呂雙慶, 陳文潔, 胡秀芳

(1.西安交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院,陜西 西安 710049; 2.太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,山西 太原 030024)

0 引 言

精確的動態(tài)模型是對無線電能傳輸(wireless power transfer, WPT)系統(tǒng)進(jìn)行控制和穩(wěn)定性分析的重要前提。然而,WPT系統(tǒng)工作于高頻諧振模式,這使得對WPT系統(tǒng)的建模特別具有挑戰(zhàn)性。傳統(tǒng)的狀態(tài)空間平均技術(shù)不再適用[1],為此,適合于WPT系統(tǒng)的一些其他建模方法逐漸被提出。文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]提出了基于狀態(tài)平面分析和dq變換的小信號模型,但該模型主要適用于兩元件諧振回路。研究學(xué)者結(jié)合時域和頻域分析的思想提出了一些易于理解和實施的建模方法,例如,動態(tài)相量法[4-5]、廣義狀態(tài)空間平均(generalized state-space averaging,GSSA)法[6-7]以及擴(kuò)展描述函數(shù)(extended describing function,EDF)法[8]。這3種建模方法的方法論相似,都是將諧振網(wǎng)絡(luò)中各變量的開關(guān)紋波分解為兩個具有直流工作點的獨(dú)立變量,從而得到直流工作點附近的線性化小信號模型。雖然分解的方式不同,但3種方法得到的模型基本相同。同時這3種建模方法現(xiàn)有的動態(tài)模型幾乎將模型的階數(shù)提高了一倍。文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]提出了離散時間迭代模型和樣本數(shù)據(jù)模型。離散時間迭代模型以其高精度而聞名。

在WPT系統(tǒng)中,整個控制過程主要包括3個步驟:采樣、計算和脈寬調(diào)制[11-12](pulse width modulation,PWM)。在采樣環(huán)節(jié),檢測模塊測量系統(tǒng)中的被控量(電壓或電流)并將其送到數(shù)字信號處理器(digital signal processor,DSP),這個過程產(chǎn)生的硬件延時主要由采樣電路造成。DSP基于所獲得的采樣信號,計算出占空比,再經(jīng)過PWM模塊生成驅(qū)動信號,這個過程產(chǎn)生的延時主要是數(shù)字控制延時。數(shù)字控制延遲通常與系統(tǒng)開關(guān)頻率有關(guān),因為PWM模塊中的采樣和占空比更新與三角載波同步[15]。時間延遲一方面會增加模型建立的難度[14-15]。另一方面,數(shù)字控制系統(tǒng)中的時間延遲可能導(dǎo)致WPT系統(tǒng)的性能受到影響。無限不確定的特征值將通過時間延遲引入系統(tǒng)[16]。在系統(tǒng)模型中具有無限個特征值,難以實現(xiàn)WPT系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。由于時間延遲引入的特征值,可能會使系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定[15]。因此,考慮與開關(guān)頻率相關(guān)的時間延遲對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響是必要的。

本文首先建立LCC-S型WPT系統(tǒng)的離散時間迭代模型。離散時間迭代在非線性系統(tǒng)建模中具有重要作用,在考慮硬件延時和數(shù)字控制延時的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步推導(dǎo)電壓型比例積分控制LCC-S型WPT系統(tǒng)的離散時間迭代模型并獲得系統(tǒng)雅可比矩陣,利用矩陣的特征根分布對系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析,分別分析控制器參數(shù)、延時時間和主電路參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,準(zhǔn)確預(yù)測系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍。同時將LCC-S型WPT系統(tǒng)的EDF模型、GSSA模型和離散時間迭代模型進(jìn)行臨界穩(wěn)定預(yù)測值的對比。最后,仿真和實驗驗證所建立模型和穩(wěn)定性分析的正確性。

1 LCC-S型WPT系統(tǒng)工作原理

LCC-S型WPT系統(tǒng)電路拓?fù)淙鐖D1所示,系統(tǒng)主要由全橋逆變器、諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)、全橋整流器以及負(fù)載所組成。圖1中:Rp表示Lp的等效串聯(lián)電阻和MOSFET的導(dǎo)通電阻之和;R1表示L1和C1等效串聯(lián)電阻之和;Rc表示Cp的等效串聯(lián)電阻;R2表示L2、C2的等效串聯(lián)電阻以及整流二極管的導(dǎo)通電阻之和;Rf表示Cf的等效串聯(lián)電阻;VM表示輸出電壓檢測模塊,A/D表示將模擬電壓信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字電壓信號,PWM表示脈寬調(diào)制;φ為經(jīng)過控制延時之后的移相角;Ts是系統(tǒng)的工作周期;fs是系統(tǒng)的工作頻率。

