水平”[2]．在前人研究的基礎(chǔ)上,李春雷等將數(shù)學(xué)理解的水平劃分為認(rèn)知和情感兩大維度．從認(rèn)知維度出發(fā),數(shù)學(xué)理解可以劃分為“工具性理解”“關(guān)系性理解”與“創(chuàng)造性理解”;從情感維度出發(fā),主要包括“文化性理解”[3]．該劃分為基于數(shù)學(xué)理解的教學(xué)提供了理論參考．

隨著后建構(gòu)課堂的提出,單元復(fù)習(xí)課的研究也逐漸受到重視．單元復(fù)習(xí)課是在一個(gè)單元內(nèi)容的教學(xué)結(jié)束后,專門對(duì)該單元所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法進(jìn)行梳理,促進(jìn)學(xué)生形成知識(shí)體系,深化知識(shí)理解,提升綜合能力．函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,是聯(lián)系數(shù)學(xué)不同分支的紐帶,是研究變化過(guò)程的重要數(shù)學(xué)模型．函數(shù)學(xué)習(xí)重在理解．在函數(shù)單元復(fù)習(xí)中,學(xué)生對(duì)函數(shù)已經(jīng)擁有了豐富的認(rèn)識(shí),那么促進(jìn)學(xué)生形成高水平的數(shù)學(xué)理解應(yīng)是課堂教學(xué)的關(guān)鍵．本研究基于數(shù)學(xué)理解認(rèn)知維度的水平框架,以“二次函數(shù)”章節(jié)復(fù)習(xí)課為例,闡述深化學(xué)生數(shù)學(xué)理解的單元復(fù)習(xí)課教學(xué)策略．

1 巧用課前任務(wù)單,夯實(shí)工具性理解

工具性理解水平是指學(xué)生掌握了相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí),并能應(yīng)用于簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決．在單元復(fù)習(xí)階段,大部分學(xué)生在先前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)能夠達(dá)到工具性理解水平,但并未形成單元知識(shí)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)．學(xué)習(xí)任務(wù)單是教師根據(jù)教材特點(diǎn)和學(xué)情分析,為實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目的而為學(xué)生設(shè)計(jì)的一種支架．任務(wù)單有助于喚醒學(xué)生對(duì)整個(gè)章節(jié)知識(shí)的回憶,促進(jìn)學(xué)生對(duì)單元知識(shí)的工具性理解．在單元復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)中,需要借助任務(wù)單激活學(xué)生的已有認(rèn)知,幫助學(xué)生抓住某一線索來(lái)形成單元知識(shí)的基本框架,進(jìn)而達(dá)到夯實(shí)學(xué)生工具性理解的目的．

案例1二次函數(shù)章節(jié)復(fù)習(xí)課前任務(wù)單．

已知二次函數(shù)y=(m-1)xm2-m+2．

(1)求m的值．

(2)畫出函數(shù)示意圖,并求出拋物線開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．

(3)x為何值時(shí),y隨x的增大而減小;x為何值時(shí),y有最大(小)值,這個(gè)最大(小)值是多少?

(4)將該拋物線向上平移3個(gè)單位,求得到的新拋物線的函數(shù)表達(dá)式,并說(shuō)出它的相關(guān)性質(zhì)．

(5)將該拋物線向右平移2個(gè)單位,求得到的新拋物線的函數(shù)表達(dá)式,并說(shuō)出它的相關(guān)性質(zhì)．

(6)將該拋物線先向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位,求得到的新拋物線的函數(shù)表達(dá)式,并說(shuō)出它的相關(guān)性質(zhì),填寫表1．

表1

(7)從平移關(guān)系、頂點(diǎn)變換兩方面來(lái)思考二次函數(shù)y=a(x+h)2+k與y=ax2的關(guān)系．

設(shè)計(jì)說(shuō)明單元復(fù)習(xí)課的首要目的是梳理知識(shí),知識(shí)梳理的目標(biāo)是以核心知識(shí)點(diǎn)為結(jié)點(diǎn),以知識(shí)的發(fā)生發(fā)展為主線,建立多元聯(lián)系、達(dá)成前后相依．任務(wù)單的設(shè)計(jì)是基于對(duì)二次函數(shù)知識(shí)的理解,包括概念和圖象與性質(zhì)．概念是以形式作為問(wèn)題喚起學(xué)生的回憶;圖象與性質(zhì)以y=ax2為主線進(jìn)行拋物線性質(zhì)的回顧,再通過(guò)左右和上下平移建立多元聯(lián)系,得到頂點(diǎn)式的圖象與性質(zhì)．最后第(7)題讓學(xué)生通過(guò)前后相依的問(wèn)題,自然連貫地思考y=a(x+h)2+k與y=ax2的關(guān)系．

