趙 曼,陳士通,孫志星,許宏偉,黃曉明

(1.石家莊鐵道大學(xué) 土木工程學(xué)院,石家莊 050043;2.石家莊鐵道大學(xué) 省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,石家莊 050043;3.石家莊鐵道大學(xué) 大型基礎(chǔ)設(shè)施性能與安全省部共建協(xié)同創(chuàng)新中心,石家莊 050043;4.石家莊鐵道大學(xué) 河北省交通應(yīng)急保障工程技術(shù)研究中心,石家莊 050043;5.東南大學(xué) 交通學(xué)院,南京 210096)

半穿式鋼桁梁具有構(gòu)造簡單、拼組快速等特點(diǎn),使其在橋梁應(yīng)急搶修時(shí)成為應(yīng)用較為廣泛的橋型之一。但由于半穿式鋼桁梁兩側(cè)上弦桿之間沒有橫向聯(lián)結(jié)系,使用不當(dāng)可能引發(fā)安全事故。19世紀(jì)末,半穿式鋼桁梁破壞事故相繼發(fā)生[1],為此,國內(nèi)外學(xué)者針對半穿式鋼桁梁面外屈曲問題陸續(xù)開展相關(guān)研究。Ziemian[2]進(jìn)行了彈性支撐兩端鉸接壓桿試驗(yàn),給出了屈曲荷載計(jì)算的力學(xué)模型和計(jì)算公式;Hu[3]推導(dǎo)了半穿式梁上弦桿的屈曲臨界力,結(jié)果表明能量法在此類復(fù)雜邊界條件桿件的屈曲計(jì)算中應(yīng)用良好;Timoshenko[4]在應(yīng)用能量法求解屈曲臨界力的同時(shí),給出了上弦桿的屈曲半波數(shù)。Csagoly等[5-6]通過有限元方法證明了上弦桿軸力分布對屈曲臨界力有影響;Iwicki[7]在研究中發(fā)現(xiàn)彈性支撐的分布對屈曲臨界力有一定影響,但當(dāng)彈性支撐數(shù)量較多時(shí),其影響幾乎可以忽略。段明德等[8]研究發(fā)現(xiàn)TBJ 2—1985 《鐵路橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》中上弦桿臨界力按桿件等軸力計(jì)算過于保守,應(yīng)按拋物線分布進(jìn)行計(jì)算;程高等[9-10]基于上弦桿等軸力條件,采用能量法推導(dǎo)了上弦桿面外屈曲荷載的解析表達(dá)式,給出了不同節(jié)間數(shù)時(shí)屈曲荷載的簡化計(jì)算公式;孫綱廷等[11-12]將半穿式梁上弦桿簡化為橫向彈性約束的壓桿,建立了等軸力條件下的穩(wěn)定方程,并通過函數(shù)逼近,給出了簡便實(shí)用的屈曲計(jì)算公式;溫慶杰等[13-15]以階梯形軸力分布和彈性支撐均布為前提,基于能量法推導(dǎo)了面外屈曲臨界力的理論解。另外,JTS 152—2012《水運(yùn)工程鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[16]、JTJ 283—99《港口工程鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[17]和TB 10091—2017《鐵路橋梁鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[18]給出了基本相同的屈曲荷載計(jì)算方法,通過查表確定桿件計(jì)算長度系數(shù),再考慮桿件穩(wěn)定折減系數(shù)可確定屈曲荷載。