通常情況下,為了實現(xiàn)高功率因數(shù)和高效率,系統(tǒng)工作在諧振狀態(tài)。假設(shè)系統(tǒng)諧振頻率為ωs,則諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)滿足如下關(guān)系:

(1)

當(dāng)采用移相控制策略時,開關(guān)管S1和S2、S3和S4的開關(guān)狀態(tài)分別互補(bǔ),并且每個開關(guān)管的占空比均為50%,φ為S1與S3之間的移相角,通過改變移相角φ的大小來調(diào)節(jié)逆變器輸出電壓占空比,進(jìn)而調(diào)節(jié)系統(tǒng)的輸出。LCC-S型WPT系統(tǒng)處于穩(wěn)定工作狀態(tài)時,其主要工作波形如圖2所示。流過發(fā)射線圈L1的電流i1滯后逆變器輸出電壓uAB90°,流過接收線圈L2的電流i2與逆變器輸出電壓uAB同相。整流橋的導(dǎo)通狀態(tài)與i2相關(guān),uCD被鉗位在±Uo。

圖2 穩(wěn)態(tài)時工作波形

事實上,即使輸出濾波電容非常大,輸出電壓Uo也會產(chǎn)生紋波。諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的電流也不是理想的正弦波,這是由于非線性負(fù)載引入造成的。接收線圈的電流i2需要經(jīng)過整流橋?qū)崿F(xiàn)換相,同時對濾波電容進(jìn)行充放電。

2 離散時間迭代的LCC-S型WPT系統(tǒng)建模

包含逆變器和整流器的WPT系統(tǒng)是一個周期性時變非線性系統(tǒng),而離散時間迭代在處理一般非線性系統(tǒng)的建模中起著重要作用。離散時間迭代將非線性系統(tǒng)分為有限數(shù)量的線性子系統(tǒng),這些子系統(tǒng)通過一個離散切換邏輯進(jìn)行耦合,并描述系統(tǒng)可能的連續(xù)動態(tài)特性,該離散切換邏輯確定每個子系統(tǒng)在一個周期內(nèi)的有效工作時間。這些子系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)在不同工作點上的線性化。因為離散時間迭代模型保留了系統(tǒng)低頻次與開關(guān)頻次所有的信息,所以該動態(tài)模型是準(zhǔn)確的。

基于離散時間迭代的WPT系統(tǒng)的動態(tài)分析,需做以下假設(shè):

1)所有的開關(guān)器件都是理想的;

2)忽略開關(guān)器件的死區(qū)時間。

為了建立LCC-S型WPT系統(tǒng)的精確離散時間迭代模型,首先需要根據(jù)逆變器和整流器的工作狀態(tài)將LCC-S型WPT系統(tǒng)在一個開周期進(jìn)行區(qū)間劃分。LCC-S型WPT系統(tǒng)在一個開關(guān)周期內(nèi)被分為6個狀態(tài)區(qū)間,如圖2中的狀態(tài)區(qū)間tn1～tn6。在每個狀態(tài)區(qū)間,系統(tǒng)都工作在線性狀態(tài),對應(yīng)的系統(tǒng)工作電路圖如圖3所示。系統(tǒng)在6個狀態(tài)區(qū)間的工作狀態(tài)可表示如下:

圖3 系統(tǒng)等效電路圖

狀態(tài)區(qū)間-tn1：uAB=0,i2>0;狀態(tài)區(qū)間-tn2：uAB>0,i2>0;狀態(tài)區(qū)間-tn3：uAB=0,i2>0;狀態(tài)區(qū)間-tn4：uAB=0,i2<0;狀態(tài)區(qū)間-tn5：uAB<0,i2<0;狀態(tài)區(qū)間-tn6：uAB=0,i2<0。

選取電感電流和電容兩側(cè)電壓為電路狀態(tài)變量:

(2)

系統(tǒng)在每個狀態(tài)區(qū)間都可表示為一個線性時不變的狀態(tài)空間方程,即

(3)

