畢結(jié)貞

摘要：初中函數(shù)問題涉及的圖象、性質(zhì)較多，考查題型形式多樣，課程實施采用母題探究的形式，有利于挖掘?qū)W習(xí)線索與數(shù)學(xué)本質(zhì)。筆者以“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計為例，通過由淺入深、層次性、廣延性的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生從母題出發(fā)開展探索研究。

關(guān)鍵詞：母題? 變式? 二次函數(shù)? ?圖象與性質(zhì)

《九章算術(shù)》中“以類合類”“以類推類”的數(shù)學(xué)邏輯思想具有以類為基礎(chǔ)，以類為出發(fā)點，推以類之等特點，受這一特征影響下的中國數(shù)學(xué)課程改革形成了注重一題多解、一題多變、多題多解，變中有不變的數(shù)學(xué)教學(xué)思想。教師可以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，從教材出發(fā)，從學(xué)生的認(rèn)識出發(fā)，選擇教材母題，深究其蘊含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并以此為主線設(shè)計變式。

《二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)》是九年級上冊第26章的內(nèi)容，學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，會建立二次函數(shù)模型和理解二次函數(shù)的有關(guān)概念，所以它既是對前面所學(xué)一次函數(shù)圖象與性質(zhì)知識的一次升華，又是今后學(xué)習(xí)《二次函數(shù)的應(yīng)用》的預(yù)備知識，又為學(xué)生高中階段學(xué)習(xí)一元二次不等式和圓錐曲線奠定基礎(chǔ)，所以它在教材中起著非常重要的作用。本節(jié)課最大特點是結(jié)合圖形來研究二次函數(shù)的性質(zhì)，這充分體現(xiàn)了一個很重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想。

1 教學(xué)過程

1.1 出示“母題”，復(fù)習(xí)二次函數(shù)的對稱性

母題（人教版九年級上冊第47頁第4題）：拋物線y=ax2+bx+c與x軸的公共點是（-1，0），（3，0），求這條拋物線的對稱軸。

考查知識：1.拋物線的對稱性；2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

思路分析：拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，利用對稱軸公式[x=x1+x22]求得兩交點線段中點坐標(biāo)，進(jìn)而求得對稱軸。

核心素養(yǎng)：通過拋物線上的兩個特殊點（縱坐標(biāo)為0），體現(xiàn)其圖象的對稱性，理解函數(shù)與對應(yīng)方程的關(guān)系，理解函數(shù)圖象與表達(dá)式的對應(yīng)關(guān)系，增強幾何直觀，會用函數(shù)表示簡單規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷用語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題的過程，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展應(yīng)用意識。

教學(xué)過程：

師：坐標(biāo)軸與（-1，0），（3，0）這兩個點有什么關(guān)系？

生：坐標(biāo)軸會經(jīng)過（-1，0）和（3，0）之間的中點。

師：中點坐標(biāo)怎么求？

生：[x1+x22]，所以（-1，0）和（3，0）之間的中點為[（-1+32，0）]，即[（1，0）]。

師：所以母題考查了二次函數(shù)的什么性質(zhì)？

生：關(guān)于坐標(biāo)軸對稱。

歸納總結(jié)：本母題的對稱點以坐標(biāo)的形式出現(xiàn)，具有典型性與代表性，且緊扣新課程標(biāo)準(zhǔn)，在變式訓(xùn)練中對稱點以不同的形式出現(xiàn)可加強學(xué)生對拋物線對稱性知識點的內(nèi)化，加深對二次函數(shù)其他性質(zhì)的理解。

1.2 改編拓展，引出二次函數(shù)的多種性質(zhì)

變式1：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸相交于點A，y與x的部分對應(yīng)值如下表：

（1）直接寫出拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標(biāo)及點A的坐標(biāo)；

（2）在給出的坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)圖象的草圖。

考查知識：1.畫出二次函數(shù)草圖；2.根據(jù)表格分析出變量的信息，進(jìn)一步得到函數(shù)的性質(zhì)

設(shè)計意圖：通過對稱軸在知識網(wǎng)絡(luò)中存在的另一種形式，以表格呈現(xiàn)給學(xué)生，落實課標(biāo)中要求的會利用一些特殊點畫二次函數(shù)草圖，找對稱軸，理解函數(shù)圖象與表格之間的對應(yīng)關(guān)系，提升應(yīng)用意識，幾何直觀、數(shù)形結(jié)合能力、邏輯推理能力以及模型思想。教師在其間起引導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，通過“形”除了可得到二次函數(shù)關(guān)于對稱軸對稱的性質(zhì)外，還可觀察出拋物線的開口，分析出其頂點坐標(biāo)及其與y軸的交點坐標(biāo)，提升學(xué)生的數(shù)據(jù)整理及分析的能力。

練習(xí)1：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中的y與x的部分對應(yīng)值如表所示．