綜上可知,當(dāng)前關(guān)于半穿式鋼桁梁上弦桿面外屈曲的相關(guān)研究存在下述問題:①以彈性支撐連續(xù)梁為基本模型、采用能量法推導(dǎo)屈曲臨界力為主要方法,但其推導(dǎo)過程中的假設(shè)與實(shí)際結(jié)構(gòu)存在較大差別,如將上弦桿軸力簡化為等軸力,致使結(jié)果偏于保守;②分析時(shí)多將上弦桿按一定間距布置的側(cè)向支撐簡化為均布形式,與實(shí)際結(jié)構(gòu)不符,且節(jié)間較少時(shí),計(jì)算結(jié)果偏大;③推導(dǎo)過程中的撓曲線方程采用多項(xiàng)三角級數(shù),項(xiàng)數(shù)越多,屈曲臨界力表達(dá)形式和計(jì)算過程越繁復(fù),且包含多個(gè)不易確定的參數(shù),不利于在實(shí)際工程中推廣應(yīng)用。鑒于當(dāng)前半穿式鋼桁梁上弦桿面外屈曲研究多限于上弦桿等軸力分布、均布彈性支撐條件、撓曲線方程復(fù)雜、計(jì)算方法實(shí)用性較差等問題,本文基于半穿式鋼桁梁屈曲模態(tài)特征,對撓曲線方程進(jìn)行適當(dāng)簡化,同時(shí)考慮不同的軸力分布和彈性支撐分布形式,建立4種平面計(jì)算模型,采用能量法分別推導(dǎo)4種模型的屈曲臨界力解析解,并與整體模型開展對比分析,探究4種模型各自特點(diǎn)及適用性,旨在探尋一種合理且簡單實(shí)用的屈曲臨界力計(jì)算方法,便于工程推廣應(yīng)用。

1 基本模型

半穿式鋼桁梁失穩(wěn)模式通常表現(xiàn)為面外屈曲,根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和屈曲模態(tài),可將空間穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為平面問題,如圖1所示為半穿式梁簡化后的平面計(jì)算模型,將上弦桿視為兩端鉸接、中間設(shè)有若干彈性支撐的連續(xù)梁,圖1中L為上弦桿總長度,d為節(jié)間長度,N為節(jié)間數(shù),k為上弦桿側(cè)向彈性支撐的剛度系數(shù),x為半穿式梁跨長方向,y為半穿式梁上弦桿平面外屈曲方向,O為坐標(biāo)原點(diǎn),位于上弦桿左端。

圖1 半穿式鋼桁梁簡化計(jì)算模型Fig.1 Simplified calculation model for semi-through steel truss girder

為方便計(jì)算,半穿式鋼桁梁上弦桿平面計(jì)算模型考慮以下基本假定:①上弦桿各桿件沿跨長為等截面;②上弦桿各節(jié)間距均相等;③側(cè)向彈性支撐的剛度均相同;④由于端腹桿和端支座對上弦桿橫向位移的約束作用明顯強(qiáng)于中間區(qū)域,故將上弦桿端部視為鉸接。

結(jié)構(gòu)屈曲失穩(wěn)時(shí)的撓曲線方程常采用若干項(xiàng)三角級數(shù)作為形函數(shù),但這種表達(dá)形式過于復(fù)雜,不利于工程應(yīng)用。本文根據(jù)不同跨徑、不同荷載作用下半穿式梁的屈曲模態(tài)特點(diǎn),將撓曲線方程簡化為1項(xiàng)或2項(xiàng)三角級數(shù)。根據(jù)桿件軸力、側(cè)向支撐以及撓曲線的不同形式將平面計(jì)算模型分為4種,如表1所示。

表1 不同平面模型的基本假定Tab.1 Fundamental assumptions of different plane model

1.1 平面模型Ⅰ

本模型除滿足以上基本假定外,還需滿足以下假定:①各桿件軸力均相等,且均以桿件軸力最大值計(jì)算;②側(cè)向彈性支撐視為均勻分布的連續(xù)彈性約束;③由于結(jié)構(gòu)和荷載基本對稱,則屈曲模態(tài)也為對稱形式,或正對稱或反對稱,且屈曲變形為多個(gè)半波時(shí),其最大值相等。

此處,模型Ⅰ雖然采用了與文獻(xiàn)相同的等軸力假定,但由于既有文獻(xiàn)[11-13]中撓曲線表達(dá)式較為復(fù)雜,本文對撓曲線方程適當(dāng)簡化,如式(1)所示,以便于屈曲臨界力的計(jì)算更加便捷和實(shí)用。

(1)

式中:n為屈曲模態(tài)的半波數(shù),模態(tài)正對稱時(shí),n為奇數(shù),反對稱時(shí),n為偶數(shù);a為屈曲變形的最大值。

由式(1)求導(dǎo)得:

(2)

上弦桿屈曲時(shí)的彎曲應(yīng)變能Ub為:

化簡得:

(3)