式中:x(t)為狀態(tài)變量;Ai為狀態(tài)矩陣;Bi為輸入矩陣;i=1、2、3、4、5、6;Uin為輸入電壓,具體如下:

(4)

(5)

(6)

式(3)的微分方程可使用傳統(tǒng)的線性代數(shù)方法求解。該微分方程可以借助于狀態(tài)變量的初始值來求解,初始值的矩陣指數(shù)取決于電路參數(shù),以及狀態(tài)區(qū)間的時間間隔。其解為:

xi(t)=eAitnixi-1(t)+ψiUin;

(7)

(8)

式中:i=1、2、3、4、5、6;I為7階的單位矩陣。

如圖2所示,將LCC-S型WPT系統(tǒng)的一個開關(guān)周期劃分為6個狀態(tài)區(qū)間,定義第n個和第(n+1)個開關(guān)周期開始時刻的狀態(tài)變量x為x(n)=[ip(n)i1(n)i2(n)up(n)u1(n)u2(n)uf(n)]T,x(n+1)=[ip(n+1)i1(n+1)i2(n+1)up(n+1)u1(n+1)u2(n+1)uf(n+1)]T;輸出電壓Uo的初始值為Uo(n)和Uo(n+1)。式(3)中一個開關(guān)周期內(nèi)6個狀態(tài)區(qū)間的微分方程的解如下:

(9)

式中:

(10)

(11)

接著根據(jù)式(9)～式(11),利用時間迭代的思想,可以求得系統(tǒng)在一個開關(guān)周期內(nèi)的精確離散時間迭代模型為

x(n+1)=f(x(n),φ(n))=

G(φ(n))x(n)+H(φ(n))Uin。

(12)

式中:

(13)

利用nTs時刻LCC-S型WPT系統(tǒng)的等效電路圖,求得系統(tǒng)輸出方程

Uo(n)=Cx(n)。

(14)

式中

(15)

3 基于離散時間迭代的LCC-S型WPT系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

LCC-S型WPT系統(tǒng)中,控制器參數(shù)、延時時間和主電路參數(shù)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性有重大影響。如果參數(shù)選擇不當(dāng),輸出電壓和補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)中各電量可能會出現(xiàn)明顯的振蕩,系統(tǒng)的行為可能會經(jīng)歷規(guī)律的不穩(wěn)定性。本節(jié)以移相控制方式下采用比例積分(proportional-integral,PI)控制器的LCC-S型WPT系統(tǒng)為例,深入研究控制器參數(shù)、延時時間和主電路參數(shù)對LCC-S型WPT系統(tǒng)穩(wěn)定性和暫態(tài)行為的影響。

3.1 閉環(huán)控制模式下LCC-S型WPT系統(tǒng)建模

LCC-S型WPT系統(tǒng)的閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖如圖4所示。其中:GPI(s)表示PI控制器的傳遞函數(shù);Gd(s)表示硬件延時環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù);Gc(s)表示因數(shù)字控制器引入的延時環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。Gb(s)表示被控對象的傳遞函數(shù),被控對象是從發(fā)射側(cè)逆變器輸出端到接收側(cè)的電壓輸出端之間的部分,含發(fā)射接收線圈、補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)及接收側(cè)整流器等。

圖4 控制系統(tǒng)框圖

在WPT系統(tǒng)中,延時環(huán)節(jié)的引入無法避免,主要包括硬件延時和數(shù)字控制器引入的采樣延時、計算延時以及PWM延時。除此之外,還包括系統(tǒng)中人為設(shè)置的軟件延時。系統(tǒng)輸出電壓經(jīng)電壓檢測模塊調(diào)理之后在切換周期開始時被采樣,輸出電壓的采樣值和參考電壓之間的差值被送到PI控制器。PI控制器的輸出即為移相角。

在本文中,硬件延時主要指電壓檢測電路的延時,延時時間用Td表示。人為設(shè)置的軟件延時,延時時間用td表示,則

Gd(s)=e-(Td+td)s。

(16)

通過引入五階pade近似等效電壓檢測電路的延時,狀態(tài)變量標(biāo)記為xd1～xd5。同時將延時環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)換到離散域,得到延時環(huán)節(jié)在離散域的表達(dá)式為:

(17)

(18)

