錢(qián)國(guó)華

摘 要：“序”是教師規(guī)范性教學(xué)的重要尺度。“序”的缺失使小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生了許多問(wèn)題。知識(shí)之序缺失導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)知模糊，認(rèn)知之序缺失導(dǎo)致學(xué)生思維失穩(wěn)，學(xué)習(xí)之序缺失導(dǎo)致學(xué)生理解膚淺。教師應(yīng)在教學(xué)實(shí)踐中分清知識(shí)的主次，把握學(xué)習(xí)的次序，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué) “立序” 知識(shí)之序 認(rèn)知之序 學(xué)習(xí)之序

教學(xué)的規(guī)范性是建立在學(xué)生相關(guān)學(xué)習(xí)規(guī)律基礎(chǔ)之上的，而“序”是規(guī)范性教學(xué)的重要尺度。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之“序”包括知識(shí)之序、認(rèn)知之序與學(xué)習(xí)之序。有序的數(shù)學(xué)教學(xué)，能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，調(diào)動(dòng)學(xué)生創(chuàng)新思維意識(shí)，同時(shí)還能引導(dǎo)學(xué)生嘗試獨(dú)立思考，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知、思維、學(xué)習(xí)等從失穩(wěn)走向穩(wěn)定，從固化走向靈動(dòng)。

一、“序”的缺失：聚焦當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)問(wèn)題

“序”是一切物質(zhì)演變的趨勢(shì)與樣態(tài)。比利時(shí)科學(xué)家普里戈金曾說(shuō)“這個(gè)世界上的一切事物都向著自身相對(duì)有序的狀態(tài)發(fā)展”，教學(xué)也是如此。在教學(xué)中，教師要處理的兩個(gè)根本性的問(wèn)題就是“選材”和“立序”?！斑x材”強(qiáng)調(diào)教師要因材施教；“立序”則強(qiáng)調(diào)教師教學(xué)時(shí)要循序漸進(jìn)。當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)問(wèn)題，有很多可以歸結(jié)為“序”的缺失，其結(jié)果是學(xué)生思維模糊，對(duì)知識(shí)的理解不深刻，具體表現(xiàn)如下：

（一）知識(shí)之序缺失導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)知模糊

知識(shí)之序體現(xiàn)在教材之中。教材內(nèi)容的編排遵循從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從淺顯到深刻的原則。前面的知識(shí)是后面知識(shí)的基礎(chǔ)，教師按照知識(shí)序列進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生便可逐步深入，從整體上把握知識(shí)體系。如果教師在教學(xué)中忽略了知識(shí)之序，那么學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解就會(huì)流于表面。例如，有的教師在教授“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）”時(shí)，由于沒(méi)有及時(shí)復(fù)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）”中的相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生在建構(gòu)分?jǐn)?shù)知識(shí)體系時(shí)顯得力不從心，這反映了知識(shí)之序的缺失。知識(shí)之序是教學(xué)的根本，是教學(xué)的靈魂，在教學(xué)中既不能缺位又不能越位，否則就會(huì)得到“欲速則不達(dá)”的結(jié)果。

（二）認(rèn)知之序缺失導(dǎo)致學(xué)生思維失穩(wěn)

認(rèn)知之序包括兩個(gè)方面，一方面是數(shù)學(xué)知識(shí)的形成規(guī)律，另一方面是學(xué)生認(rèn)知、思維和心理的發(fā)展規(guī)律。認(rèn)知之序的缺失容易導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)知與思維的失穩(wěn)。在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)許多教師對(duì)學(xué)生認(rèn)知之序的理解較為膚淺。例如，在教授“圓的周長(zhǎng)”一課時(shí)，有的教師忽略了學(xué)生的認(rèn)知之序，為了區(qū)分“半圓的周長(zhǎng)”和“圓周長(zhǎng)的一半”，不惜進(jìn)行煩瑣的公式推演，形成了“πr”（圓周長(zhǎng)的一半）“πr+2r”（半圓的周長(zhǎng)）等公式，反而對(duì)學(xué)生識(shí)記知識(shí)造成了阻礙。實(shí)際上，教師可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖來(lái)表征“圓周長(zhǎng)的一半”和“半圓的周長(zhǎng)”，用圖形來(lái)表現(xiàn)兩者的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)公式，這樣才能獲得更好的教學(xué)效果。學(xué)生的思維發(fā)展遵循由具體形象思維到抽象邏輯思維發(fā)展的規(guī)律，忽略學(xué)生的認(rèn)知之序，教學(xué)將會(huì)事倍功半。

