高翟 易穎

摘要 數(shù)學(xué)史知識(shí)具有文理交叉的特別優(yōu)勢(shì)，故而當(dāng)前高校的數(shù)學(xué)史教學(xué)需要在現(xiàn)有條件下盡可能優(yōu)化教學(xué)效果。和常規(guī)的數(shù)學(xué)教育不同，數(shù)學(xué)史可以在傳統(tǒng)的授課模式之外引入新的教學(xué)方法，通過若干舉措有效提升該課程的教學(xué)效果。數(shù)學(xué)史不僅能在內(nèi)容上促進(jìn)后續(xù)的數(shù)學(xué)、歷史和相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)，而且對(duì)構(gòu)建自然科學(xué)史課程體系有較高的借鑒價(jià)值，為高校培養(yǎng)具備一定知識(shí)廣度的高級(jí)人才發(fā)揮其特殊的作用。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)史；教學(xué)方法；延續(xù)性；課程體系

中圖分類號(hào)：G642文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2023.10.025

自20世紀(jì)90年代以來，中國內(nèi)地的高考科目設(shè)置中，語文、數(shù)學(xué)、外語一直是跨越文理界限，覆蓋所有考生的三科。對(duì)理科生進(jìn)行語文、外語的考查較好理解，畢竟一定的語言能力是進(jìn)入大學(xué)深造任何一門專業(yè)的必要條件，而有不少人對(duì)于為何要對(duì)文科生進(jìn)行數(shù)學(xué)的考查存疑。誠然，某些文史方向的研究與數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)不大，但數(shù)學(xué)本身就和自然科學(xué)的屬性不同，它對(duì)一個(gè)人的思想、精神境界乃至人文素質(zhì)同樣具有顯著的提振作用。因此提高對(duì)數(shù)學(xué)史教育的重視程度，探尋其多樣的教學(xué)方法，具有現(xiàn)實(shí)意義。同時(shí)，如何充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)史對(duì)相關(guān)課程的正面影響，合理地將該課程融入整個(gè)高等教育的培養(yǎng)體系也是數(shù)學(xué)史教育面臨的一個(gè)課題；數(shù)學(xué)史的育人價(jià)值正是在不斷實(shí)踐和優(yōu)化這一課題的過程中得到充分發(fā)揮。

1高校數(shù)學(xué)史教育的主要意義

數(shù)學(xué)作為人類思維的創(chuàng)造物，是人類文化重要的組成部分，但多數(shù)求學(xué)者對(duì)此缺乏認(rèn)知。已故的原北京大學(xué)校長(zhǎng)、著名數(shù)學(xué)教育家丁石孫曾感嘆：“我們長(zhǎng)期以來，不僅沒有意識(shí)到數(shù)學(xué)的文化教育功能，甚至不了解數(shù)學(xué)是一種文化，這種狀況在相當(dāng)程度上影響了數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)教育。”[1]數(shù)學(xué)常被視為人類理性思維力的標(biāo)桿，它不僅是科學(xué)的語言，而且深刻影響著哲學(xué)、藝術(shù)等領(lǐng)域；到近現(xiàn)代社會(huì)，數(shù)學(xué)還改造著金融學(xué)、社會(huì)學(xué)、管理學(xué)等一系列學(xué)科?？梢悦黠@地看出，數(shù)學(xué)是充滿人文精神的科學(xué)，數(shù)學(xué)文化對(duì)于人類文化變革有著重要的影響。

數(shù)學(xué)在人的知識(shí)體系中如此重要，它本身的發(fā)展歷程就蘊(yùn)含著很高的學(xué)習(xí)價(jià)值，而這部分價(jià)值需要借助數(shù)學(xué)史教育來發(fā)掘。相較于常規(guī)的數(shù)學(xué)課程，數(shù)學(xué)史以數(shù)學(xué)文化為依托，細(xì)致地分析了“數(shù)學(xué)是一門怎樣的學(xué)問”“數(shù)學(xué)知識(shí)從何而來”“數(shù)學(xué)有什么用途”等問題[2]。此類問題有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，并將思想和人文教育滲透其中[3]。另外，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中還可能因自身知識(shí)結(jié)構(gòu)的缺陷出現(xiàn)“交叉領(lǐng)域”的問題，如“為什么中國數(shù)學(xué)水平在古代領(lǐng)先于世界而在近代落后于世界”[4]；出于課程目標(biāo)等方面的原因，此類問題一般不置于數(shù)學(xué)或歷史課堂上討論，而從數(shù)學(xué)史課程的角度來闡釋則合理得多。