由于側(cè)向彈性支撐等效為均布連續(xù)彈性約束,且節(jié)間距相等,則均布彈性支撐剛度為k/d,側(cè)向支撐應(yīng)變能Uk為

化簡得

(4)

外荷載P所作的功W為

化簡得

(5)

根據(jù)能量法,上弦桿總能量U為

(6)

根據(jù)能量原理,當(dāng)結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定的臨界狀態(tài)時(shí),應(yīng)滿足

(7)

將式(6)代入式(7)即得

(8)

解方程式(8),可得弦桿等軸力、彈性支撐連續(xù)均布條件下,面外屈曲臨界力Pcr的計(jì)算公式為

(9)

模型Ⅰ計(jì)算理論簡單,但是側(cè)向彈性支撐等效為均布連續(xù)支撐,與實(shí)際結(jié)構(gòu)相差較大,尤其是節(jié)間和側(cè)向支撐數(shù)量較少時(shí),容易造成較大誤差。

1.2 平面模型Ⅱ

1.2.1 屈曲臨界力

本模型中側(cè)向彈性支撐按節(jié)間距等距離散布置,共有(N-1)個(gè)側(cè)向彈性支撐,其應(yīng)變能Uk為

(10)

式中,xki和yki分別為第i個(gè)側(cè)向彈性支撐的位置坐標(biāo)和屈曲變形值。

式(10)化簡得

(11)

由于本模型中軸力分布形式依然為等軸力,故彎曲應(yīng)變能Ub、外荷載P作功W同模型Ⅰ,詳見式(3)和式(5),由此可得上弦桿總能量U為

(12)

根據(jù)能量原理,結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定臨界狀態(tài)時(shí)的平衡方程為

(13)

解方程式(13),可得弦桿等軸力、彈性支撐等間距離散布置時(shí),面外屈曲臨界力Pcr的計(jì)算公式為

(14)

1.2.2 臨界剛度kcr

由式(14)可知,半穿式梁臨界力取決于上弦桿抗彎剛度EI、節(jié)間距d、節(jié)間數(shù)N、側(cè)向支撐剛度k以及屈曲模態(tài)半波數(shù)n,其中半波數(shù)n的取值與結(jié)構(gòu)特性有關(guān)。當(dāng)半穿式梁基本結(jié)構(gòu)確定后,半波數(shù)n主要取決于側(cè)向支撐剛度k,當(dāng)剛度k增加到一定程度,半波數(shù)則會增加1個(gè),所以從理論上來分析,應(yīng)存在臨界剛度kcr[19],此時(shí)可能出現(xiàn)半波數(shù)為n或(n+1)的兩種屈曲模態(tài)。由于結(jié)構(gòu)基本參數(shù)相同,故在這兩種半波數(shù)不同的屈曲模態(tài)下,結(jié)構(gòu)屈曲臨界力理應(yīng)相同,由此即可求得臨界剛度kcr。

設(shè)半波數(shù)為n時(shí),屈曲臨界力為Pcr1,則:

(15)

半波數(shù)為(n+1)時(shí),屈曲臨界力為Pcr2,則:

(16)

根據(jù)相同參數(shù)下,結(jié)構(gòu)屈曲臨界力相同,可得:

(17)

由式(17)可求得兩個(gè)相鄰半波數(shù)n和(n+1)之間的臨界剛度kcr,為便于區(qū)分不同相鄰半波的臨界剛度,在此將其記為kcr,n,n+1

(18)

由式(18)可確定不同相鄰半波數(shù)的臨界剛度。在確定半穿式梁屈曲臨界力時(shí),應(yīng)首先根據(jù)實(shí)際側(cè)向支撐剛度k,初判屈曲模態(tài)的半波數(shù)n,再按計(jì)算公式求解屈曲臨界力Pcr。

另外,模型Ⅰ也可基于同樣原理推導(dǎo)臨界剛度,但由于模型Ⅰ假定側(cè)向支撐連續(xù)分布,與實(shí)際結(jié)構(gòu)有一定差別,在此不再進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo),只給出臨界剛度最終的計(jì)算公式。

(19)