式中:Fd、Hd、Cd和Dd分別表示狀態(tài)矩陣、輸入矩陣、輸出矩陣和前饋矩陣,在此處不再具體列出。

數(shù)字控制電壓閉環(huán)的LCC-S型WPT系統(tǒng)采用PI控制,kp是控制器的比例系數(shù),ki是控制器的積分系數(shù)。首先,系統(tǒng)在t=nTs時刻采樣經(jīng)延時后的輸出電壓Uod(n),輸出電壓的采樣值Uod(n)與參考電壓Uref比較得到電壓差,經(jīng)過PI控制器,得到移相角φn+1。在下一個開關(guān)周期開始時刻t=(n+1)Ts,將計算得到的移相角φn+1重新加載。數(shù)字控制系統(tǒng)控制器的離散迭代模型表達(dá)式如下:

(19)

可以看出,移相角φn+1計算的過程中利用的是上一周期的狀態(tài)變量和輸出變量,體現(xiàn)了數(shù)字控制器引入的一個開關(guān)周期的延時。

kpDdCG-1HUin+kiTsUref+φ(n)。

(20)

可以看出移相角φn+1只與第n個周期的狀態(tài)變量相關(guān),且當(dāng)系統(tǒng)采用PI控制時,無需引入新的狀態(tài)變量。

把式(12)所示的LCC-S型WPT系統(tǒng)在開環(huán)控制模式下的模型和式(20)所示的控制系統(tǒng)模型集成到一個狀態(tài)空間方程中,就可得到LCC-S型WPT系統(tǒng)在閉環(huán)控制模式下的模型,其表達(dá)式如式(21)所示。

3.2 穩(wěn)定性分析

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理,可利用雅可比(Jacobian)矩陣在不動點處的特征根對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。如果所有特征根都位于復(fù)平面的單位圓內(nèi),則表明該不動點是穩(wěn)定的,即系統(tǒng)工作在穩(wěn)定狀態(tài);如果特征根隨參數(shù)變化超出單位圓,則表明系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)。

利用下式建立閉環(huán)控制模式下的LCC-S型WPT系統(tǒng)離散時間迭代模型:

(21)

通過對其中的變量ip(n),i1(n),i2(n),up(n),u1(n),u2(n),uf(n),xd1(n),xd2(n),xd3(n),xd4(n),xd5(n),φn求偏導(dǎo),得到系統(tǒng)的Jacobian矩陣為

(22)

通過式(22)可以得到雅可比矩陣J在不動點處的特征方程為

det(λI-J)=0。

(23)

由此得到一系列特征根,從而利用這些特征根對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

3.2.1 控制器參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

首先,選取控制器比例系數(shù)kp來研究控制器參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,系統(tǒng)電路參數(shù)同表1所示。

表1 LCC-S型WPT系統(tǒng)電路參數(shù)

保持積分系數(shù)ki=10,延時時間td=0,此時控制器比例系數(shù)kp由0.1增大至0.2,步長0.01,雅可比矩陣特征根隨著kp的增大而變化,其變化趨勢如圖5所示。觀察這些特征根的運(yùn)動軌跡,可以發(fā)現(xiàn),兩對共軛特征根隨kp的增大出現(xiàn)明顯變化。其中一對共軛特征根隨kp的增大逐漸由圓內(nèi)向超出單位圓的方向運(yùn)動,當(dāng)kp等于0.13時,該對共軛特征根(0.97±0.257 7i)超出單位圓,此時系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)。該對特征根對應(yīng)的振蕩周期為1.21 ms。

圖5 比例系數(shù)kp變化時系統(tǒng)特征根軌跡(ki=10)

為了進(jìn)一步說明控制器參數(shù)的選擇會對系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生影響,繼續(xù)選取比例系數(shù)kp來探究控制器參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。保持積分系數(shù)ki=100,延時時間td=0,此時控制器比例系數(shù)kp由0.08增大至0.15,步長為0.01,雅可比矩陣特征根隨著kp的增大而變化的趨勢如圖6所示。

圖6 比例系數(shù)kp變化時系統(tǒng)特征根軌跡(ki=100)

同樣可以發(fā)現(xiàn),兩對共軛特征根隨kp的增大出現(xiàn)明顯變化。其中一對共軛特征根隨kp的增大逐漸由圓內(nèi)向超出單位圓的方向運(yùn)動,當(dāng)kp等于0.1時,該對共軛特征根超出單位圓,此時系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)kp等于0.11時,此時超出單位圓的共軛特征根(0.975±0.242i)對應(yīng)的振蕩周期為1.29 ms。