如果說中學(xué)生因高考指揮棒的作用而無暇顧及數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，那么針對(duì)大學(xué)生的數(shù)學(xué)史教育則存在更明顯的需求。從宏觀上看，高等學(xué)校的數(shù)學(xué)史課程能夠幫助學(xué)生更全面地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，并汲取數(shù)學(xué)中的關(guān)鍵思想來提高文化修養(yǎng)，從側(cè)面塑造人格。而這種教育功能對(duì)于任何專業(yè)的學(xué)生而言都具有長(zhǎng)遠(yuǎn)的意義。

2高校數(shù)學(xué)史教育的方法探究

和數(shù)學(xué)相比，中國的數(shù)學(xué)史教育起步晚且內(nèi)容零散。因?yàn)楦呖嫉膶?dǎo)向性作用，數(shù)學(xué)史內(nèi)容極少被歸入此類選拔性考試的考點(diǎn)，所以在中學(xué)課堂上幾乎不涉及。同時(shí)，數(shù)學(xué)史兼具文科（歷史）和理科（數(shù)學(xué)）的色彩，這樣的屬性也讓它在當(dāng)前高等教育領(lǐng)域的地位有些尷尬。人為重視的不足，致使數(shù)學(xué)史課程的推廣一直不如預(yù)期，很多學(xué)生甚至不知道它是一門獨(dú)立的課程。為了能在如此有限的普及程度下盡可能提升該課程的教學(xué)效果，筆者根據(jù)若干輪教學(xué)經(jīng)驗(yàn)對(duì)其教育方法做了以下初步探究。

2.1三個(gè)維度的教育視角

數(shù)學(xué)史涉及多個(gè)學(xué)科，包含豐富的內(nèi)容，故而知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系有相當(dāng)?shù)膹?fù)雜性，這種復(fù)雜性給該課程的教學(xué)提出了不小的挑戰(zhàn)。為了能夠?qū)?shù)學(xué)史知識(shí)較有條理地進(jìn)行梳理和編排以便于課堂教學(xué)，可以考慮從三個(gè)維度著手。

一是時(shí)間維度。時(shí)間也是歷史學(xué)最直接的維度，對(duì)于數(shù)學(xué)史而言，它表現(xiàn)為數(shù)學(xué)學(xué)科從古至今連貫發(fā)展的脈絡(luò)；該維度的優(yōu)勢(shì)在于易與社會(huì)歷史相互參照，將數(shù)學(xué)史和社會(huì)發(fā)展史對(duì)應(yīng)學(xué)習(xí)。

二是空間維度。該維度將地域性引入本課程的學(xué)習(xí)中，讓數(shù)學(xué)的發(fā)展和地域特點(diǎn)相關(guān)聯(lián)；這一維度的長(zhǎng)處是易與人文地理相結(jié)合，將數(shù)學(xué)史的多項(xiàng)知識(shí)內(nèi)容賦予其各自的地域特征，進(jìn)而對(duì)照人類文明史來整合、理解。學(xué)生在此維度中通過地域間的橫向比較還能體會(huì)到不同國度、不同文明的數(shù)學(xué)文化特點(diǎn)。

三是領(lǐng)域維度。該維度側(cè)重于從數(shù)學(xué)學(xué)科的角度，分門別類地討論若干分支領(lǐng)域的發(fā)展歷程。數(shù)學(xué)史在這一維度里通常參考專門的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，將數(shù)學(xué)史與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)課程結(jié)合起來學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)某些特定領(lǐng)域如何從萌芽到生長(zhǎng)乃至開枝散葉，從少許零散的知識(shí)點(diǎn)到龐大而復(fù)雜的知識(shí)系統(tǒng)，這些來龍去脈可以通過此維度讓學(xué)生掌握。

