江蘇省揚州中學 (225009) 王 晨

江蘇省揚州市教育科學研究院 (225007) 戚有建

一、問題提出

著名教育家陶行知先生曾說過:“所謂教師之主導作用,重在善于啟迪,使學生自奮其力,自致其知,非謂教師滔滔講說,學生默默聆聽.”其中深意就是“少教多學”的教學理念.“少教”即啟發(fā)性地教、針對性地教、創(chuàng)造性地教和發(fā)展性地教;“多學”指學生在教師地引導下走向深度學習、積極學習、獨立學習.因此教師要對教學課程有科學的設計,對教學進程有巧妙的干預和調適,才能達到少教多學的目的.本文以基本不等式第一課時為例,從“精教—少教—不教”三個階段逐層推進,展示基本不等式課堂教學中的“少教多學”.

二、教學案例

教材分析:本節(jié)課選自蘇教版(2019版)必修一第三章第二節(jié),主要內容是基本不等式的證明與應用.此前學生已學過不等式的六個基本性質,對比較法、分析法、綜合法會簡單的應用.

教學目標

(1)了解基本不等式包含的物理、代數(shù)、幾何知識及生活背景,掌握基本不等式的證明方法,學會運用基本不等式解決一些函數(shù)的最值問題.

(2)培養(yǎng)學生數(shù)形結合、轉化與化歸的數(shù)學思想,體會換元代換的數(shù)學方法,發(fā)展學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng).

教學過程

1．情境引入

問1:看完這段材料你有什么想法?

追問2:下面你想研究什么呢?

設計意圖：通過生活情境的引入,增加學生的探究興趣.對情境中方案的“不合理”,學生能自主發(fā)現(xiàn)并用已有的物理知識解決,極大地滿足他們學習的成就感,同時也找出了本節(jié)課的研究對象,發(fā)展了學生數(shù)學建模的核心素養(yǎng).

2．課內探究

2．1猜想

問2:從特殊值入手得到的結論不嚴謹,你能不能嚴格地證明該猜想?

2．2證明

巡視學生的答案,選擇幾個投影.

生1:用比較法證明,但要注意前提是a,b>0,和不等式取等的充要條件.

生2:用的是分析法,執(zhí)果索因,探究每一步所需的充分條件,直至得到一個顯然成立的式子,注意書寫格式.而將分析法過程倒著書寫即為綜合法.

生3:選擇先平方兩數(shù),消除根號,再用前三種方法證明,稱為平方法.

設計意圖：從特殊值入手得到猜想,此時學生會有不嚴謹?shù)睦Щ?萌發(fā)出想要證明的想法.接著投影學生證明不等式的方法,既檢驗學生對前一節(jié)不等式內容的掌握情況,又讓學生感受到知識的應用性.

生:結構簡潔,主要是和與積的關系,且只包含基本運算.

問3:你有什么發(fā)現(xiàn)?

生:根據(jù)半弦不大于半徑可以得到CD≤OD,也可以證明不等式成立.所以這個不等式還蘊含豐富的物理、代數(shù)、幾何知識.

問4:不等式中的a,b可以代入數(shù)字,能代入代數(shù)式嗎?對代數(shù)式有何要求?

生:可以,但要滿足大于等于0.

師:通過對a,b的代換,可以得到無數(shù)個不等式,但它們的根基均為這個不等式,所以我們給它一個名稱,叫做基本不等式.

設計意圖：這里對不等式的賞析,引導學生從多個角度去理解不等式,讓學生在感受到這個簡單的不等式蘊含著豐富的知識背景的同時,還培養(yǎng)了其數(shù)形結合的數(shù)學思想.另外,該不等式還可以衍生出許多不等式,因此學生對于它的名稱“基本不等式”會有更深層次的感悟.

2．3 應用

問5:你能不能舉出用代數(shù)式代換a,b的例子呢?

生:根據(jù)a,b大于等于0,用a2替換a,b2替換b,代入基本不等式,得到一個新的不等式.這里要注意a,b的范圍已經變?yōu)镽.

問6:你能將這個函數(shù)進行變式嗎?

問7:問題出在哪?

生2:需改變x的范圍,可以為x∈(-2,+∞),但改法不唯一.

問8:剛剛我們主要運用基本不等式來解決這些函數(shù)的最值,使用過程中需要注意的條件是什么?

生:首先代數(shù)式為正,其次乘積為定值,最后取等號時x的值要有解.

師:總結的非常到位!事實上乘積為定值,我們可以得到和的最小值,如果和為定值,則乘積有最大值.用基本不等式求函數(shù)最值需要滿足的條件可以概括為“一正二定三相等”.

設計意圖：通過教師簡單地引導,讓學生不由自主地去思考,去改編題目,充分彰顯學生的主體地位,達到“少教多學”的目的.經過不斷出現(xiàn)矛盾和解決矛盾的探究過程,學生的函數(shù)代換思想,邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng),在無形中得到了發(fā)展.

3．課堂小結

對不等式的賞析,不僅發(fā)現(xiàn)了基本不等式的幾何意義,還感受到它廣泛的應用性,即通過對a,b的代換總結出用基本不等式求函數(shù)最值需滿足的條件:一正、二定、三相等.

4．課后思考

基本不等式能否推廣到n(n≥3,n∈N*)個非負數(shù)的情形?

三、教學反思

1．基本不等式的發(fā)現(xiàn)

2．基本不等式的賞析

“少教多學”的課堂應當以學生為本,這就要求教師運用簡潔的語言啟發(fā)學生探索出知識間的緊密聯(lián)系.比如學生容易發(fā)現(xiàn)不等式的結構特點,教師由此引出算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念,學生稍加思索便能得到不等式的幾何意義,感受到不等式中物理、代數(shù)、幾何知識的聯(lián)系.再將關注點指向代數(shù)式a,b,帶領學生得出a,b范圍可包含等于零,進而判斷出a,b可用無數(shù)代數(shù)式替換,深刻理解“基本”的含義.整個過程中,學生會充分感受到公式之簡潔,數(shù)學之優(yōu)美.

3．基本不等式的應用

傳統(tǒng)課堂總是習慣于在知識點講解完后,直接拋出例題.這樣很容易忽略學生思維發(fā)展的連貫性,不利于思維能力的培養(yǎng).此處筆者選擇承上啟下,將重點放在研究a,b的代換.先由學生舉例用a,b的絕對值或平方形式替換,教師舉例用互為倒數(shù)的分式替換,幫助學生打開思路,再進一步用變量x替換,引出求函數(shù)最值問題.接著讓學生去改編題目并自行解決,完全將課堂歸還給學生,達到教師不教,學生愛學的層次.學生也在探索未知的領域中,體會到學習的迷茫與困惑,體會到解決問題帶來的數(shù)學之趣.