1.3 平面模型Ⅲ

模型Ⅰ、Ⅱ均假定桿件軸力為等軸力分布,與實(shí)際結(jié)構(gòu)相差較大。半穿式梁桿件軸力實(shí)際上呈階梯狀分布,在此設(shè)上弦桿桿件軸力最大值為P,同時(shí)引入軸力系數(shù)αi表示各桿件軸力Pi與最大軸力P之比,則有

Pi=αiP

桿件軸力不等情況下,結(jié)構(gòu)屈曲模態(tài)也將發(fā)生變化,與等軸力時(shí)撓曲線有一定差異,但當(dāng)假定的撓曲線與實(shí)際撓曲線半波數(shù)一致時(shí),其計(jì)算結(jié)果誤差較小,故為簡化計(jì)算,依然可假定變形曲線為

由于變形曲線沒有變化,故彎曲應(yīng)變能Ub和離散彈性支撐應(yīng)變能Uk的表達(dá)式與模型Ⅱ完全相同,詳見式(3)和式(10)。

因桿件軸力實(shí)際為階梯狀變化,故外力做功需重新計(jì)算,各桿件軸力Pi做功總和W為

化簡得

(20)

將Ub、Uk和W代入能量表達(dá)式,并化簡得

(21)

根據(jù)能量原理,可得結(jié)構(gòu)穩(wěn)定平衡方程為

(22)

化簡并求解式(22),可得弦桿軸力不同、側(cè)向支撐等間距離散布置時(shí),屈曲臨界力Pcr為

或表示為

(23)

式(23)即為變軸力情況下的屈曲臨界力計(jì)算公式。當(dāng)弦桿軸力相同時(shí),Pi=P,此時(shí)各桿件軸力系數(shù)αi均為1,則有:

(24)

將式(24)代入式(23),可得:

(25)

比較式(25)和式(14)可知,兩者完全相同,故等軸力模型Ⅱ可視為變軸力模型Ⅲ的一種特殊情況。由式(23)和式(25)可得變軸力屈曲荷載Pcr變和等軸力屈曲荷載Pcr等之間的關(guān)系式

(26)

在此引入軸力不等放大系數(shù)η,并令:

(27)

則式(26)可表示為

Pcr變=ηPcr等

(28)

各桿件軸力系數(shù)比αi可通過靜力分析得到,代入式(27)即可求得軸力不等放大系數(shù)η,Pcr等可按等軸力情況計(jì)算,最后通過式(28)計(jì)算變軸力情況下的屈曲臨界力Pcr變。

另外,根據(jù)結(jié)構(gòu)實(shí)際側(cè)向剛度為臨界剛度時(shí),兩種半波數(shù)不同的屈曲模態(tài)下屈曲臨界力相同,可推導(dǎo)出模型Ⅲ的臨界剛度kcr,其最終表達(dá)式與模型Ⅱ的式(18)完全相同,故可根據(jù)式(18)確定模型Ⅲ的半波數(shù)n。

1.4 平面模型Ⅳ

模型Ⅲ撓曲線方程設(shè)為一項(xiàng)三角級數(shù),與變軸力情況下結(jié)構(gòu)失穩(wěn)曲線有一定偏差,為獲得更準(zhǔn)確的結(jié)果,可將撓曲線方程設(shè)為

則:

(29)

上弦桿彎曲應(yīng)變能Ub為

化簡得

(30)

側(cè)向彈性支撐應(yīng)變能Uk為

化簡得

(31)

各桿件軸力Pi做功總和W為

化簡得

(32)

其中,

(33)

上弦桿總能量U為

U=Ub+Uk-W

(34)

根據(jù)能量原理,當(dāng)結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定的臨界狀態(tài)時(shí),應(yīng)有

即:

化簡得:

(35)

式(35)為一元二次方程,其較小解即為屈曲臨界力,鑒于屈曲臨界力與半波數(shù)取值有關(guān),故欲求屈曲荷載,需首先確定半波數(shù)n和m取值。由于模型Ⅳ屈曲荷載計(jì)算過程繁復(fù),不宜進(jìn)行臨界剛度的推導(dǎo)和計(jì)算,建議參考模型Ⅱ中式(18)計(jì)算臨界剛度,并估算半波數(shù)n。當(dāng)實(shí)際剛度和臨界剛度相近時(shí),可適當(dāng)調(diào)整半波數(shù)以獲得更準(zhǔn)確的屈曲半波數(shù)。根據(jù)屈曲模態(tài)的對稱性和三角函數(shù)特點(diǎn),m可取為(n+2)或(n-2)。根據(jù)不同的n和m值,所求得的臨界力會有所不同,其最小者即為屈曲臨界力。