在正式開展數(shù)學(xué)史課程學(xué)習(xí)之前，理工專業(yè)的學(xué)生在數(shù)學(xué)課上多通過領(lǐng)域維度了解到少量數(shù)學(xué)史知識(shí)，類似的少許內(nèi)容亦在歷史課上通過時(shí)間或空間維度為文史專業(yè)學(xué)生所了解；然而這兩種途徑的介紹都是極其粗略且零散的。若希望較全面、系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)史，則需要教師在數(shù)學(xué)史課程的教學(xué)中兼顧以上三個(gè)維度。

2.2教學(xué)資料的靈活運(yùn)用

教學(xué)資料是教學(xué)活動(dòng)的重要補(bǔ)充，歷史和數(shù)學(xué)兩種屬性都給數(shù)學(xué)史的教學(xué)資料提出了特殊的要求。一方面，它的歷史屬性使其內(nèi)容包含諸多人物和史料、它們可能單純地通過文字反映，也可能通過圖片、聲音甚至影像、動(dòng)畫來展現(xiàn)；這就要求教師在開啟教學(xué)活動(dòng)前對(duì)于這些資料有充足的儲(chǔ)備，并且在課堂上合理利用多媒體工具來展示這些內(nèi)容。如果能把口頭講授與這些多媒體資料很好地結(jié)合，就既有助于加快學(xué)生對(duì)相關(guān)史實(shí)的消化吸收，又可提升一部分學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

另一方面，數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)屬性對(duì)某些學(xué)生而言難度較高。例如空間想象能力弱的學(xué)生，學(xué)習(xí)立體幾何內(nèi)容常覺得困惑；推理能力弱的學(xué)生，研究數(shù)理邏輯時(shí)會(huì)有吃力的感覺；計(jì)算能力不足的學(xué)生，學(xué)習(xí)分析學(xué)的過程中容易出錯(cuò)，等等。為了幫助學(xué)生克服這些困難，教師不妨在課堂教學(xué)前準(zhǔn)備一些教具，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的講解避免過難過繁（不應(yīng)替代數(shù)學(xué)課的功能），以滿足學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)需要為準(zhǔn)。例如莫比烏斯環(huán)和克萊因瓶是數(shù)學(xué)史中兩個(gè)比較著名的幾何體，很多學(xué)生對(duì)此有興趣，但它們單面的特征是不常見的，特別是克萊因瓶還涉及四維空間，本科學(xué)生僅憑已有的數(shù)學(xué)知識(shí)不一定能想明白。假如從拓?fù)鋵W(xué)的幾何流形角度去解釋[5]，對(duì)絕大多數(shù)學(xué)生而言是非常難以理解和消化的；而若換一種方式，在課堂上展示它們的模型實(shí)體，讓學(xué)生通過近距離觀察建立起直觀的印象，則理解的難度會(huì)降低很多。筆者在某輪授課時(shí)間充裕的情況下，特別抽出約20分鐘的時(shí)間指導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手制作莫比烏斯環(huán)和克萊因瓶的紙模型（如圖1所示，p78）；課后學(xué)生普遍反映對(duì)這部分的內(nèi)容印象特別深刻，親自制作之后能夠清晰地理解這兩種幾何體的特征。如果課堂教學(xué)能以類似的方式兼具科學(xué)性、實(shí)踐性和趣味性，則易于收到良好的效果。

