欒功　張桂芳

［摘 要］文章以“尋根→歸根→培根”這一主線設(shè)計教學(xué)，闡明如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，突顯學(xué)生的主體地位，以促進高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升和落實學(xué)科育人目標。

［關(guān)鍵詞］“根+空”理念；尋根；歸根；培根；高中數(shù)學(xué)；有效教學(xué)

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）14-0020-04

一、問題的提出

2023年5月26日，教育部辦公廳印發(fā)的《基礎(chǔ)教育課程教學(xué)改革深化行動方案》（以下簡稱《方案》）中明確指出重點任務(wù)之一是課程方案轉(zhuǎn)化落地規(guī)劃行動，要求在課程實施過程中切實加強國家課程方案向地方、學(xué)校課程實施規(guī)劃的轉(zhuǎn)化工作。堅持因地制宜“一地一計”、因校制宜“一校一策”，把國家統(tǒng)一制定的育人“藍圖”細化為地方和學(xué)校的育人“施工圖”，明確課程教學(xué)改革的具體路線、措施，提出困難問題破解之策。同時，《方案》還針對“教學(xué)方式變革行動”提出：“組織各級優(yōu)課展示交流活動，開展教學(xué)說課評課，示范帶動廣大教師變革教與學(xué)方式，尊重學(xué)生的主體地位，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，注重啟發(fā)式、互動式、探究式教學(xué)，克服單純教師講學(xué)生聽、教知識學(xué)知識等現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生主動思考、積極提問、自主探究?！蹦敲?，在實際教學(xué)活動中如何因地制宜地將國家課程轉(zhuǎn)化為學(xué)生課程？如何發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用？如何實現(xiàn)更高效的課堂教學(xué)？這就成了全面深化課程改革的重點問題。

針對以上提及的課程改革重要任務(wù)和重點問題，筆者帶領(lǐng)團隊歷經(jīng)十年時間先后探索實踐了“分層作業(yè)”“小組合作”“前置問題解單”等在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，逐步提煉形成了“尋根置空”的高中數(shù)學(xué)“根+空”教學(xué)模式，為將國家課程轉(zhuǎn)化為學(xué)生課程提供了參考，為深化高中數(shù)學(xué)課程改革提供了范式。

二、“根+空”理念及其內(nèi)涵

“根”在現(xiàn)代漢語詞典中有“事物的本源”的釋義，引申為事物、事情的本質(zhì)，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)上就是知識的起點、核心概念、基本思想及基本經(jīng)驗?！翱铡痹诂F(xiàn)代漢語詞典中的釋義為“無”，引申為“空白”“不包含什么”之意，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)上主要為“置空”“留白”，具體操作中是通過“問題設(shè)置”實現(xiàn)“置空留白”，由“根”而置的“空”簡單、根本、開放，為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)“留”出時間，給學(xué)生創(chuàng)造了思維發(fā)展空間。這種不局限于時間、空間上的留白，目的在于讓學(xué)生通過自主思考、討論辨析等學(xué)習(xí)活動進行“補白”。

將“根+空”理念應(yīng)用于教學(xué)有兩重含義，一是落實“根”，即把握“根”、抓住“根”，教師在教學(xué)中從課程要求、概念理解的本質(zhì)出發(fā)，以及從學(xué)生已有認知、思維出發(fā)點出發(fā)，緊緊把握住教學(xué)的核心內(nèi)容；二是釋放“空”，也就是“留白”，從時間、空間上的顯性留白出發(fā)，進行思維、能力、文化價值等隱性留白。不難發(fā)現(xiàn)，沒有“根”的課堂就如同脫了韁的野馬，容易跑偏，而缺失“空”的課堂，則會似水一般枯燥，毫無漣漪。因此，“空”與“根”是相輔相成的，缺一不可，教師在教學(xué)中應(yīng)以“根”鑄“空”，以“空”養(yǎng)“根”［1］。