好的開始是成功的一半．單元復(fù)習(xí)課知識(shí)點(diǎn)多,課前任務(wù)單的使用有助于減少?gòu)?fù)習(xí)課上知識(shí)點(diǎn)零碎的狀況,同時(shí)幫助學(xué)生厘清知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián),夯實(shí)學(xué)生對(duì)章節(jié)知識(shí)的工具性理解．課前任務(wù)單讓學(xué)生課前完成,初步建立基本知識(shí)體系,同時(shí),教師能充分了解學(xué)生存在的問(wèn)題,從而決定課堂教學(xué)的側(cè)重點(diǎn),使得教學(xué)內(nèi)容更符合學(xué)生的需要,有助于學(xué)生理解、掌握基礎(chǔ)知識(shí)．

2 以問(wèn)題鏈為載體,促進(jìn)關(guān)系性理解

“關(guān)系性理解”注重的是數(shù)學(xué)知識(shí)獲得的過(guò)程性及結(jié)構(gòu)性,表現(xiàn)為“知其所以然”．處于關(guān)系性理解水平的學(xué)生,能夠?qū)?shù)學(xué)原理、定理、規(guī)則進(jìn)行邏輯分析或證明,對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的形成應(yīng)提升為數(shù)學(xué)思想方法層面,與關(guān)聯(lián)知識(shí)進(jìn)行邏輯聯(lián)結(jié),將一系列數(shù)學(xué)事實(shí)構(gòu)建成知識(shí)體系和模型．“問(wèn)題鏈”是指在課堂上呈現(xiàn)給學(xué)生的、有序的主干問(wèn)題串．?dāng)?shù)學(xué)問(wèn)題鏈期望能為學(xué)生提供數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程及其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)方法論．“問(wèn)題鏈”教學(xué)不僅能為學(xué)生提供思考的問(wèn)題,在內(nèi)容上引導(dǎo)學(xué)生思考獲得高水平的思維,而且問(wèn)題與問(wèn)題之間的跨度能為學(xué)生多角度思考和探索提供可能性．問(wèn)題鏈教學(xué)透過(guò)問(wèn)題的有機(jī)連接,讓學(xué)生在解決系列問(wèn)題的過(guò)程中構(gòu)建知識(shí)體系,與周圍知識(shí)進(jìn)行聯(lián)結(jié),深化對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的理解．

案例2二次函數(shù)復(fù)習(xí)課的問(wèn)題鏈．

主干問(wèn)題1:二次函數(shù)頂點(diǎn)式與一般式的關(guān)系如何?

將拋物線y=-x2進(jìn)行平移,得到一條新的拋物線．

子問(wèn)題1.1:該新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,5),求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

子問(wèn)題1.2:該新拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,3),(1,4),求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

子問(wèn)題1.3:變式得到的新拋物線由拋物線y=-x2如何平移得到?

主干問(wèn)題2:二次函數(shù)與對(duì)應(yīng)的方程、不等式的關(guān)系如何?

圖1

如圖1,變式得到的新拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C．

子問(wèn)題2.1:求點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo).

子問(wèn)題2.2:當(dāng)y>0時(shí),求x的取值范圍.

子問(wèn)題2.3:直線BC的解析式為y=kx+b,當(dāng)-x2+2x+3>kx+b>0時(shí),求x的取值范圍.

主干問(wèn)題3:二次函數(shù)圖象中點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系如何?