2.3課外閱讀的拓展

在授課時(shí)長(zhǎng)已隨教學(xué)計(jì)劃確定的情況下，任何一門課程在課堂上能涉及的知識(shí)點(diǎn)終究是有限的，何況大學(xué)的選修課時(shí)長(zhǎng)一般限制較嚴(yán)，無法占用過多學(xué)時(shí)。但在數(shù)學(xué)史領(lǐng)域中，無論與數(shù)學(xué)還是與歷史相關(guān)的內(nèi)容都極為豐富，課堂上的某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)就可能關(guān)聯(lián)著數(shù)目龐大的其他知識(shí)點(diǎn)；加之同一課堂內(nèi)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)參差不齊，所以幾乎總會(huì)出現(xiàn)學(xué)生不理解課內(nèi)某些知識(shí)點(diǎn)的情形。面對(duì)這種情況，有必要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，進(jìn)行課堂之外的查漏補(bǔ)缺或者擴(kuò)展延伸。教師可在課堂內(nèi)對(duì)課外閱讀的方向提供引導(dǎo)，學(xué)生在課外通過圖書館、網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)庫等途徑查找和選擇相應(yīng)的文獻(xiàn)進(jìn)行自學(xué)。對(duì)于某些規(guī)律性較強(qiáng)或者開放度較高的話題，還可以將其學(xué)習(xí)過程整體遷移至課外，并由教師在隨后的課堂上檢查學(xué)生的學(xué)習(xí)效果；如此安排可以大幅節(jié)省課內(nèi)時(shí)間，有利于教師細(xì)講學(xué)生不便自學(xué)的一些重難點(diǎn)問題。例如在當(dāng)前的信息化時(shí)代浪潮中，學(xué)生對(duì)于信息安全的重要性多已知曉并能在日常生活中切身感受。有此背景，教師則不妨鼓勵(lì)學(xué)生在課下自行學(xué)習(xí)一種典型的信息加密措施——密碼的相關(guān)演變歷程，體會(huì)數(shù)學(xué)作為數(shù)字信號(hào)加密和解密的理論基礎(chǔ)，以及對(duì)密碼學(xué)及相關(guān)信息安全技術(shù)成熟的重要促進(jìn)作用[6]。

課外自學(xué)絕不僅僅是為學(xué)生補(bǔ)充課內(nèi)未詳解的知識(shí)點(diǎn)，更重要的是讓學(xué)生親身經(jīng)歷探索知識(shí)的過程，發(fā)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，最好能與自身的背景知識(shí)產(chǎn)生共鳴，從而更好地將新知識(shí)融入自己的知識(shí)框架。例如1948年美國數(shù)學(xué)家克勞德·艾爾伍德·香農(nóng)發(fā)表了具有深遠(yuǎn)影響的論文《通信的數(shù)學(xué)原理》，宣告了信息論的誕生[7]。通過學(xué)習(xí)這段歷史，相關(guān)專業(yè)（如通信工程、計(jì)算機(jī)科學(xué)等）的學(xué)生可以更深刻地認(rèn)識(shí)所在領(lǐng)域的起源或發(fā)展過程。其中的一些知識(shí)點(diǎn)，例如熵的概念，在數(shù)學(xué)、化學(xué)和信息學(xué)中的含義有聯(lián)系也有區(qū)別[8]；若以數(shù)學(xué)史課程為契機(jī)有效引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多角度探究，必然能夠更全面、更深入地理解和掌握相關(guān)知識(shí)。

2.4翻轉(zhuǎn)課堂中的分享

既然課外自學(xué)是數(shù)學(xué)史課程學(xué)習(xí)的重要組成部分，則課外學(xué)習(xí)的效果可由教師在課內(nèi)以不同形式進(jìn)行檢查。若課堂時(shí)間允許，不妨讓學(xué)生將自學(xué)的內(nèi)容在課堂上進(jìn)行分享，或者組織課內(nèi)討論，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體。具體來說，教師可根據(jù)時(shí)間的充裕程度決定課外學(xué)習(xí)的檢查方式，既可以口頭問答、筆頭答卷的方式，又可以翻轉(zhuǎn)課堂的方式，其中后者是當(dāng)前教育領(lǐng)域討論度較高的一類方法。一般地，欲使某個(gè)知識(shí)點(diǎn)掌握得牢固，“用眼看一遍不如動(dòng)手寫一遍，用手寫一遍不如動(dòng)口講一遍，用口講一遍不如與人討論一遍。”教師讓學(xué)生對(duì)自學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行合理組織、潤色，隨后走上講臺(tái)將這些知識(shí)講給他人聽，臺(tái)下的學(xué)生一方面學(xué)習(xí)其中的內(nèi)容，另一方面也利用這種機(jī)會(huì)提出問題甚至質(zhì)疑，從而營造出分享與相互討論的氛圍；在這種氛圍里教師不一定起主導(dǎo)作用，而是參與其中并予以必要的指導(dǎo)。在某些開放度較高的議題范圍內(nèi)，學(xué)生可以獨(dú)立準(zhǔn)備也可以分組籌劃，提出的論點(diǎn)可以相同也可以不同；這樣便于相同內(nèi)容間的比較和辯論，不同內(nèi)容間的相互分享和啟發(fā)。教師在翻轉(zhuǎn)課堂中除了客觀評(píng)價(jià)每位學(xué)生課外自學(xué)的效果之外，還需要對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)進(jìn)行歸納總結(jié)，指出討論細(xì)節(jié)中的長(zhǎng)處和短板，明確問題且提出改進(jìn)的方向，讓學(xué)生在這種課堂模式中真正得到鍛煉、學(xué)有所獲。

