盧世峰

［摘 要］以五年級上冊“倍數(shù)與因數(shù)”單元為例，選取北師大的“實驗版”和“2011年版”數(shù)學教材，從單元內容編排、導入情境、習題設計和滲透數(shù)學文化等角度進行了教材內容的比較研究，得出教學啟示與建議，為教師提高課堂教學效益提供參考。

［關鍵詞］教材比較；倍數(shù)與因數(shù)；北師大版教材

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）17-0087-03

“倍數(shù)與因數(shù)”屬于數(shù)論的內容，這個單元包含因數(shù)和倍數(shù)的含義、2、5和3的倍數(shù)的特征、認識奇數(shù)和偶數(shù)、認識質數(shù)與合數(shù)等內容。本單元學習主線是從倍數(shù)和因數(shù)這兩個核心關鍵詞出發(fā)，在找倍數(shù)這一條支線上學習2、5和3的倍數(shù)特征、認識奇數(shù)和偶數(shù)；在找因數(shù)這一條支線上認識質數(shù)與合數(shù)。為此，筆者以根據(jù)2001年《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》編寫的《北師大版義務教育實驗教科書·數(shù)學》（以下簡稱“實驗版”）和根據(jù)2011年《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》編寫的《北師大版義務教育教科書·數(shù)學》（以下簡稱“2011年版”）兩個不同時期的北師大教材版本為例，對教材中“倍數(shù)與因數(shù)”的內容進行了比較研究，為一線教師備課提供素材和資源。

一、單元內容編排

由上表可知，從編排單元的角度看，“實驗版”和“2011年版”都將“倍數(shù)與因數(shù)”編排于五年級上冊教材，但順序有所不同。從單元整體內容視角看，“2011年版”刪除了“數(shù)的奇偶性”內容，把原來第1課時的課題“數(shù)的世界”更改為“倍數(shù)與因數(shù)”，這樣就讓教學任務一目了然。

這兩個版本教材關于“倍數(shù)與因數(shù)”單元編排的相同點主要表現(xiàn)在以下四個方面：

1.課題開門見山，直接揭示教學內容

“實驗版”和“2011年版”在“倍數(shù)與因數(shù)”單元中的標題都以數(shù)學名詞或探究活動為主，能讓教師和學生比較清楚地了解所要學習的內容，為教師在備課時確定教學目標和教學重難點提供了便利。

2.以“問題串”引領教與學的過程

無論是“實驗版”還是“2011年版”，教材內容都是圍繞教學目標來設計的“問題串”，使數(shù)學問題具有目標性。

3.注重幫助學生積累的數(shù)學活動經驗

北師大兩版教科書在“倍數(shù)與因數(shù)”單元中都提供了大量的探究和交流活動，使學生在猜想、驗證、應用和拓展等過程中積累數(shù)學活動經驗，感受數(shù)學思想方法。如“實驗版”和“2011年版”在“探究5的倍數(shù)的特征”一課中都安排了讓學生在百數(shù)表中找5的倍數(shù)后做上記號再觀察等活動。

4.關注學生知識和方法的發(fā)展

除了設計豐富的問題和活動，北師大兩版教材在內容呈現(xiàn)上體現(xiàn)過程性，關注學生的知識和方法的發(fā)展。如“探索活動：3的倍數(shù)的特征”一課中，“實驗版”和“2011年版”均編排了三個問題：第一個問題“我們研究了2、5的倍數(shù)的特征，說一說3的倍數(shù)有什么特征？”，一方面幫助學生回憶2和5的倍數(shù)的特征，另一方面通過3個卡通人物的對話啟發(fā)學生從不同角度來思考3的倍數(shù)的特征；第二個問題“請你在百數(shù)表中接著圈出3的倍數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？”，引導學生在圈數(shù)中總結3的倍數(shù)的特征；第三個問題“根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)，在下面的數(shù)中圈出3的倍數(shù)，并與同伴交流”，引導學生在認識3的倍數(shù)之后驗證。