綜上所述,得出如下結(jié)論:

1)積分系數(shù)ki不變時,隨著比例系數(shù)kp的增大,系統(tǒng)由穩(wěn)態(tài)狀態(tài)過渡到不穩(wěn)定的低頻振蕩狀態(tài);

2)積分系數(shù)ki越大,使系統(tǒng)維持穩(wěn)定狀態(tài)的比例系數(shù)kp的穩(wěn)定范圍越小。

3.2.2 延時時間對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

為了驗證延時時間對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,在DSP里人為設(shè)置延時時間td,保持kp=0.11,ki=10,此時td由0增大至200 μs,步長50 μs,雅可比矩陣特征根隨著td的增大而變化的趨勢如圖7所示,可以發(fā)現(xiàn),3對共軛特征根隨td的增大出現(xiàn)明顯變化。其中的一對共軛特征根隨td的增大逐漸由圓內(nèi)向超出單位圓的方向運(yùn)動,當(dāng)td等于50 μs時,該對共軛特征根(0.977±0.236i)超出單位圓,此時系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)。該對特征根對應(yīng)的振蕩周期為1.327 ms。由此可知,延時時間td的增大會減小系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

圖7 延時時間td變化時系統(tǒng)特征根軌跡(ki=10)

3.2.3 主電路參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

實際應(yīng)用中,WPT系統(tǒng)一般處于一個穩(wěn)定的周期工作狀態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定振蕩現(xiàn)象時,其輸出電壓和電感電流的幅值將會增大,進(jìn)而給開關(guān)器件帶來壓力。因此,為避免系統(tǒng)出現(xiàn)運(yùn)行不穩(wěn)定現(xiàn)象,有必要得到系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界圖作為實際應(yīng)用中的設(shè)計參考。

WPT系統(tǒng)在運(yùn)行過程中,互感M和負(fù)載電阻RL很容易發(fā)生變化,因此需要分析互感M和負(fù)載電阻RL對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律,而控制器參數(shù)kp的臨界穩(wěn)定值和互感M和負(fù)載電阻RL相關(guān)。為了分析互感M和負(fù)載電阻RL對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,繪制了關(guān)于kp、M和RL穩(wěn)定邊界三維圖,如圖8所示。為了更加清晰地觀察互感M、負(fù)載電阻RL的取值對kp的臨界穩(wěn)定值的影響,當(dāng)ki=10、M=31.05 μH、td=0時,繪制關(guān)于kp和RL的二維穩(wěn)定邊界圖如圖9(a)所示。當(dāng)ki=10,RL=10 Ω,td=0時,繪制關(guān)于kp和M的二維穩(wěn)定邊界圖如圖9(b)所示。

圖8 穩(wěn)定邊界三維圖

圖9 穩(wěn)定邊界二維圖

觀察圖9(a),當(dāng)RL較小時,比例系數(shù)kp的穩(wěn)定范圍較大,這個現(xiàn)象說明在實際應(yīng)用中輕載系統(tǒng)容易失穩(wěn)。

觀察圖9(b),當(dāng)M較大時,比例系數(shù)kp的穩(wěn)定范圍較小,適當(dāng)?shù)臏p小互感M可有效增大比例系數(shù)kp的穩(wěn)定范圍。

4 仿真和實驗驗證

為了驗證離散時間迭代模型的有效性以及穩(wěn)定性分析的正確性,根據(jù)表1中LCC-S型WPT系統(tǒng)電路參數(shù),使用MATLAB/Simulink搭建系統(tǒng)的時域仿真模型,同時搭建了LCC-S型WPT系統(tǒng)的實驗樣機(jī),如圖10所示。實驗樣機(jī)的組成包括直流電源、全橋逆變器、LCC-S諧振補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)、全橋整流器和電子負(fù)載。補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)中耦合機(jī)構(gòu)原副邊線圈呈平面螺旋形,線圈內(nèi)徑12.5 cm,外徑47.4 cm, 圈數(shù)19,導(dǎo)線截面積9.56 mm2,氣隙11.3 cm。實驗樣機(jī)的元件參數(shù)是使用阻抗分析儀在系統(tǒng)工作頻率下多次實際測量取平均值得到的。

圖10 LCC-S型WPT系統(tǒng)實驗樣機(jī)