2.5多種考查方式的選擇

考查是教學(xué)中的重要一環(huán)，對(duì)數(shù)學(xué)史的教學(xué)而言亦如此；課程各階段抑或結(jié)課后的考查不僅是區(qū)分學(xué)生對(duì)相應(yīng)知識(shí)掌握程度的重要指標(biāo)，也在客觀上起到監(jiān)督、促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的作用。考查的形式不止一種。若采用傳統(tǒng)的試卷形式，應(yīng)注意“標(biāo)準(zhǔn)”與“開放”兩種題型并重。前者考查重要知識(shí)點(diǎn)是否掌握到位，后者考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)對(duì)某一論題的思維方式和理解深度。試題標(biāo)準(zhǔn)性或開放性的不足都會(huì)影響考查結(jié)果的準(zhǔn)確度。

考查終究不是教學(xué)的目的，故而能夠給應(yīng)試者以啟發(fā)，乃至提振學(xué)習(xí)興趣的考查方式是值得推薦的，譬如前文提到的學(xué)生上臺(tái)講解的方式。該方式可視為“口試”的一種形式，由于口試具有專題性，該考查方式適合對(duì)一個(gè)或少許幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行深入挖掘和評(píng)估，檢測(cè)學(xué)生對(duì)相應(yīng)內(nèi)容的理解深度。而如果需要學(xué)生對(duì)課內(nèi)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行一次較全面的歸納總結(jié)，則可以通過結(jié)課論文的形式完成。需要說明的是，雖然學(xué)術(shù)論文大多以深度見長(zhǎng)，但這里的結(jié)課論文與學(xué)術(shù)論文的定位不同，它的考查對(duì)象是本科生，考查內(nèi)容基本在教學(xué)大綱范圍之內(nèi)，因此以反映學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的全面程度為主。學(xué)生在撰寫論文的過程中有較為充裕的時(shí)間全面回顧課程內(nèi)容，從而架構(gòu)出相對(duì)完整的數(shù)學(xué)史知識(shí)體系。簡(jiǎn)言之，口試便于體現(xiàn)學(xué)習(xí)的深度，結(jié)課論文便于展示學(xué)習(xí)的廣度，二者各有所長(zhǎng)。此外也不排除存在少量?jī)?yōu)秀的學(xué)生，他們已具備撰寫出具有一定深度甚至帶有創(chuàng)新性的結(jié)課論文的能力，自然應(yīng)在考查中脫穎而出，得到優(yōu)秀的評(píng)價(jià)。

如果將本課程定位為公共選修課，鑒于選課學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)參差不齊，那么為了發(fā)揮結(jié)課論文的最大效用，可以考慮將論文內(nèi)容“分級(jí)規(guī)劃”，即針對(duì)不同層次的學(xué)生布置不同的論文主題。例如對(duì)于低年級(jí)學(xué)生，大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)剛剛開始，可以讓他們?cè)谡撐闹姓碇袑W(xué)數(shù)學(xué)里和數(shù)學(xué)史相關(guān)的內(nèi)容，并對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提出自己的愿景；對(duì)于高年級(jí)學(xué)生，已修習(xí)過若干大學(xué)數(shù)學(xué)的課程，故而可讓他們通過數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)，描述對(duì)部分大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一些新認(rèn)識(shí)，乃至對(duì)某些大學(xué)課堂內(nèi)未曾涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)展開討論。這種分級(jí)規(guī)劃目的仍是鞏固教學(xué)成效，盡可能使學(xué)生在撰寫結(jié)課論文的環(huán)節(jié)中也能有所收獲。