二、導入情境

1.倍數(shù)與因數(shù)的含義及找倍數(shù)的方法

“實驗版”和“2011年版”都是通過生活情境引出倍數(shù)和因數(shù)的含義，體現(xiàn)數(shù)學與生活的聯(lián)系；都是用“下面哪些數(shù)是7的倍數(shù)”這個問題，引導學生借助乘法或除法探究求一個數(shù)的倍數(shù)的方法?！皩嶒灠妗痹诰幣疟稊?shù)與因數(shù)的含義這個內容時，首先出示水果超市中各種水果的價格和相關的問題串，促使學生感受到生活是個充滿數(shù)的世界；然后讓學生對一些學過的數(shù)進行分類；最后在“買5千克梨需要多少元”這個問題中告訴學生倍數(shù)和因數(shù)的定義，以及倍數(shù)和因數(shù)的研究范圍。而“2011年版”首先出示了點子圖和問題串，引導學生寫出乘法算式；然后通過乘法算式告知學生倍數(shù)和因數(shù)的定義；最后引導學生理解乘法算式中哪個數(shù)是哪個數(shù)的倍數(shù)，哪個數(shù)是哪個數(shù)的因數(shù)。

2.探索活動：2、5的倍數(shù)的特征

“實驗版”和“2011年版”在本課的導入情境基本相同，都安排了一張百數(shù)表，通過問題串引導學生探究2和5的倍數(shù)的特征；都是先讓學生在百數(shù)表中圈出5的倍數(shù)，在探究中發(fā)現(xiàn)5的倍數(shù)的特征，再讓學生在百數(shù)表中找出2的倍數(shù)，在探究中發(fā)現(xiàn)2的倍數(shù)的特征，同時揭示偶數(shù)和奇數(shù)的含義。

3.探索活動：3的倍數(shù)的特征

“實驗版”和“2011年版”在本課的導入情境雖然都安排了一張百數(shù)表，但是探究活動的先后順序不同?！皩嶒灠妗敝苯映鍪景贁?shù)表，先引導學生觀察3的倍數(shù)并初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再讓學生利用更大的數(shù)檢驗規(guī)律是否成立，最后得出3的倍數(shù)的特征。而“2011年版”先讓學生根據(jù)2和5的倍數(shù)的特征，猜測3的倍數(shù)可能有什么特征；再讓學生在百數(shù)表中圈出3的倍數(shù)，在觀察中發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征；最后讓學生根據(jù)自己的發(fā)現(xiàn)在一組數(shù)中圈出3的倍數(shù)。

4.找因數(shù)

“實驗版”和“2011年版”在本課的導入情境大同小異，都是先讓學生用12個小正方形拼成一個長方形，想一想有幾種不同的拼法；再讓學生找出12的全部因數(shù)。

5.找質數(shù)

“實驗版”和“2011年版”在本課的導入情境基本相同，都是先讓學生發(fā)現(xiàn)用12個小正方形可以拼成三種長方形，引導學生體會一個數(shù)的因數(shù)與拼成的長方形的長、寬之間的關系；再讓學生探索用2、3……11個小正方形分別可以拼成幾種長方形，并用表格的方式記錄能拼成的幾種長方形的面積和一個數(shù)的因數(shù)；最后引導學生觀察表格發(fā)現(xiàn)有的數(shù)只有2個因數(shù)，有的數(shù)有2個以上的因數(shù)，從而揭示質數(shù)和合數(shù)的概念，同時說明1既不是質數(shù)，也不是合數(shù)。

三、習題設計

1.習題編排

“實驗版”和“2011年版”在新課教學后都安排了一定的習題，幫助學生鞏固數(shù)學知識和技能?！皩嶒灠妗钡牧曨}設置了“試一試”“說一說”“找一找”“練一練”“你說我答”“數(shù)學游戲”“探究活動”“你知道嗎”等欄目。而“2011年版”的習題設置了“練一練”“你知道嗎”“我學到了什么” “我的成長足跡”“我提出的問題”“我的數(shù)學日記”和“鞏固應用”等欄目，在單元復習時安排了“整理與復習”，編排了14道習題幫助學生鞏固本單元的知識。

2.習題類型

對比分析北師大兩版教材后發(fā)現(xiàn)，本單元的習題類型主要是填空題、解決問題和拓展題，統(tǒng)計時按大題計算，具體數(shù)量見表2：

為了更加清楚地看到每個知識點的習題數(shù)量，筆者對北師大兩版教材“倍數(shù)與因數(shù)”單元進行了統(tǒng)計。

從表中可以看出，除了“找因數(shù)”這節(jié)課中的習題數(shù)量保持不變，其他知識點的習題數(shù)量都有增加，“整理與復習”中還增加了3道題?？梢姟?011年版”對“倍數(shù)與因數(shù)”這一單元的重視程度。