另可證明,若m取為0,則所得結(jié)果與模型Ⅲ相同,故模型Ⅲ可視為模型Ⅳ的特例。同時(shí)可通過對比模型Ⅲ、Ⅳ計(jì)算結(jié)果的差異,判斷所假定的撓曲方程是否合適,如果計(jì)算結(jié)果仍然不能滿足精度要求,可采用三項(xiàng)三角級數(shù)進(jìn)行求解,或參考相關(guān)文獻(xiàn)[13]進(jìn)行修正。

2 驗(yàn)證與分析

上述4種平面計(jì)算模型,由于結(jié)構(gòu)簡化程度和撓曲線方程不同,故計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確度也隨之不同,且都存在不同程度的誤差。下面以半穿式鐵路應(yīng)急鋼桁梁為例,采用不同模型計(jì)算上弦桿屈曲臨界力,并以整體模型計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn),通過對不同模型計(jì)算結(jié)果的對比分析,確定屈曲臨界力計(jì)算的優(yōu)選方法,以便在半穿式鐵路應(yīng)急鋼桁梁設(shè)計(jì)中推廣應(yīng)用。

2.1 工程概況

鐵路應(yīng)急鋼桁梁主桁采用無豎桿的三角形結(jié)構(gòu)體系,主桁桿件有標(biāo)準(zhǔn)桿件和畸零桿件兩種,可根據(jù)需要拼組不同跨徑鋼桁梁。中小跨徑鋼桁梁通常采用半穿式結(jié)構(gòu),主桁高h(yuǎn)為6 m,主桁寬B為6.5 m,標(biāo)準(zhǔn)節(jié)間距d為6 m,輔以4 m節(jié)間距進(jìn)行跨徑調(diào)整,可拼組24 m、32 m、40 m、48 m、56 m和64 m等不同標(biāo)準(zhǔn)跨徑的半穿式鐵路應(yīng)急鋼桁梁,主桁弦桿均采用相同尺寸的雙槽鋼截面。圖2為56 m跨鐵路應(yīng)急鋼桁梁結(jié)構(gòu)圖,其他跨徑半穿式梁的結(jié)構(gòu)形式與之相同。

(a) 正面

2.2 整體結(jié)構(gòu)的仿真分析

為全面考慮半穿式梁結(jié)構(gòu)的整體效應(yīng),本文借助于有限元軟件ANSYS建立不同跨徑半穿式梁的三維整體模型,通過線彈性穩(wěn)定分析[20],確定結(jié)構(gòu)的屈曲模態(tài)和失穩(wěn)荷載。圖3所示為應(yīng)急鋼桁梁設(shè)計(jì)活載,為便于統(tǒng)一荷載工況,整體結(jié)構(gòu)計(jì)算中僅考慮恒載和活載中隨掛均布荷載進(jìn)行組合,主桁、聯(lián)結(jié)系和橋面系各桿件均采用3維鐵摩辛柯梁單元beam189模擬[21],圖4所示為56 m半穿式應(yīng)急鋼桁梁的有限元模型。

圖3 半穿式應(yīng)急鋼桁梁設(shè)計(jì)活載Fig.3 Design live load of 56 m semi-through emergency steel truss girder

圖4 56 m半穿式應(yīng)急鋼桁梁有限元模型Fig.4 Finite element model of 56 m semi-through emergency steel truss girder

圖5為不同跨徑半穿式梁的屈曲模態(tài),由圖5可知,不同跨徑的半穿式梁,其失穩(wěn)模式也不同,其中24 m半穿式梁表現(xiàn)為局部失穩(wěn),端部腹桿和風(fēng)撐首先破壞,其他跨徑半穿式梁均表現(xiàn)為上弦桿的面外失穩(wěn),屈曲模態(tài)半波數(shù)隨跨徑增加由1逐漸增加到3,表明在側(cè)向支撐剛度相同條件下,屈曲半波數(shù)隨節(jié)間數(shù)增加而有所變化。