三、“根+空”理念下的高中數(shù)學(xué)有效教學(xué)策略

《中庸》里提到：“天命之謂性，率性之謂道，修道之謂教?！逼溽屃x是：人的自然稟賦叫作“性”，順著本性行事叫作“道”，按照“道”的原則修養(yǎng)叫作“教”。“道”是不可以片刻離開的，如果可以離開，那就不是“道”了。“根+空”教學(xué)模式正是遵循了兒童的自然天性，為了讓兒童“好”學(xué)而設(shè)計的教學(xué)模式。在“根+空”教學(xué)中具體體現(xiàn)為通過設(shè)計基礎(chǔ)、根本、開放的“前置問題解決單”（也稱前置研究），激發(fā)學(xué)生自主探究，鼓勵學(xué)生帶著課前自主探究的成果（發(fā)現(xiàn)和疑問）開展小組內(nèi)、小組間的討論辨析，然后分小組對討論辨析的成果或疑問進行講解展示，并由組內(nèi)、組間同學(xué)對小組成員的展示及講解進行補充、點評、總結(jié)，抑或是教師進行適時的點撥或引導(dǎo)。整個課堂教學(xué)圍繞由“尋根”“歸根”“培根”三個環(huán)節(jié)有序開展，充分尊重學(xué)生的主體地位，在引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的同時，注重激發(fā)學(xué)生自主思考、合作探究，使學(xué)生在提出問題和解決問題的過程中提升思維能力、發(fā)展核心素養(yǎng)。“根+空”理念下的課堂教學(xué)流程如圖1所示。

下面以人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊“余弦定理”為例進行說明。

（一）尋根——教學(xué)設(shè)計的起點

喻平教授認為教師的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計需側(cè)重數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的分析并將其轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)，具體包括強調(diào)知識整體分析、設(shè)置恰當情境凸顯本質(zhì)、設(shè)計合適的問題導(dǎo)出本質(zhì)以及梳理知識的邏輯關(guān)系以強化本質(zhì)?！案?空”教學(xué)中的“前置研究”的設(shè)計正是如此，其設(shè)計的關(guān)鍵是找準教學(xué)內(nèi)容的源點，即尋找新授內(nèi)容生長的“根”，這個過程也就是“尋根”。“尋根”的目的是置空，是為了設(shè)計更有利于學(xué)生“學(xué)”的前置問題以助推學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)，“尋根”是“根+空”教學(xué)的第一步，也是第二步能否順利開展的關(guān)鍵。只有“根”找準了，“前置研究”的設(shè)計才能真正做到“基礎(chǔ)、根本、開放”，學(xué)生才能真正實現(xiàn)以問題為驅(qū)動的探究式、啟發(fā)式學(xué)習(xí)。

“余弦定理”這節(jié)課的“根”是向量的運算，教學(xué)設(shè)計應(yīng)緊緊圍繞這個“根”展開。下面我們分析“前置問題解決單”中設(shè)計的問題。

設(shè)計意圖：問題6通過置空留白的形式設(shè)置了余弦定理的應(yīng)用，意在鞏固余弦定理的基本概念。問題6的第（2）問以四邊形為背景，進一步置空問題的呈現(xiàn)形式，意在進一步深化學(xué)生對余弦定理的內(nèi)涵和外延的理解，同時培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。第（3）問以余弦定理為“根”，以命制一道解三角形題目為“空”，引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識進行深度思考與開放探索，進而培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和應(yīng)用能力，同時深化學(xué)生對余弦定理的本質(zhì)的理解，進一步落實學(xué)科核心素養(yǎng)。

以上6個問題的設(shè)置以余弦定理的知識源點——數(shù)量積的運算為起點，逐層遞進，在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷余弦定理的發(fā)生、發(fā)展過程的同時，通過置空逐步把教學(xué)內(nèi)容的重點過渡到對余弦定理本質(zhì)的探究。這樣的教學(xué)設(shè)計充分發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用。