圖2

如圖2,變式得到的新拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C,連接BC．

子問(wèn)題3.1:點(diǎn)P為直線BC上一點(diǎn),點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)的距離相等,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

子問(wèn)題3.2:點(diǎn)P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸,交拋物線于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．用m表示線段PQ的長(zhǎng)度,并求出線段PQ長(zhǎng)的最大值．

子問(wèn)題3.3:點(diǎn)P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．用m表示△PBC的面積,并求出△PBC面積的最大值．

設(shè)計(jì)說(shuō)明單元教學(xué)是以主題為核心進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),關(guān)注知識(shí)的整合,依據(jù)某一核心概念形成知識(shí)鏈．以核心問(wèn)題為主線的問(wèn)題鏈教學(xué)很好地契合了復(fù)習(xí)課的這一要義．二次函數(shù)這一章節(jié)的主題依照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》的要求是:理解函數(shù)圖象與表達(dá)式的對(duì)應(yīng)關(guān)系;理解函數(shù)與對(duì)應(yīng)的方程、不等式的關(guān)系,增強(qiáng)幾何直觀;會(huì)用函數(shù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界事物的簡(jiǎn)單規(guī)律[4]．因此,在問(wèn)題鏈的設(shè)置中確定了如上的三個(gè)主干問(wèn)題,通過(guò)序列化子問(wèn)題的設(shè)置,學(xué)生在具體實(shí)例的基礎(chǔ)上理解與把握課標(biāo)的要求,同時(shí)得到如圖3所示的關(guān)系圖式．

圖3

以問(wèn)題來(lái)構(gòu)建知識(shí)之間的關(guān)聯(lián),將看似毫無(wú)關(guān)系的數(shù)學(xué)各分支構(gòu)成邏輯聯(lián)結(jié),并融匯為一體揭示知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)系．在構(gòu)建問(wèn)題鏈的過(guò)程中,首先需要明確所教學(xué)的數(shù)學(xué)主題與其他主題之間的關(guān)聯(lián),并構(gòu)思相關(guān)的聯(lián)結(jié)點(diǎn),如二次函數(shù)復(fù)習(xí)課涉及到轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合的思想、以線研面的方法.其次,需要思考該課學(xué)習(xí)過(guò)程中需要解決的核心問(wèn)題及其順序,如這節(jié)復(fù)習(xí)課核心問(wèn)題的順序應(yīng)是:自身的關(guān)聯(lián)、與其相關(guān)的內(nèi)容關(guān)聯(lián)以及其他元素與其關(guān)聯(lián)．最后,需要結(jié)合學(xué)生的情況,構(gòu)建主干問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)．依據(jù)核心內(nèi)容設(shè)置與之關(guān)聯(lián)的高質(zhì)量主干問(wèn)題是核心,圍繞主干問(wèn)題鋪設(shè)有利于學(xué)生思考與探索的子問(wèn)題是關(guān)鍵,各個(gè)環(huán)節(jié)是相互聯(lián)系的,改善了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中提問(wèn)的離散與隨意,讓學(xué)生在解決系列問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)行關(guān)系性理解,從而獲得解決問(wèn)題的關(guān)鍵能力．

3 開展項(xiàng)目學(xué)習(xí),提高創(chuàng)造性理解

“創(chuàng)造性理解”注重的是數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性及擴(kuò)展性,表現(xiàn)為“知新的‘然’,所以然”．處于該水平的學(xué)生,能夠?qū)?shù)學(xué)觀念運(yùn)用于新的數(shù)學(xué)情境,在新的情境中舉一反三,解決一些復(fù)雜的問(wèn)題.相對(duì)而言,創(chuàng)造性理解是更高層級(jí)的理解,具有創(chuàng)新的特征．項(xiàng)目化教學(xué)以用數(shù)學(xué)方法解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為主,教師先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的關(guān)鍵要素,收集信息并分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系,然后協(xié)助學(xué)生研究討論問(wèn)題的解決途徑,用數(shù)學(xué)的思維分析要素之間的關(guān)系并發(fā)現(xiàn)規(guī)律,培養(yǎng)模型觀念,并個(gè)性化展示和總結(jié)問(wèn)題的本質(zhì)規(guī)律,培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)．項(xiàng)目化教學(xué)所涉及的問(wèn)題主要是現(xiàn)實(shí)世界中具有開放性的問(wèn)題,問(wèn)題解決需將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．教師可以指導(dǎo)學(xué)生從日常生活中發(fā)現(xiàn)好的選題,從而提高學(xué)生的創(chuàng)造性理解．