(a) 24 m

表2為不同跨徑半穿式梁屈曲分析的計(jì)算結(jié)果,表中屈曲臨界力為失穩(wěn)破壞時(shí),上弦桿軸力最大值。由表2可知,不同跨徑的線彈性穩(wěn)定系數(shù)差別較大,隨著跨徑增大,穩(wěn)定系數(shù)逐漸減小,但屈曲臨界力除24 m跨外其他跨徑差別不大,主要原因是荷載作用下,上弦桿跨中桿件受力最大,是半穿梁整體失穩(wěn)的控制桿件,由于不同跨徑弦桿截面尺寸和側(cè)向支撐剛度相同,故結(jié)構(gòu)處于失穩(wěn)臨界狀態(tài)時(shí),跨中桿件軸力均達(dá)到相同的臨界值。另外,24 m半穿式梁因端部桿件局部失穩(wěn)而破壞,原因是相比其他跨徑半穿式梁,24 m跨徑相對較小,故相同荷載引起的上弦桿軸力隨之減小,穩(wěn)定性相對提高。同時(shí)由于半穿式梁腹桿截面尺寸比弦桿尺寸小,因此腹桿通常先于弦桿而破壞,但由于穩(wěn)定系數(shù)接近50,遠(yuǎn)高于結(jié)構(gòu)作用荷載,故實(shí)際工程中,24 m跨徑半穿式梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性有足夠高的安全保障,局部失穩(wěn)不會發(fā)生。

表2 不同跨徑半穿式梁整體模型計(jì)算結(jié)果Tab.2 Calculation result of semi-through girder with different span

圖6為不同跨徑半穿式梁上弦桿軸力系數(shù)分布圖,由圖6可知,不同跨徑的軸力分布形式大致相同,均呈拋物線規(guī)律變化,跨中桿件軸力最大,向兩端逐漸減小。但是跨徑越大,軸力分布越不均勻,鋼桁梁設(shè)計(jì)時(shí)中可根據(jù)軸力分布規(guī)律選擇不同的截面尺寸。

圖6 不同跨徑半穿式梁上弦桿軸力系數(shù)分布圖Fig.6 Axial force coefficient of upper chord of semi-through girder with different span

2.3 基于平面模型的理論計(jì)算

2.3.1 計(jì)算側(cè)向支撐剛度k

平面模型中側(cè)向支撐剛度k由半框架提供,不同跨徑鐵路應(yīng)急鋼桁梁采用相同的半框架結(jié)構(gòu),同時(shí)為增強(qiáng)半穿式梁橫向穩(wěn)定性,在腹桿和橫梁間加裝了風(fēng)撐,如圖7所示。由于風(fēng)撐對半框架受力影響顯著,故在半框架受力分析中應(yīng)考慮風(fēng)撐的影響,可參考相關(guān)文獻(xiàn)[12]進(jìn)行計(jì)算。經(jīng)計(jì)算,本文所示半框架在1 N單位水平荷載作用下的側(cè)向位移為0.362×10-6m,上弦桿側(cè)向彈性支撐剛度k為2.759×106N/m。

圖7 半穿式鋼桁梁半框架圖示Fig.7 Semi-frame graphics of semi-through girder

2.3.2 計(jì)算半波數(shù)n

半穿式梁屈曲半波數(shù)的確定有2種方法:臨界剛度法和根據(jù)規(guī)范查表法,在此主要介紹臨界剛度法。首先,根據(jù)式(18)計(jì)算不同跨徑半穿式梁不同相鄰半波間的臨界剛度kcr,然后將實(shí)際支撐剛度k與臨界剛度kcr進(jìn)行比較,即可確定半穿式梁屈曲半波數(shù)n。

根據(jù)規(guī)范和工程經(jīng)驗(yàn)可知,半穿式鋼桁梁屈曲半波數(shù)一般在1～5,故只需計(jì)算1和2、2和3、3和4、4和5四種相鄰半波數(shù)的臨界剛度,計(jì)算結(jié)果如表3所示。由表3可知,同一跨徑的半穿式梁臨界剛度隨半波數(shù)增加而增加,不同跨徑半穿式梁臨界剛度隨跨徑逐漸減小。