（二）歸根——核心素養(yǎng)的形成

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》的“基本理念”中指出：“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進教學(xué)?！保?］這對高中數(shù)學(xué)的教學(xué)提出了新的要求。高中數(shù)學(xué)教師要構(gòu)建以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為導(dǎo)向，能引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的課堂。在“根+空”理念下，教師引導(dǎo)學(xué)生從問題入手，通過對問題的分解與分析，找到問題的本質(zhì)，通過對問題指向的基本概念、基本思想的歸根，找到解決問題的思路與方法?！案?空”理念下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)主要體現(xiàn)在“自我探究”和“討論辨析”兩個步驟，即“歸根補空”環(huán)節(jié)。下面我們通過對本課例前置研究中的問題的分析，說明是如何在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生歸根補空的。

我們來看前置研究中的問題3。該問題的設(shè)置目的在于引導(dǎo)學(xué)生推理出余弦定理的一般形式，有了問題1和問題2的鋪墊，學(xué)生很容易將問題3的本質(zhì)歸根到數(shù)量積的運算上。新知識的形成扎根于已學(xué)習(xí)的知識，符合思維最近發(fā)展區(qū)原則。這樣基于知識基礎(chǔ)的“歸根”，非常有利于學(xué)生分析問題和提出問題能力的提升。

我們再看前置研究中問題6的第（1）問。該問題選自教材例題，題設(shè)條件給出了兩邊及其夾角的正弦值，要求求解三角形中其他三個元素。對于邊[c]的求解，學(xué)生容易歸根到余弦定理；通過前面計算出[c]的值，便知道了△[ABC]中三邊的長度。接下來，[cosA]的求解自然歸根到余弦定理的推論，而[cosB]的求解，既可以歸根到余弦定理的推論，也可以歸根到三角形內(nèi)角和定理。

我們接著看前置研究中問題6的第（2）問。此問題的解答對學(xué)生的能力要求更高，大部分學(xué)生不能自主解答。通過前面問題的解答，學(xué)生具有了一定的知識基礎(chǔ)和基本經(jīng)驗，此時展開小組合作學(xué)習(xí)，進行討論辨析正是時候。在討論辨析過程中，學(xué)生通過對四邊形中給出的基本元素的分析，發(fā)現(xiàn)兩個相關(guān)的三角形，問題的本質(zhì)回歸到三角形中三邊與其中一個角之間的關(guān)系，即余弦定理，從而問題迎刃而解。在學(xué)生的討論過程中有了如下兩種解法。

“根+空”理念下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的“自我探究”和“討論辨析”兩個步驟，既是概念形成和概念深化的關(guān)鍵步驟，也是引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生學(xué)會分析問題和解決問題的重要環(huán)節(jié)。在“歸根補空”的過程中，學(xué)生夯實了“四基”，發(fā)展了“四能”，培育了核心素養(yǎng)。

（三）培根——素養(yǎng)的沉淀

唐代詩人柳宗元在《種樹郭橐駝傳》中描寫了長安城內(nèi)一位職業(yè)種樹人郭橐駝，有人問他種的樹為什么長勢這么好，他對曰：“橐駝非能使木壽且孳也，能順木之天，以致其性焉爾。凡植木之性，其本欲舒，其培欲平，其土欲故，其筑欲密?！庇撕头N樹是一樣的道理，“順木之天，以致其性”，“根+空”理念下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的“講解展示”和“評價總結(jié)”兩個步驟更為注重培根。新授課的“評價總結(jié)”環(huán)節(jié)和習(xí)題課的“歸納整理”環(huán)節(jié)對于學(xué)生能力的提升尤為重要，正如“其土欲故”，此時正需“其筑欲密”。“培根”這個環(huán)節(jié)抓好了，教學(xué)效果將事半功倍。下面我們分析“余弦定理”這一課的培根過程。