（三）學(xué)習(xí)之序缺失導(dǎo)致學(xué)生理解膚淺

有序是教學(xué)的本真追求。教師開(kāi)展教學(xué)，不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)之序、學(xué)生認(rèn)知心理之序，還要關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之序。一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，是從外部的實(shí)踐活動(dòng)開(kāi)始的，而后逐漸過(guò)渡到內(nèi)隱的思維活動(dòng)。如果教師的教學(xué)活動(dòng)指向不明，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是模糊的、不確定的。例如，在教授“10的分與合”一課時(shí)，有的教師直接通過(guò)課件呈現(xiàn)“10的分解”結(jié)果，讓學(xué)生根據(jù)課件理解記憶。這樣的操作看似是一種“有序操作”，卻沒(méi)有讓學(xué)生充分經(jīng)歷從“無(wú)序”到“有序”的過(guò)程，學(xué)生僅僅是依葫蘆畫(huà)瓢，而沒(méi)有經(jīng)過(guò)自主探索，這就導(dǎo)致學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解較為膚淺。所以，教師應(yīng)通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生探索知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑知識(shí)、解構(gòu)知識(shí)和建構(gòu)知識(shí)，幫助學(xué)生深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生高階認(rèn)知和高階思維的發(fā)展。

二、“序”的回歸：建立學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的科學(xué)認(rèn)知

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“無(wú)序化”呼吁學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之“序”的回歸。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注自身的教學(xué)之序，更要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之“序”?！靶颉钡幕貧w，可以幫助教師建立對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的科學(xué)認(rèn)知。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生學(xué)習(xí)之“序”的回歸是根本，教師教學(xué)之“序”的回歸是保障。那么，我們應(yīng)當(dāng)從哪些方面來(lái)為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“立序”呢？

（一）知識(shí)之序的回歸

知識(shí)之序主要有兩個(gè)方面的內(nèi)容：其一是知識(shí)的誕生、發(fā)生與發(fā)展之序，這要求教師在教學(xué)中瞻前顧后，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)從外在到內(nèi)在、從現(xiàn)象到本質(zhì)、從結(jié)果到原因的過(guò)程；其二是數(shù)學(xué)知識(shí)與相關(guān)知識(shí)的關(guān)聯(lián)之序，教師在教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘數(shù)學(xué)知識(shí)的本源，即本質(zhì)之源，梳理數(shù)學(xué)知識(shí)的脈絡(luò)，同時(shí)體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的生成、生發(fā)過(guò)程。教師把握好數(shù)學(xué)知識(shí)之序，才能讓學(xué)生學(xué)得明白、理解到位。例如，教授“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”時(shí)，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生比較分?jǐn)?shù)和除法算式，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)和除法算式的聯(lián)系與區(qū)別，為學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上，教師可以再引導(dǎo)學(xué)生借助動(dòng)手畫(huà)圖、操作等探索性的活動(dòng)，探究分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，并比較商不變的規(guī)律和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)之間的異同。

（二）認(rèn)知之序的落實(shí)