3高校數(shù)學(xué)史教育的延續(xù)

任何課程的教育都不應(yīng)是孤立的，而是對(duì)受教者知識(shí)體系的持續(xù)建構(gòu)發(fā)揮影響，數(shù)學(xué)史亦是如此。作為一門典型的交叉學(xué)科，數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)的效果將延續(xù)至與之密切相關(guān)的兩門學(xué)科——數(shù)學(xué)和歷史中。

3.1對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的持續(xù)性影響

先看數(shù)學(xué)方面。數(shù)學(xué)史與對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間并非簡(jiǎn)單的從屬關(guān)系，教育界有人傾向于將數(shù)學(xué)史的內(nèi)容分解并附著于對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)上進(jìn)行講解，也有人認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)當(dāng)以數(shù)學(xué)史為主線進(jìn)行組織和教學(xué)。當(dāng)前國內(nèi)的教育大多采用前一種方法，這主要有兩方面原因：一是中小學(xué)數(shù)學(xué)教育模式的巨大慣性，讓大學(xué)師生也默認(rèn)數(shù)學(xué)知識(shí)“理當(dāng)”這么教；二是跨學(xué)科師資的缺乏和數(shù)學(xué)史課程普及的滯后，使得數(shù)學(xué)史承擔(dān)上述“主線”的難度頗高。筆者并不否認(rèn)前一種方法的效果，但亦不應(yīng)忽視后一種方法的可行性；若實(shí)施該方法的條件具備，不妨選取數(shù)學(xué)的部分領(lǐng)域進(jìn)行嘗試。例如在開啟非歐幾何的教學(xué)內(nèi)容時(shí)，不妨先簡(jiǎn)要回顧歐式幾何的經(jīng)典著作《原本》，突出其嚴(yán)密的公理化體系特征[9]；接著帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)《原本》的五條公設(shè)進(jìn)行回顧和比較，并關(guān)注其中較為另類的“第五公設(shè)”（即平行公設(shè)）；然后引入俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基的思路對(duì)第五公設(shè)進(jìn)行改造[10]，從而對(duì)其創(chuàng)立的雙曲幾何迅速建立初步的認(rèn)識(shí)。在這個(gè)過程中，盡管知識(shí)點(diǎn)之間存在純數(shù)學(xué)角度的聯(lián)系，但如果能依循歷史的脈絡(luò)，使數(shù)學(xué)知識(shí)交織于數(shù)學(xué)史之旁，則讓抽象的數(shù)學(xué)概念變得立體生動(dòng)，有血有肉，更利于學(xué)生理解和吸收相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)。同時(shí)，學(xué)生還能從歷史發(fā)展的角度體會(huì)到前人在對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域如何思考，如何探索，如何創(chuàng)新，這種體會(huì)將十分有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

3.2對(duì)歷史學(xué)學(xué)習(xí)的借鑒作用

再看歷史方面。宏觀上說，數(shù)學(xué)史可視作歷史的一個(gè)分支，又因?yàn)閿?shù)學(xué)是自然科學(xué)的研究工具，所以數(shù)學(xué)史可以成為歷史的另一個(gè)分支——自然科學(xué)史的前導(dǎo)課程。有數(shù)學(xué)史知識(shí)的基礎(chǔ)之后，再進(jìn)行自然科學(xué)史的教學(xué)會(huì)順暢得多。它具體體現(xiàn)在三個(gè)方面：

3.2.1數(shù)學(xué)成果用于自然科學(xué)

每一次數(shù)學(xué)的重大發(fā)展都會(huì)促進(jìn)自然科學(xué)的發(fā)展。歷史上這樣的例子不勝枚舉。例如代數(shù)與幾何的融合就為當(dāng)時(shí)的天文學(xué)計(jì)算提供了極大的便利，從而引發(fā)了后續(xù)一系列重大的天文發(fā)現(xiàn)。勒維烈運(yùn)用數(shù)學(xué)工具首次計(jì)算出海王星的軌道，就是其中的一個(gè)典型事例[11]；又如統(tǒng)計(jì)學(xué)成熟之后，波耳茲曼運(yùn)用統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)從事分子能量研究，提出了分子動(dòng)能的常態(tài)分布，從而創(chuàng)立了氣體分子運(yùn)動(dòng)論[12]。自然科學(xué)借助數(shù)學(xué)的發(fā)展而進(jìn)步，這是二者之間最明顯、最直接的影響。