表3 不同跨徑半穿式梁的臨界剛度與半波數(shù)Tab.3 Critical stiffness and half-wave of semi-through girder with different span

本文半框架提供的側(cè)向支撐剛度k為2.759×106N/m,與臨界剛度kcr進(jìn)行對比,即可確定不同跨徑半穿式梁的失穩(wěn)模態(tài)半波數(shù)n,如表3所示。由表3可知,平面模型半波數(shù)可能與整體模型分析半波數(shù)有差別,原因是平面模型以經(jīng)典歐拉梁理論為基礎(chǔ)[22-23],沒有考慮剪切對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響,在一定程度上高估了結(jié)構(gòu)的整體剛度,且平面模型是對整體結(jié)構(gòu)的簡化,很難全面考慮結(jié)構(gòu)的空間效應(yīng);整體模型中采用的是鐵摩辛柯梁理論,考慮了截面剪切、扭轉(zhuǎn)變形對穩(wěn)定性的影響,因此當(dāng)實(shí)際支撐剛度k與臨界剛度kcr相接近時(shí),平面模型半波數(shù)與整體模型會有所不同,且平面模型半波數(shù)較大。

2.3.3 計(jì)算屈曲臨界力Pcr

根據(jù)前面的側(cè)向支撐剛度k和屈曲半波數(shù)n,分別代入4種平面模型計(jì)算公式,即可求得不同跨徑半穿式梁的屈曲臨界力Pcr,如表4所示。

表4 不同模型屈曲臨界力計(jì)算結(jié)果比較Tab.4 Comparison of calculation results of different models

由表4可知,模型Ⅰ、Ⅱ計(jì)算結(jié)果基本相同,由于兩種模型均沒有考慮軸力不等的影響,認(rèn)為各桿件軸力與上弦桿最大軸力相同,故計(jì)算結(jié)果明顯低于整體模型,誤差為18%～24%,雖偏于安全,卻過于保守,不宜直接作為屈曲臨界力的計(jì)算方法;模型Ⅲ、Ⅳ計(jì)算結(jié)果相近,兩種模型均考慮了上弦桿軸力分布不均勻的影響,故計(jì)算結(jié)果與整體模型相差不大,最大誤差約7.81%,明顯低于等軸力模型,因此屈曲臨界力計(jì)算應(yīng)優(yōu)先考慮這兩種方法。另外模型Ⅰ、Ⅱ與模型Ⅲ、Ⅳ結(jié)果差異明顯,也表明了軸力分布形式對結(jié)構(gòu)屈曲臨界力影響很大,穩(wěn)定分析中應(yīng)考慮桿件軸力的實(shí)際分布特點(diǎn),不能簡單的按等軸力處理。

模型Ⅲ、Ⅳ計(jì)算結(jié)果雖然相近,但相比之下,模型Ⅳ誤差更小,最大誤差只有3%,與整體模型結(jié)果更接近,計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確,其原因在于兩種模型采用的撓曲線方程不同,模型Ⅲ采用1項(xiàng)三角級數(shù),模型Ⅳ采用2項(xiàng)三角級數(shù),模型Ⅳ與整體結(jié)構(gòu)屈曲變形曲線更接近,因此就準(zhǔn)確度而言,模型Ⅳ最優(yōu),不僅考慮了軸力不等、彈性支撐的離散性,且撓曲線方程與實(shí)際屈曲變形的吻合度更高,故計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確。不足之處是計(jì)算公式繁復(fù),在工程實(shí)用性方面略遜一籌。模型Ⅲ計(jì)算結(jié)果雖然相比模型Ⅳ誤差略大,但依然可滿足工程計(jì)算精度要求,也可作為屈曲臨界力計(jì)算的優(yōu)選方法。而且該法計(jì)算公式簡單,可通過對等軸力情況下臨界力Pcr等進(jìn)行修正得到準(zhǔn)確度較高的結(jié)果,因此綜合考慮計(jì)算準(zhǔn)確性和工程實(shí)用性,建議采用模型Ⅲ的計(jì)算公式作為半穿式梁屈曲臨界力的簡化計(jì)算方法。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的準(zhǔn)確性和實(shí)用性,本文采用文獻(xiàn)[13]的方法計(jì)算了不同跨徑半穿式梁的屈曲臨界力,見表4。通過計(jì)算結(jié)果的對比可知,模型Ⅲ與文獻(xiàn)算法的結(jié)果非常接近,最大誤差只有4.33%。鑒于兩種方法均考慮了軸力不等的影響,但文獻(xiàn)算法中由于變形曲線假設(shè)為多項(xiàng)三角級數(shù),使屈曲臨界力計(jì)算非常繁復(fù),實(shí)用性較差,相比之下本文模型Ⅲ的計(jì)算方法更簡潔。