案例3公園種植花卉面積最大問(wèn)題．

如圖4,已知蘇州高景山公園內(nèi)有一塊拋物線形的空地,A,B,C,D為4個(gè)岔路口,并且岔路口A與B、岔路口C與D關(guān)于直線l對(duì)稱,在拋物線CD部分尋找一點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q作PQ∥l,交直線BC于點(diǎn)P．現(xiàn)要在四邊形CPDQ內(nèi)種植花卉．問(wèn):如何選擇點(diǎn)Q的位置使種植面積最大?

圖4

建議按以下流程進(jìn)行:

(1)成立合作小組,確定工作目標(biāo),討論需測(cè)量的數(shù)據(jù),準(zhǔn)備測(cè)量工具;

(2)小組成員查詢資料,進(jìn)行討論交流,尋求科學(xué)有效的測(cè)量方法,設(shè)計(jì)測(cè)量方案;

(3)分工合作,明確責(zé)任,比如:測(cè)量、記錄數(shù)據(jù)、計(jì)算求解、撰寫報(bào)告、交流等;

(4)展示成果．

設(shè)計(jì)說(shuō)明單元復(fù)習(xí)課要培養(yǎng)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)世界發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,從而獲得終身學(xué)習(xí)的能力．項(xiàng)目學(xué)習(xí),以問(wèn)題解決為導(dǎo)向,讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察與分析社會(huì)生活遇到的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題．二次函數(shù)圖象在生活中經(jīng)常出現(xiàn),案例中“種植面積最大”問(wèn)題的解決實(shí)際上涉及數(shù)學(xué)建模、求二次函數(shù)解析式、面積等數(shù)學(xué)知識(shí),需要學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐,更體現(xiàn)活動(dòng)的過(guò)程性,豐富學(xué)生的體驗(yàn)．

項(xiàng)目學(xué)習(xí)的最終目的是學(xué)生能夠在未經(jīng)歷的全新的問(wèn)題情境中進(jìn)行概括,把所學(xué)知識(shí)作為一種解決問(wèn)題的手段、方法甚至思路．項(xiàng)目學(xué)習(xí)的資源應(yīng)揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)問(wèn)題,教師將識(shí)別的本質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為適合學(xué)情的、有一定創(chuàng)造性的驅(qū)動(dòng)問(wèn)題,學(xué)生才會(huì)積極投入.本案例中,以求出使面積最大的點(diǎn)為目標(biāo),驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考并解決問(wèn)題.項(xiàng)目學(xué)習(xí)要豐富學(xué)生實(shí)踐,只有經(jīng)歷實(shí)踐才能較好地解決情境問(wèn)題,如要解決本案例中的問(wèn)題,學(xué)生得進(jìn)行小組合作,分工完成這個(gè)項(xiàng)目.項(xiàng)目學(xué)習(xí)要充分考慮學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),如在遇到本案例之前,學(xué)生已經(jīng)有過(guò)測(cè)量和建系的經(jīng)驗(yàn),學(xué)生不難通過(guò)建系來(lái)求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．項(xiàng)目學(xué)習(xí)以學(xué)生發(fā)展為目標(biāo),讓學(xué)生經(jīng)歷合作交流、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和解決問(wèn)題等過(guò)程,提高創(chuàng)造性理解．

4 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)理解是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)與關(guān)鍵．在素養(yǎng)為本的時(shí)代下,指向?qū)W生高水平數(shù)學(xué)理解發(fā)展的教學(xué)應(yīng)成為數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)．在單元復(fù)習(xí)課中,教師應(yīng)立足學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)性理解,設(shè)計(jì)課前任務(wù)單、問(wèn)題鏈、項(xiàng)目學(xué)習(xí)等,有效幫助學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻認(rèn)識(shí)與深入理解．最后,值得指出的是,文化性理解的價(jià)值也不容忽視．在單元復(fù)習(xí)課中,教師可以選取生活情境、歷史情境,增添課堂的文化韻味,發(fā)揮文化育人之效．