4.1 穩(wěn)態(tài)模型驗證

為了驗證本文建立的離散時間迭代模型的正確性,對比離散時間迭代模型與非線性時域仿真模型的結(jié)果,其中非線性時域仿真模型在MATLAB/Simulink中實現(xiàn),離散時間迭代模型使用MATLAB中的m文件來執(zhí)行。當(dāng)移相角φ=0.8π,負(fù)載電阻RL=10 Ω,系統(tǒng)的離散時間迭代模型與時域仿真模型對比如圖11所示?？梢园l(fā)現(xiàn),離散迭代模型的6個狀態(tài)區(qū)間的劃分與理論分析一致,并且離散時間迭代模型與時域仿真模型結(jié)果吻合。

圖11 離散時間迭代模型與時域仿真模型對比

4.2 大信號模型驗證

系統(tǒng)大信號模型可以反映系統(tǒng)的動態(tài)特性,因此利用第2節(jié)中得出的離散時間迭代大信號模型對LCC-S型WPT系統(tǒng)中電流和電壓的動態(tài)變化過程進(jìn)行預(yù)測。為了驗證所建立模型的準(zhǔn)確性,當(dāng)WPT系統(tǒng)運(yùn)行在開環(huán)控制模式的某一穩(wěn)態(tài)工作點處時對系統(tǒng)變量進(jìn)行階躍。

在負(fù)載電阻RL=10 Ω時,離散時間迭代模型與時域仿真模型在t=0.05 s處進(jìn)行移相角階躍,移相角從0.5π增大到π。圖12所示為移相角階躍變化時離散時間迭代模型中電感電流i1、輸出電壓Uo的預(yù)測值(包絡(luò))和非線性時域仿真波形的對比,圖13所示為實驗結(jié)果。結(jié)果表明,離散時間迭代模型可以準(zhǔn)確描述系統(tǒng)波形的變化過程,很好地反映移相角階躍變化時系統(tǒng)的動態(tài)特性。

圖12 移相角階躍變化時離散時間迭代模型與時域仿真模型對比

圖13 移相角階躍變化時實驗波形

在移相角φ=0.8π時,離散時間迭代模型與時域仿真模型在t=0.05 s處進(jìn)行負(fù)載電阻階躍,負(fù)載電阻從10 Ω增大到20 Ω。圖14所示為負(fù)載電阻階躍變化時離散時間迭代模型中電感電流i1、輸出電壓Uo的預(yù)測值(包絡(luò))和仿真波形的對比,實驗結(jié)果如圖15所示。結(jié)果表明,離散時間迭代模型在穩(wěn)態(tài)以及瞬態(tài)條件下都可以很好地預(yù)測系統(tǒng)的實際波形,且與實驗結(jié)果一致。

圖14 負(fù)載電阻階躍變化時離散時間迭代模型與時域仿真模型對比

圖15 負(fù)載電阻階躍變化時實驗波形

4.3 穩(wěn)定性驗證

為驗證第3節(jié)中理論分析的正確性,將理論分析結(jié)果、MATLAB/Simulink仿真結(jié)果和實驗結(jié)果進(jìn)行對比分析,以探究系統(tǒng)的不穩(wěn)定現(xiàn)象。

4.3.1 控制器參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

為了說明控制器參數(shù)對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有影響,在其他參數(shù)不變的情況下,取ki=10,M=30.15 μH,在其他參數(shù)不變的情況下,取ki=10,M=30.15 μH,RL=10 Ω,td=0,時域仿真模型在t=0.3 s處對kp進(jìn)行階躍,當(dāng)kp由0.11階躍至0.13時,非線性時域仿真模型中ip和Uo的波形如圖16所示。實驗過程中,當(dāng)階躍標(biāo)志由低電平變?yōu)楦唠娖綍r,kp由0.11階躍至0.13,實驗結(jié)果如圖17所示。由圖16和圖17可以看出,當(dāng)kp由0.11階躍至0.13時,系統(tǒng)出現(xiàn)低頻振蕩現(xiàn)象,表明系統(tǒng)不穩(wěn)定。非線性時域仿真模型出現(xiàn)的振蕩周期為1.25 ms,實驗出現(xiàn)的振蕩周期為1.3 ms,仿真結(jié)果和實驗結(jié)果與第3節(jié)理論分析結(jié)果一致。

圖16 比例系數(shù)kp階躍變化時仿真波形(ki =10)