另外,24 m半穿式梁理論計(jì)算結(jié)果有些異常,原因是整體模型中24 m半穿梁失穩(wěn)是由端部桿件破壞引起,而平面模型是按整體失穩(wěn)考慮的,因此整體模型和平面模型計(jì)算的前提條件不同,故計(jì)算結(jié)果差異很大,兩種結(jié)果的對比也沒有意義。除此之外,還注意到24 m跨的模型Ⅰ和模型Ⅱ計(jì)算結(jié)果差別很大,原因是24 m跨半穿式梁上弦桿只有3個(gè)節(jié)間,2個(gè)側(cè)向支撐,將離散的側(cè)向支撐等效為連續(xù)均布形式與實(shí)際結(jié)構(gòu)相差太大,因而計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確,建議中間支撐數(shù)<4,即節(jié)間數(shù)N<5時(shí),側(cè)向支撐按離散布置考慮。

綜上所述,不同跨徑半穿式梁不同算法的計(jì)算結(jié)果對比表明,基于變軸力條件的模型Ⅲ計(jì)算方法既準(zhǔn)確又實(shí)用。本文的簡化算法有助于工程設(shè)計(jì)人員快速而準(zhǔn)確地選取半穿式梁桿件截面,為后續(xù)數(shù)值模擬提供便捷,因此本文算法對半穿式應(yīng)急鋼桁梁的設(shè)計(jì)有重要意義。

3 結(jié) 論

本文將半穿式鋼桁梁上弦桿簡化為側(cè)向彈性支撐下的連續(xù)梁,采用能量法推導(dǎo)了4種不同平面計(jì)算模型的屈曲臨界力解析解,通過與不同跨徑半穿式鋼桁梁整體模型和文獻(xiàn)算法計(jì)算結(jié)果的對比,探討了各平面模型的優(yōu)缺點(diǎn)及其適用性,最后給出了便于工程應(yīng)用的優(yōu)選方法,主要結(jié)論如下:

(1) 建立了等軸力與不等軸力、均布連續(xù)與均布離散彈性支撐以及不同撓曲線方程下的穩(wěn)定方程,給出了不同情況下屈曲臨界力的解析解。

(2) 以等軸力、離散彈性支撐條件下的模型為基礎(chǔ),推導(dǎo)了相鄰半波數(shù)之間的臨界剛度計(jì)算公式,給出了屈曲半波數(shù)的確定方法。

(3) 建立了不同跨徑半穿式鋼桁梁的整體模型,分析了不同跨徑半穿式梁的線彈性穩(wěn)定系數(shù)、屈曲模態(tài)和失穩(wěn)軸力,結(jié)果表明:隨著跨徑增大,線彈性穩(wěn)定系數(shù)逐漸減小,屈曲模態(tài)半波數(shù)有所增加,但失穩(wěn)時(shí)上弦桿最大軸力基本保持不變。

(4) 相比整體模型和文獻(xiàn)算法,基于等軸力條件的模型Ⅰ、Ⅱ計(jì)算結(jié)果明顯偏小,過于保守,不宜直接采用;基于變軸力條件的模型Ⅲ、Ⅳ計(jì)算結(jié)果與整體模型相接近,計(jì)算精度均可滿足工程需要,但模型Ⅳ計(jì)算過程繁復(fù),而模型Ⅲ計(jì)算簡單,可通過對等軸力計(jì)算值的修正獲得準(zhǔn)確度較高的結(jié)果。綜合考慮準(zhǔn)確性和實(shí)用性,建議采用模型Ⅲ作為屈曲臨界力計(jì)算的首選方法。