我們看問題4的設(shè)置“請你用自己的語言敘述余弦定理，作出示意三角形，并用數(shù)學(xué)符號寫出你敘述的內(nèi)容”。用自己的語言表達，輔以圖形表示，并用規(guī)范的數(shù)學(xué)符號語言表示，設(shè)置這樣的學(xué)習(xí)活動意在引導(dǎo)學(xué)生體會、感悟余弦定理的本質(zhì)，在核心概念處培根，助力學(xué)生核心素養(yǎng)的形成。

再看問題6的設(shè)置，第（1）問和第（2）問在歸根的過程中已悄然培根，歸根和培根是相輔相成的，培根是為了在解決更加復(fù)雜的問題時能準確歸根，找到解決問題的關(guān)鍵所在，歸根的過程又在潛移默化地培根。而問題6中第（3）問要求命制一道用余弦定理求解的解三角形題目，培根和歸根這兩環(huán)節(jié)更是渾然一體，促進了學(xué)生理性思維的發(fā)展和核心素養(yǎng)的沉淀，悄無聲息地培育了學(xué)生的科學(xué)精神。

這節(jié)課的核心概念是余弦定理，整節(jié)課的教學(xué)緊緊圍繞余弦定理概念的形成、深化和應(yīng)用展開，在此過程中時時培根、處處培根，目的在于引導(dǎo)學(xué)生掌握余弦定理的本質(zhì)，使學(xué)生能夠在更加復(fù)雜的綜合問題中應(yīng)用自如。例如：

［例1］（2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽A2卷一試第9題）已知[△ABC]及其邊[BC]上的一點[D]滿足：[AB=2BD]，[AC=3CD]，且以[A]、[D]為焦點可以作一個橢圓[Γ]同時經(jīng)過[B]、[C]兩點，求[Γ]的離心率。

［例2］（2023年高考全國甲卷第11題）在四棱錐[P-ABCD]中，底面[ABCD]是正方形，[AB=4]，[PC=PD=3]，[∠PCA=45°]，則△[PBC]的面積為（）。

A. [2√2]B. [3√2]C. [4√2]D. [5√2]

例1是一道綜合考查橢圓的定義、離心率和解三角形的題目，題目以橢圓的定義為背景考查三角形中三邊和一角的關(guān)系，題目的本質(zhì)是對余弦定理的考查。例2以四棱錐和兩個等腰三角形為背景，設(shè)置了在立體幾何中求解四棱錐一個側(cè)面[PBC]的面積的問題，其本質(zhì)是在△[PCA]和△[PBC]中三邊及其一角的關(guān)系，即余弦定理。這兩道題雖有一定難度，但若善于歸根，把握問題本質(zhì)，解答便自然水到渠成。

“根+空”理念下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)圍繞暗線“尋根—歸根—培根”進行設(shè)計，圍繞明線“前置研究—自我探究—討論辨析—分享展示—評價總結(jié)”有序展開，通過問題設(shè)置和多元化的學(xué)習(xí)方式，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，實現(xiàn)以學(xué)定教、以教啟學(xué)，全面落實立德樹人的根本任務(wù)。

四、“根+空”理念下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的反思

“根+空”理念下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)有效促進了學(xué)生的學(xué)，打破了長期以來傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生的“空”無法施展的困境，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。但還存在一些需要繼續(xù)完善的地方，如“根+空”理念下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式如何推廣到各個不同層次的學(xué)校，在小學(xué)中如何開展“根+空”的數(shù)學(xué)教學(xué)，中小學(xué)其他科目如何開展“根+空”的課堂教學(xué)，如何實施各教學(xué)段有效銜接的“根+空”課堂教學(xué)。這對我們繼續(xù)實踐、完善“根+空”理念下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式提出了新任務(wù)、新要求。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 欒功，肖寶瑩，強基計劃背景下“雙向—五維—交互”中學(xué)數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式研究［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2023（2）：36-39.

［2］? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

（責任編輯 黃桂堅）

［基金項目］廣西教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“強基計劃背景下‘雙向—五維—交互的中學(xué)數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)路徑的構(gòu)建與實踐”（2023C464）。