圖17 比例系數(shù)kp階躍變化時實驗波形(ki=10)

同理,在其他參數(shù)不變的情況下,取ki=100,M=30.15 μH,RL=10 Ω,td=0,時域仿真模型在t=0.3 s處對kp進(jìn)行階躍,當(dāng)kp由0.09階躍至0.11時,非線性時域仿真模型中ip和Uo的波形如圖18所示。實驗過程中,當(dāng)階躍標(biāo)志由低電平變?yōu)楦唠娖綍r,kp由0.09階躍至0.11,實驗結(jié)果如圖19所示。由圖18和圖19可以看出,當(dāng)kp=0.09時,系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)k=0.11時,系統(tǒng)出現(xiàn)低頻振蕩現(xiàn)象,表明系統(tǒng)不穩(wěn)定。時域仿真模型的振蕩周期分別為1.35 ms,實驗測量的振蕩周期為1.4 ms,仿真結(jié)果和實驗結(jié)果與第3節(jié)理論分析結(jié)果吻合。

圖18 比例系數(shù)kp階躍變化時仿真波形(ki=100)

圖19 比例系數(shù)kp階躍變化時實驗波形(ki=100)

4.3.2 延時時間對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

為了說明延時時間對系統(tǒng)的穩(wěn)定性有影響,在其他參數(shù)不變的情況下,取kp=0.11,ki=10,M=30.15 μH,RL=10 Ω,時域仿真模型在0.3 s處對td進(jìn)行階躍,當(dāng)td由0階躍至50 μs時,時域仿真模型中ip和Uo的波形如圖20所示。實驗過程中,當(dāng)階躍標(biāo)志由低電平變?yōu)楦唠娖綍r,td由0階躍至50 μs,實驗結(jié)果如圖21所示。由圖20和圖21可以看出,當(dāng)td=0時,系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)td=50 μs時,系統(tǒng)出現(xiàn)低頻振蕩現(xiàn)象,表明系統(tǒng)不穩(wěn)定。時域仿真模型的振蕩周期為1.36 ms,實驗測量的振蕩周期為1.4 ms,仿真結(jié)果和實驗結(jié)果與第3節(jié)理論分析結(jié)果吻合。

圖20 延時時間td階躍變化時實驗波形(ki=10)

圖21 延時時間td階躍變化時實驗波形(ki=10)

4.3.3 主電路參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

為了說明負(fù)載電阻RL對系統(tǒng)穩(wěn)定性有影響,在其他參數(shù)不變的情況下,取ki=10,kp=0.13,M=30.15 μH,td=0,當(dāng)RL由10 Ω階躍至7 Ω時,實驗結(jié)果如圖22(a)所示?？梢钥闯?當(dāng)RL=10 Ω時,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)RL=7 Ω時,系統(tǒng)是穩(wěn)定的,實驗結(jié)果與第3節(jié)理論分析結(jié)果吻合。進(jìn)一步,為了說明互感M對系統(tǒng)穩(wěn)定性有影響,在其他參數(shù)不變的情況下,取ki=10,kp=0.13,RL=10 Ω,td=0,M由30.15 μH階躍至27.71 μH,實驗結(jié)果如圖22(b)所示?？梢钥闯?當(dāng)M=30.15 μH時,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)M=27.71 μH時,系統(tǒng)是穩(wěn)定的,實驗結(jié)果與第3節(jié)理論分析結(jié)果吻合。

圖22 主電路參數(shù)階躍變化時實驗波形(ki=10)

綜上所述,本節(jié)仿真波形與實驗波形驗證了第3節(jié)中離散時間迭代模型預(yù)測的穩(wěn)定域,同時清楚地描繪了系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定時的現(xiàn)象。當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行在不穩(wěn)定狀態(tài)時,電感電流ip和輸出電壓Uo的峰值增大。當(dāng)系統(tǒng)電流和電壓出現(xiàn)明顯的振蕩現(xiàn)象時會增加器件的應(yīng)力,縮短系統(tǒng)的使用壽命。

