栗素娟, 許珂欣, 孫祥亮, 宋 帥

(1．河南科技大學(xué) 信息工程學(xué)院, 河南 洛陽(yáng) 471023; 2．平頂山技師學(xué)院 基礎(chǔ)部, 河南 平頂山 467000)

0 引言

近年來(lái),多智能體系統(tǒng)在理論研究和工程應(yīng)用方面都取得了快速發(fā)展,如飛行器的協(xié)同控制、機(jī)器人系統(tǒng)的編隊(duì)控制和電力系統(tǒng)等[1-3]。一致性問(wèn)題作為多智能體系統(tǒng)中的熱門話題有著豐碩的成果。例如,文獻(xiàn)[4]研究了基于采樣數(shù)據(jù)的一致性控制;文獻(xiàn)[5]考慮了非線性多智能體系統(tǒng)在事件觸發(fā)下的一致性;文獻(xiàn)[6]研究了切換拓?fù)湎露嘀悄荏w系統(tǒng)的一致性。需要注意的是,以上的結(jié)果都集中在常微分方程描述的質(zhì)量一致性上。這意味著系統(tǒng)只能獲得單個(gè)智能體的一維狀態(tài)信息,如速度和加速度等。然而,許多系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)不僅依賴于時(shí)間,而且依賴于空間,這意味著使用偏微分方程(partial differential equation, PDE)為單個(gè)智能體建模是有意義的[7-9]。與基于常微分方程的多智能體系統(tǒng)控制相比,分布參數(shù)多智能體系統(tǒng)的控制由于其無(wú)限維特性而更加難以分析。如何獲取基于PDE的多智能體系統(tǒng)的一致性成為一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。文獻(xiàn)[10]研究了時(shí)空系統(tǒng)的同步和穩(wěn)定性分析,為本文的研究提供了一種有效的方法。到目前為止,基于PDE的多智能體系統(tǒng)的一致性還沒(méi)有得到充分的研究。這激發(fā)了本文研究構(gòu)建基于PDE的多智能體系統(tǒng)模型,并研究其動(dòng)態(tài)性能。

多智能體系統(tǒng)根據(jù)是否有領(lǐng)導(dǎo)者的加入可以分成兩類,在帶有領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)中,跟隨者需要和領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)保持一致從而實(shí)現(xiàn)總體的一致性[11],而在無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者的系統(tǒng)中,智能體通過(guò)鄰居間的信息交流實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)[12],二者在控制協(xié)議上有所不同。前者的優(yōu)點(diǎn)在于只要人為操控領(lǐng)導(dǎo)者,就能實(shí)現(xiàn)整體的控制,而缺點(diǎn)也是很明顯的,如果領(lǐng)導(dǎo)者遭到破壞,整個(gè)系統(tǒng)容易崩潰;無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者的系統(tǒng)則避免了這一問(wèn)題,但缺點(diǎn)在于控制協(xié)議復(fù)雜,需要使用更多的資源[13]。

為了使多智能體系統(tǒng)能夠獲得更全面的信息,本文將空間變量引入單個(gè)智能體,構(gòu)建了基于PDE的多智能體系統(tǒng)[14-17]。為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的一致性分析,將PDE系統(tǒng)中常用的計(jì)算方法引入多智能體系統(tǒng),并針對(duì)系統(tǒng)有無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者的兩種情況分別進(jìn)行了一致性分析,并給出了相應(yīng)的充分條件,結(jié)果用線性矩陣不等式展現(xiàn)。最后,兩個(gè)數(shù)值例子被給出,用來(lái)驗(yàn)證本文所提的理論。

1 領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者多智能體系統(tǒng)的一致性

本文考慮的非線性領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者多智能體系統(tǒng)采用拋物型偏微分方程為基礎(chǔ),其中,領(lǐng)導(dǎo)者有如下形式:

yt(x,t)=yxx(x,t)+f(y(x,t))。

(1)

系統(tǒng)的邊界條件和初始條件為:

yx(x,t)|x=l1=yx(x,t)|x=l2=0,y(x,0)=φ(x),

(2)

其中:y(x,t)∈L2([l1,l2];Rn)是系統(tǒng)狀態(tài);f(·)是光滑的非線性函數(shù)。

此外,考慮N個(gè)跟隨者的模型為:

si,t(x,t)=si,xx(x,t)+f(si(x,t))+ui(x,t),

(3)

同時(shí),滿足以下條件

si,x(x,t)|x=l1=si,x(x,t)|x=l2=0,si(x,0)=φi(x)。

(4)

假設(shè)1對(duì)于所有x1≠x2,x1,x2∈R,存在1個(gè)正標(biāo)量,使得|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立。

假設(shè)2跟隨者(3)和領(lǐng)導(dǎo)者(1)的通信拓?fù)浒灶I(lǐng)導(dǎo)者為根的有向生成樹(shù)。

定義誤差為ei(x,t)=si(x,t)-y(x,t),根據(jù)式(1)和式(3)可以得到誤差系統(tǒng)為:

(5)

(6)

定理1基于PDE的有領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)(1)～(4)可以實(shí)現(xiàn)一致性控制,如果存在正常數(shù)c和正定矩陣Ξ使得下式成立:

(7)

證明選擇如下李雅普諾夫函數(shù):

(8)

對(duì)V(t)沿著式(6)進(jìn)行求導(dǎo),可得:

(9)

根據(jù)分部積分法和文獻(xiàn)[18]中的引理1,可得:

(10)

此外,利用一些基本不等式,可知下式成立:

(11)

結(jié)合假設(shè)1和式(11)可以計(jì)算出:

(12)

通過(guò)分析式(9)～式(12)可以得出:

(13)

根據(jù)定理1和李雅普諾夫穩(wěn)定性分析,可以推斷出基于PDE的具有領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)(1)～(4)可以實(shí)現(xiàn)一致性。定理1證畢。

2 無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者多智能體系統(tǒng)的一致性

本節(jié)研究的基于PDE的無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者多智能體系統(tǒng)有如式(3)的形式,且非線性函數(shù)同樣滿足假設(shè)1。同上節(jié)相似,需要對(duì)無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)做出假設(shè):

假設(shè)3N個(gè)無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是強(qiáng)連通的。

(14)

定理2基于PDE的無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者多智能體系統(tǒng)(3)可以實(shí)現(xiàn)一致性控制,如果存在正常數(shù)c和正定矩陣Λ使得下式成立:

(15)

證明選擇如下李雅普諾夫函數(shù):

(16)

通過(guò)與定理1相似的證明,可得:

(17)

(18)

(19)

結(jié)合定理2可以說(shuō)明基于PDE的無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者多智能體系統(tǒng)(3)可以實(shí)現(xiàn)一致性。定理2證畢。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 具有領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)

圖1 具有領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

為了驗(yàn)證定理1的有效性,本例考慮具有1個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和4個(gè)跟隨者的基于PDE的多智能體系統(tǒng),其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。相關(guān)參數(shù)為f(x)=arctan (x),c=5.73,l1=0,l2=1。

系統(tǒng)初始條件為:

誤差系統(tǒng)(5)的開(kāi)環(huán)軌跡和閉環(huán)軌跡分別如圖2和圖3所示。圖2和圖3中,eij表示第i組數(shù)據(jù)中第j個(gè)智能體與領(lǐng)導(dǎo)者的誤差。從圖2和圖3中可以看出,系統(tǒng)在沒(méi)有控制作用的情況下是無(wú)法實(shí)現(xiàn)狀態(tài)一致的,當(dāng)施加控制作用后,誤差系統(tǒng)較快地趨近于0,表示一致性的目的達(dá)到。

(a) e11開(kāi)環(huán)軌跡 (b) e23開(kāi)環(huán)軌跡

(a) e34閉環(huán)軌跡 (b) e31閉軌跡

3.2 無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)

考慮1個(gè)由5個(gè)智能體組成的無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者的基于PDE的多智能體系統(tǒng),其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖4所示。同時(shí),選擇非線性函數(shù)為f(x)=0.65arctan (x),c=1.32。系統(tǒng)初始條件為φi(x)=isin (πx),i=1,2,…,5。圖5和圖6分別展示了誤差系統(tǒng)(14)的開(kāi)環(huán)和閉環(huán)軌跡。圖5和圖6中,υij表示智能體i和智能體j的誤差。從圖5和圖6中可以看出,基于PDE的無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者多智能體系統(tǒng)也可以實(shí)現(xiàn)一致性控制。本文所得結(jié)果在有領(lǐng)導(dǎo)者和無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者兩種情況下均適用,表示所得結(jié)果的一般性。

(a) V14開(kāi)環(huán)軌跡 (b) V25開(kāi)環(huán)軌跡

(a) V14閉環(huán)軌跡 (b) V25閉環(huán)軌跡

4 結(jié)束語(yǔ)

本文考慮了單個(gè)智能體的空間屬性,構(gòu)建了基于PDE的多智能體系統(tǒng),并研究了系統(tǒng)在具有領(lǐng)導(dǎo)者和無(wú)領(lǐng)導(dǎo)者兩種情況下的一致性問(wèn)題,控制增益的求取以線性矩陣不等式的形式呈現(xiàn),仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的有效性。本文所得結(jié)果是基于連續(xù)控制的方法,此類方法的缺陷是數(shù)據(jù)量較大,因此,在本研究成果的基礎(chǔ)上,基于采樣數(shù)據(jù)的一致性[19]、釘扎同步[20]和脈沖同步[21]等節(jié)能同步方法也值得從反應(yīng)擴(kuò)散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步推廣到基于PDE的多智能體系統(tǒng)中,這將是作者未來(lái)的工作重點(diǎn)。