3.習題的特點

北師大版兩版教材關于“倍數(shù)與因數(shù)”單元有以下四個特點：

第一，習題情境聯(lián)系生活，體現(xiàn)學習數(shù)學的應用價值。雖然這個單元中有較多抽象的數(shù)學概念，但是北師大兩版教材還是努力讓學生感受數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系。如“實驗版”在“找因數(shù)”一課中設計了題目“把48個球裝在盒子里，每個盒子裝得同樣多，需要幾個盒子？有幾種裝法？如果有37個球呢？”?！?011年版”在“整理與復習”中設計了題目“尋找能開4把鎖的萬能鑰匙。它是一個奇數(shù)，所有因數(shù)的和是48，是5的倍數(shù)，是一個兩位數(shù)，萬能鑰匙上的數(shù)是幾？”。

第二，習題兼顧圖片和文字，讓學生學會提取有效信息。為了美化教材版面和提高學生提取信息的能力，北師大兩版教材中都編排了圖文并茂的習題。

第三，習題凸顯知識重點，做到“學—教—評”一致性。無論是教材的編寫還是教師的教學活動，都要做到教學與評價的互相匹配。如“實驗版”在“探索活動（二）3的倍數(shù)的特征”一課中的教學目標是讓學生探究3的倍數(shù)的特征，運用3的倍數(shù)的特征解決問題，因此課后習題安排了4道題，其中3題與這節(jié)課所學的知識一致。第1題是讓學生在下面的數(shù)中圈出3的倍數(shù)；第2題是讓學生將編號是3的倍數(shù)的氣球涂上顏色；第3題是讓學生選出兩個數(shù)字組成一個兩位數(shù)，要分別滿足4個條件。前兩題引導學生理解3的倍數(shù)，第3題是幫助學生靈活地綜合運用2、5和3的倍數(shù)的特征。

第四，習題具有拓展應用，滿足不同層次學生的需求。教師要關注學生個性化、多樣化的學習和發(fā)展要求，北師大兩版教材在“倍數(shù)與因數(shù)”單元的習題編排中都有所體現(xiàn)。如“2011年版”中提供了較多的探究活動，讓學生在觀察、思考、比較和分析中發(fā)現(xiàn)更多倍數(shù)與因數(shù)的奧秘，幫助學生完整地建立數(shù)的概念。

四、滲透數(shù)學文化

北師大兩版教材在“倍數(shù)與因數(shù)”單元中都融入了數(shù)學文化的內容，豐富學生的數(shù)學視野?！皩嶒灠妗焙汀?011年版”都提到了這兩個內容：其一是介紹尋找質數(shù)的方法是希臘數(shù)學家埃拉托斯特尼發(fā)明的；其二是介紹哥德巴赫猜想的偶數(shù)情形和奇數(shù)情形。

五、教學啟示與建議

筆者通過對北師大兩版教材的比較和分析，不僅對一線教師在備課中能有指導作用，也向教材編寫者更加清楚地展示不同時期教材內容編排的變化。

1.倍數(shù)和因數(shù)適用在乘除法中

學生的已有經驗是“乘法中有因數(shù)，除法中有倍數(shù)”，而這個單元中教師要幫助學生意識到倍數(shù)和因數(shù)是成對出現(xiàn)的，適用在乘除法中。但是，“實驗版”和“2011年版”都是在乘法中揭示倍數(shù)和因數(shù)的關系，這會讓學生產生“除法中沒有因數(shù)和倍數(shù)”的錯誤觀念，不利于倍數(shù)和因數(shù)概念的建構。

2.要讓學生在活動中建立模型

“實驗版”和“2011年版”在編排“2和5的倍數(shù)的特征”和“3的倍數(shù)的特征”內容時，都讓學生經歷圈一圈、觀察、猜想、驗證、得出結論和運用結論解決問題等過程，不僅有助于學生發(fā)現(xiàn)2、5和3的倍數(shù)的特征，還幫助學生掌握數(shù)學學習的方法。

3.習題的數(shù)量要因人而異

與“實驗版”相比，“2011年版”的習題數(shù)量有所增加，但是教師在實際教學中面對不同的學生個體，學生需要的習題數(shù)量各不相同，因此教師要為不同層次的學生設計不同數(shù)量和難度的題目，讓好學生“有營養(yǎng)”，讓學困生“能吃飽”。

綜上所述，教師在備課時可以根據(jù)班級中學生的實際需求重新組合教材素材和習題設計，不僅培養(yǎng)學生的“三會”和核心素養(yǎng)，還實現(xiàn)提質減負的最佳教學效果。

（責編 梁桂廣）