4.3.4 模型對比

為了對比離散時間迭代模型、EDF模型和GSSA模型在預(yù)測臨界穩(wěn)定值方面的準(zhǔn)確性。選取控制器比例系數(shù)kp來觀察3種模型預(yù)測的臨界穩(wěn)定值,系統(tǒng)電路參數(shù)同表1所示。保持ki=10,M=30.15 μH,RL=10 Ω,td=0,此時控制器比例系數(shù)kp由0.1增大至0.2,步長0.01,3種模型的特征根隨著kp的增大而變化的趨勢如圖23所示。當(dāng)特征值隨著kp的增大逐漸由圓內(nèi)向超出單位圓的方向運(yùn)動并超出單位圓時,系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)。由圖23可知,EDF模型、GSSA模型和離散時間迭代模型中kp的臨界穩(wěn)定預(yù)測值分別為0.13、0.12和0.13。

圖23 比例系數(shù)kp變化時系統(tǒng)特征值軌跡(ki=10)

為了更精確地觀察3種模型中比例系數(shù)kp的臨界穩(wěn)定預(yù)測值,保持ki=10,M=30.15 μH,RL=10 Ω,td=0,此時控制器比例系數(shù)kp由0.115增大至0.13,步長0.001,3種模型的特征根隨著kp的增大而變化的軌跡放大圖如圖24所示。EDF模型、GSSA模型和離散時間迭代模型中kp的臨界穩(wěn)定預(yù)測值分別為0.124、0.12和0.122。選取kp=0.12和kp=0.123分別進(jìn)行實驗驗證,系統(tǒng)運(yùn)行在ki=10,M=30.15 μH,RL=10 Ω,td=0的工況下,實驗結(jié)果如圖25所示?？梢钥吹?在預(yù)測臨界穩(wěn)定值方面,GSSA模型的精確度較低,而離散時間迭代模型的精確度最高。這是由于EDF模型和GSSA模型在建模過程中只保留了狀態(tài)變量的直流量和基波分量,而該簡化處理的過程帶來了較大的誤差,在諧波失真較大情況下尤為明顯。本文建立的以開關(guān)周期為采樣間隔的離散時間迭代模型,將WPT系統(tǒng)的狀態(tài)變量從一個采樣時刻映射到下一個采樣時刻。由于該模型保留了系統(tǒng)低頻次與開關(guān)頻次所有的信息,所以具有更高的精確度。

圖24 比例系數(shù)kp變化時系統(tǒng)特征根軌跡放大圖 (ki=10)

圖25 取不同kp值的實驗波形圖(ki=10)

5 結(jié) 論

本文描述了LCC-S型WPT系統(tǒng)的工作原理,根據(jù)逆變器和整流器的工作狀態(tài)將LCC-S型WPT系統(tǒng)在一個開關(guān)周期內(nèi)進(jìn)行區(qū)間劃分。LCC-S型WPT系統(tǒng)在一個開關(guān)周期內(nèi)被分為6個狀態(tài)區(qū)間,系統(tǒng)在每個狀態(tài)區(qū)間都工作在線性狀態(tài),可列寫出系統(tǒng)在每個狀態(tài)區(qū)間的狀態(tài)空間方程,利用時間迭代的思想得到系統(tǒng)在一個開關(guān)周期的離散時間迭代模型。利用Pade近似將硬件延時納入數(shù)字控制系統(tǒng),同時在建立數(shù)字控制系統(tǒng)模型的過程中考慮了控制器引入的延時,構(gòu)建了閉環(huán)控制模式下LCC-S型WPT系統(tǒng)的離散時間迭代模型。通過該模型的雅可比矩陣在不動點處的特征根,分析了控制器參數(shù)、延時時間和主電路參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。分析結(jié)果表明:

1)當(dāng)積分系數(shù)ki不變時,隨著比例系數(shù)kp的增加,系統(tǒng)由穩(wěn)態(tài)狀態(tài)過渡到不穩(wěn)定的低頻振蕩狀態(tài)。

2)當(dāng)比例系數(shù)kp不變時,隨著積分系數(shù)ki的增加,系統(tǒng)由穩(wěn)態(tài)狀態(tài)過渡到不穩(wěn)定的低頻振蕩狀態(tài);同時,積分系數(shù)ki越大,使系統(tǒng)維持穩(wěn)定狀態(tài)的比例系數(shù)kp的穩(wěn)定范圍越小。

3)延時時間的增加也減小了系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍。

4)當(dāng)控制器參數(shù)相同時,增大負(fù)載電阻RL或者增大互感M都會使系統(tǒng)穩(wěn)定裕度減小,甚至使系統(tǒng)失穩(wěn)。

最后通過仿真和實驗驗證,證明本文理論分析的正確性。