根據(jù)表中的信息，給出下列四個結(jié)論：

①拋物線的對稱軸是直線x=1；

②拋物線的頂點坐標(biāo)是（1，3）；

③當(dāng)x=3時，y的值為-3；④若點A（-2，y1），點B（-3，y2）兩個點都在拋物線上，則y1＞y2，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

考查知識：二次函數(shù)的對稱性、頂點以及增減性。

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生運用變式一總結(jié)的觀察表格的方法，畫出二次函數(shù)的草圖，判斷函數(shù)的對稱性、頂點坐標(biāo)以及單調(diào)性，鼓勵學(xué)生大膽發(fā)言，通過練習(xí)，讓學(xué)生對表格的觀察與分析有一個更深刻的理解與認(rèn)識，并能靈活地解答二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的題目。

變式2：如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點坐標(biāo)為（-1，0），其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：①4ac＜b2；②a-b+c＜0；③b+2a=0；④當(dāng)y＜0時，x的取值范圍是-1＜x＜3；⑤當(dāng)x＜0時，y隨x增大而增大；⑥方程ax2+bx+c=2有兩個不等的實數(shù)根，其中結(jié)論正確的序號是_________。

考查知識：1.拋物線的對稱性；2.二次函數(shù)一般式的對稱軸公式；3.二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等的關(guān)系。

設(shè)計意圖：對稱軸以圖象的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生找出拋物線與x軸的另外一個交點的坐標(biāo)，學(xué)生經(jīng)歷讀圖過程中，學(xué)會多維度地識圖讀圖，學(xué)習(xí)一般的提取圖象信息的方法，學(xué)會對獲得的信息進(jìn)行歸類，并納入知識框架體系，感受數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想在問題解決中的應(yīng)用，提高學(xué)生直觀想象的素養(yǎng)。

練習(xí)2：如圖所示是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點A（3，0），二次函數(shù)圖象對稱軸為直線x=1，給出五個結(jié)論：①bc＞0；②a+b+c＜0；③當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0的根為x1=-1，x2=3；⑤4a-2b+c＞0其中正確結(jié)論是（）

A.①②③ B.①③④

C.②③④ D.③④⑤

考查知識：1.二次函數(shù)系數(shù)與圖象形狀和對稱軸關(guān)系；2.求圖象與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)。

教學(xué)說明：運用變式二總結(jié)的觀察圖象的方法，進(jìn)一步加強圖象與二次函數(shù)各個系數(shù)關(guān)系知識點的內(nèi)化。

變式3：如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于C點，拋物線的對稱軸l與x軸交于M點。

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)點P是直線l上的一個動點，當(dāng)PA+PC的值最小時，求PA+PC長；

（3）設(shè)點P是直線l上的一個動點，當(dāng)PA-PC的值最大時，求P的坐標(biāo).

考查知識：1.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 2.“將軍飲馬”模型的應(yīng)用；3.三角形兩邊之差小于第三邊。

設(shè)計意圖：本體為二次函數(shù)性質(zhì)的拓展題，主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。變式3有意識地通過類比、探索等形式讓學(xué)生感知“將軍飲馬”模型以及三角形三邊關(guān)系在二次函數(shù)中的應(yīng)用，抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系和變化規(guī)律等，進(jìn)而抽象出數(shù)學(xué)問題。

1.3布置作業(yè)，強化知識

2 教學(xué)反思

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022年版）中提到：函數(shù)的教學(xué)要通過對現(xiàn)實問題中變量的分析，建立兩個變量之間變化的依賴關(guān)系，讓學(xué)生理解用函數(shù)表達(dá)變化關(guān)系的實際意義；要引導(dǎo)學(xué)生借助平面直角坐標(biāo)系中的描點，理解函數(shù)圖象與表達(dá)式的對應(yīng)關(guān)系，理解函數(shù)與對應(yīng)的方程、不等式的關(guān)系，增強幾何直觀。

本節(jié)課，從一道母題出發(fā)，引出的四道變式，其中“母題”的兩個對稱點是以文字形式出現(xiàn)，變式一是以表格的形式出現(xiàn)，變式二是以圖形的形式出現(xiàn)，變式三也是圍繞著對稱性的一道拔高題，求解的過程中也復(fù)習(xí)了二次函數(shù)的其他相關(guān)的性質(zhì)，由易至難、由淺人深，學(xué)生在“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，這種母題變式教學(xué)模式，從很大程度上控制了題量，符合減負(fù)的要求。在講解完每個變式后，歸納總結(jié)變式與母題、變式與變式之間有什么聯(lián)系，達(dá)到復(fù)習(xí)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的目的，深刻地認(rèn)識二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，并通過圖象和表格總結(jié)歸納出來，讓學(xué)生認(rèn)識到母題課的重點。

本節(jié)課課堂氣氛活躍，教師通過綜合運用多種教學(xué)方法，讓學(xué)生分享解題過程，鼓勵其他學(xué)生質(zhì)疑、完善、創(chuàng)新，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)能力，充分調(diào)動學(xué)生積極參與課堂，使現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)新課程理念得以落實，真正地讓學(xué)生成為課堂的主體。