3.2.2數(shù)學(xué)思想用于自然科學(xué)

在自然科學(xué)發(fā)展的早期，尚只有少數(shù)簡(jiǎn)單的事實(shí)或?qū)嶒?yàn)依據(jù)來支持整個(gè)理論體系；那時(shí)的自然科學(xué)基本從多個(gè)現(xiàn)象得出規(guī)律，是歸納的方向，數(shù)學(xué)用于歸納結(jié)論。如牛頓在研究宏觀物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，發(fā)現(xiàn)物體動(dòng)量的變化率總是和它受到的力呈正比關(guān)系，在大量實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，牛頓總結(jié)出力學(xué)中的牛頓第二定律，一系列受力運(yùn)動(dòng)的規(guī)律被凝練成一兩個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式[13]。但現(xiàn)在自然科學(xué)的許多成果均先由數(shù)學(xué)推導(dǎo)出理論結(jié)論，然后再用實(shí)驗(yàn)證明其真實(shí)性/正確性，是演繹的方向；這種結(jié)論產(chǎn)生的方向性很強(qiáng)，而且增長(zhǎng)得很快，從某種程度上說，它是當(dāng)今自然科學(xué)領(lǐng)域知識(shí)大爆炸的必要條件。例如麥克斯韋通過麥克斯韋方程組嚴(yán)整的數(shù)學(xué)形式，預(yù)言空間中時(shí)變的電場(chǎng)或磁場(chǎng)可以形成電磁波，它攜帶著電磁能量向空間輻射。可是麥克斯韋生前并沒有通過實(shí)驗(yàn)親眼見到電磁波，這項(xiàng)驗(yàn)證電磁波存在性的工作直到他去世九年后才由赫茲完成[14]。不論是歸納還是演繹，數(shù)學(xué)史都有力支撐了自然科學(xué)史。自然科學(xué)借鑒數(shù)學(xué)思想而發(fā)展，這是二者間較深層次的關(guān)聯(lián)。

3.2.3數(shù)學(xué)家和科學(xué)家存在交集

我們?yōu)g覽數(shù)學(xué)史和自然科學(xué)史會(huì)發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)和自然科學(xué)領(lǐng)域均作出重要貢獻(xiàn)的人有不少，他們既是數(shù)學(xué)家又是科學(xué)家。例如被稱為“世界三大數(shù)學(xué)家”的阿基米德、牛頓和高斯，都是同時(shí)代自然科學(xué)領(lǐng)域的先鋒人物——阿基米德是靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人[15]，牛頓是經(jīng)典力學(xué)體系的創(chuàng)立者，高斯發(fā)明了磁強(qiáng)計(jì)并繪制出世界上第一張地球磁場(chǎng)圖。還有一些數(shù)學(xué)家的造詣甚至延伸至哲學(xué)領(lǐng)域：如笛卡爾建立的機(jī)械論哲學(xué)影響深遠(yuǎn)，成為后來科學(xué)家研究自然的基本思想方法之一[16]；萊布尼茨則代表著同時(shí)期歐洲大陸理性主義哲學(xué)的高峰，其哲學(xué)思想亦深刻影響著當(dāng)時(shí)自然科學(xué)的發(fā)展方向。當(dāng)學(xué)生看到這些熟悉的歷史人物時(shí)，會(huì)無形中增加對(duì)自然科學(xué)史的親近感，進(jìn)而正面促進(jìn)相應(yīng)課程的學(xué)習(xí)效果。數(shù)學(xué)和自然科學(xué)之間有許多歷史人物成為“橋梁”，這是二者在歷史角度上的關(guān)聯(lián)。