所謂認(rèn)知之序，就是教師教學(xué)時(shí)要遵循學(xué)生的認(rèn)知心理發(fā)展順序。只有遵循學(xué)生的認(rèn)知心理發(fā)展順序，教師才能有效地幫助學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。認(rèn)知結(jié)構(gòu)實(shí)質(zhì)上就是外在的知識(shí)結(jié)構(gòu)在學(xué)生心理上的一種建構(gòu)。例如，教授“梯形的面積”時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“平行四邊形的面積”“三角形的面積”等知識(shí)，因而對(duì)“倍拼法”“剪拼法”等求面積的方法有了一定的認(rèn)知，在頭腦中形成了相應(yīng)的表象和心理圖式。因此，筆者鼓勵(lì)學(xué)生自主探究梯形的面積公式。學(xué)生基于各自的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、心理圖式，從不同的視角對(duì)梯形面積的求法進(jìn)行了深入的探索。如有學(xué)生應(yīng)用“倍拼法”將梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形求梯形面積，有學(xué)生應(yīng)用“剪拼法”將梯形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形求梯形面積，還有學(xué)生將梯形運(yùn)用“分割法”轉(zhuǎn)化成三角形求梯形面積……由此可見(jiàn)，正是基于已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生才可以進(jìn)行多樣化的探索，才能獲得不同的知識(shí)轉(zhuǎn)化策略。

（三）學(xué)習(xí)之序的重建

小學(xué)數(shù)學(xué)既是“科學(xué)性的數(shù)學(xué)”，又是“心理學(xué)的數(shù)學(xué)”“教育學(xué)的數(shù)學(xué)”。如果說(shuō)，知識(shí)順序要秉持知識(shí)的科學(xué)特質(zhì)，認(rèn)知順序要契合心理學(xué)的特質(zhì)，那么學(xué)習(xí)之序就要契合教育學(xué)的特質(zhì)。優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)之序，要重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)與學(xué)習(xí)方式。當(dāng)然，學(xué)習(xí)之序往往是建立在知識(shí)之序、認(rèn)知之序的基礎(chǔ)上的。例如，在教授“間隔排列”時(shí)，筆者根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知心理特質(zhì)，遵循其從直觀動(dòng)作到具體形象、再由具體形象到抽象邏輯的認(rèn)知規(guī)律，設(shè)計(jì)了這樣的活動(dòng)內(nèi)容和程序：引導(dǎo)學(xué)生操作小棒、圓片等工具，將其一一間隔排列，認(rèn)識(shí)兩端物體和中間物體，并且思考兩端物體和中間物體的關(guān)系。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)能有效地將學(xué)生外在的操作經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為學(xué)生的認(rèn)知表象，以此深化學(xué)生的認(rèn)知，提升學(xué)生的理性思維。

三、“序”的實(shí)踐：促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)的提升

特級(jí)教師吳正憲說(shuō)過(guò)：“知識(shí)的傳授應(yīng)當(dāng)立足于知識(shí)的邏輯發(fā)展?！睂W(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是循序漸進(jìn)的，循知識(shí)之序、認(rèn)知之序，建立學(xué)習(xí)秩序，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得邏輯演進(jìn)、無(wú)痕推進(jìn)、不斷躍進(jìn)?？梢赃@樣說(shuō)，“序”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的DNA。相較于碎片式的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有序的數(shù)學(xué)教學(xué)更能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成。

（一）分清知識(shí)的主次

把握數(shù)學(xué)知識(shí)之序，要求教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)源，把握“數(shù)學(xué)知識(shí)是誰(shuí)（什么）”“數(shù)學(xué)知識(shí)從哪里來(lái)”“數(shù)學(xué)知識(shí)要到哪里去”等問(wèn)題。數(shù)學(xué)知識(shí)不僅僅具有縱向的產(chǎn)生、發(fā)展的時(shí)間軸，更具有橫向的與其他相關(guān)知識(shí)關(guān)聯(lián)的時(shí)間軸。