3.3對(duì)科學(xué)史課程體系的構(gòu)建

數(shù)學(xué)史對(duì)自然科學(xué)史的借鑒作用除了體現(xiàn)在內(nèi)容上，還包括課程設(shè)置方面。典型的自然科學(xué)，如物理、化學(xué)等，也可以仿照數(shù)學(xué)史的模式開設(shè)對(duì)應(yīng)的選修課，進(jìn)行該學(xué)科歷史的系統(tǒng)性講解。不過這部分的借鑒在當(dāng)前的高等教育中顯得很薄弱，一方面是因?yàn)閿?shù)學(xué)史課程的普及程度很低，另一方面則是由于絕大多數(shù)高校理工科專業(yè)的課程設(shè)置中，僅在碩士階段的“自然辯證法”或“科學(xué)技術(shù)哲學(xué)”課程里對(duì)自然科學(xué)史有系統(tǒng)意義上的涉及[17]，部分院校有面向碩士生或博士生的“科學(xué)技術(shù)史”選修課，而針對(duì)理工科專業(yè)本科階段開設(shè)科學(xué)史類課程的院校則非常之少，這和西方發(fā)達(dá)國家的高等教育相比有明顯的差距[18]。

學(xué)科史對(duì)相應(yīng)學(xué)科的學(xué)習(xí)具有明顯的正面促進(jìn)作用，這一點(diǎn)已經(jīng)在多次實(shí)踐中得到證明。為了發(fā)揮這種促進(jìn)作用，在學(xué)生完成了數(shù)學(xué)史課程之后，院校不妨開設(shè)自然科學(xué)史課程以鼓勵(lì)他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)；如有條件，甚至可以將自然科學(xué)史進(jìn)行細(xì)化，劃分出專門的物理學(xué)史、化學(xué)史、醫(yī)學(xué)史等，開設(shè)針對(duì)性更強(qiáng)的課程，以構(gòu)建更全面完整的科學(xué)史課程體系。該體系對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)興趣，提高學(xué)生的理論素養(yǎng)，開闊學(xué)生的知識(shí)眼界，陶冶學(xué)生的人文情操均有裨益。

4結(jié)語

盡管數(shù)學(xué)史課程在當(dāng)前高校的普及程度不高，但它的學(xué)科交叉特征既能正面促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，又對(duì)于歷史特別是自然科學(xué)史的教學(xué)具有較強(qiáng)的借鑒意義。正因?yàn)槿绱?，該課程的發(fā)展空間較大，對(duì)其教學(xué)方法的探討和改進(jìn)也就有了明顯的現(xiàn)實(shí)意義。本文在現(xiàn)有教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上對(duì)此進(jìn)行了一些初步的探究，力求突破傳統(tǒng)說課模式的限制，引入新的教學(xué)思想。但“教學(xué)有法，教無定法，貴在得法”。欲達(dá)到更好的教學(xué)效果，教師一方面需要不斷分析既往教學(xué)進(jìn)程中的得與失，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，吸取教訓(xùn)；另一方面要針對(duì)教學(xué)環(huán)節(jié)的改革創(chuàng)新，有意識(shí)地探索新的、更符合學(xué)情的教學(xué)方法。數(shù)學(xué)史的領(lǐng)域色彩和課程定位還決定了教師在教學(xué)過程中，需要把控好知識(shí)難度，增強(qiáng)與學(xué)生的配合，并系統(tǒng)地兼顧若干相關(guān)課程；這不是個(gè)一蹴而就的過程，而對(duì)教師的知識(shí)底蘊(yùn)和教學(xué)能力等方面都提出了很高的要求。如果能通過以上努力最大限度地發(fā)揮數(shù)學(xué)史課程的功能，將有助于高校打破文理藩籬，培養(yǎng)出視野開闊、知識(shí)廣博、思路靈活的現(xiàn)代化高水平人才。

基金項(xiàng)目：教育部產(chǎn)學(xué)合作協(xié)同育人項(xiàng)目“通信工程軟件無線電師資培訓(xùn)項(xiàng)目”（201902291010）；中國地質(zhì)大學(xué)通識(shí)教育選修課項(xiàng)目“簡(jiǎn)明自然科學(xué)史”（2021A61）。

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