相對(duì)于碎片化、無(wú)序孤立式的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有機(jī)的、有序的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，更能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效能。教學(xué)中，教師要區(qū)分主要的數(shù)學(xué)知識(shí)與次要的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)知識(shí)的主要方面與數(shù)學(xué)知識(shí)的次要方面。概言之，就是要把握數(shù)學(xué)知識(shí)的輕與重、主與次、先與后等。例如，在教授“十幾減9”這一部分內(nèi)容時(shí)，學(xué)生可能會(huì)想到很多方法，如“平十法”“破十法”“算減想加法”等。對(duì)于這些方法，教師應(yīng)當(dāng)予以積極的關(guān)注，并鼓勵(lì)學(xué)生采用多樣化的算法，發(fā)散學(xué)生思維。而在講解時(shí)，教師可以重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“破十法”，抓住教學(xué)的重點(diǎn)與主要方面，有效地幫助學(xué)生解決計(jì)算難題。

（二）把握學(xué)習(xí)的次序

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，歸根結(jié)底就是要讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)先后有序。這里的“序”不僅僅指數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯之序，更指學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的心理之序。教師通過(guò)有效的研究和設(shè)計(jì)，適當(dāng)整合和優(yōu)化教材的教學(xué)內(nèi)容，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有效、更靈活。蘇聯(lián)著名教育家蘇霍姆林斯基說(shuō)：“每一個(gè)學(xué)生都可能成為探索者、發(fā)現(xiàn)者、研究者。”尊重學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之序，能讓學(xué)生的認(rèn)知和思維規(guī)范化、條理化、有序化。

例如，在教授“認(rèn)識(shí)平面圖形”“計(jì)算平面圖形的周長(zhǎng)和面積”時(shí)，教師教學(xué)通常會(huì)遵循“由直線圖形到曲線圖形”的順序；在學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)的有關(guān)概念”時(shí)，教師通常是先讓學(xué)生認(rèn)識(shí)整數(shù)，再讓學(xué)生認(rèn)識(shí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)等；在學(xué)生學(xué)習(xí)“統(tǒng)計(jì)與概率”相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師通常先讓學(xué)生進(jìn)行質(zhì)性描述，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行定量分析；等等。以上教學(xué)過(guò)程就是遵循整體的認(rèn)知之序的過(guò)程。

（三）培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

著名數(shù)學(xué)教育專家曹才翰認(rèn)為：“所謂的‘認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就是學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)知識(shí)按照自己的理解的深度、廣度等，結(jié)合了自己的感覺(jué)、知覺(jué)、記憶、思維、想象等，組成的一個(gè)內(nèi)部的有規(guī)律的組織?！睂W(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知是從形象走向抽象的。教師要把握學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的顯與隱，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、認(rèn)知逐步深入，從具體形象邁向抽象邏輯，促進(jìn)學(xué)生類比推理、歸納推理與演繹推理能力的共同發(fā)展。教學(xué)中，教師可以采用動(dòng)手探究、問(wèn)題鏈等方式，有序推進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由淺入深地發(fā)展。

例如，教授“因數(shù)和倍數(shù)”一課時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)教材中只是簡(jiǎn)單地讓學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)——“乘法算式和除法算式”去抽象、概括、提煉出因數(shù)和倍數(shù)的概念，這樣不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的心理內(nèi)化，也不利于學(xué)生建構(gòu)穩(wěn)定的認(rèn)知心理圖式。因此，筆者引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，用24個(gè)小正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，探究長(zhǎng)方形的拼法，然后讓學(xué)生用算式對(duì)相關(guān)的操作進(jìn)行表征，比較、研究算式中每個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，從而建構(gòu)因數(shù)和倍數(shù)的概念。這樣的探究過(guò)程，不僅讓學(xué)生理解了因數(shù)和倍數(shù)的概念，而且讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到因數(shù)和倍數(shù)相互依存的關(guān)系。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教學(xué)之“序”不是靜態(tài)的、固化的，而是動(dòng)態(tài)的、發(fā)展的，是“有序”和“無(wú)序”的辯證和統(tǒng)一。聚焦“有序”，要求教師的教學(xué)設(shè)計(jì)要有組織、有順序，以學(xué)生的學(xué)為中心，以學(xué)定教、因?qū)W施教、順序而導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生思維、認(rèn)知與素養(yǎng)實(shí)現(xiàn)高階發(fā)展。

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