楊曉毅,劉 麗,黃 煜,黃冰容,丁 川

(1.浙大城市學院 機械電子工程研究所,杭州 310015;2.浙江工業(yè)大學 特種裝備制造與先進加工技術教育部重點實驗室,杭州 310013)

0 引言

有生目標的侵徹與創(chuàng)傷是國防工程和創(chuàng)傷醫(yī)學等領域的重要研究內容。研究生物組織及其模擬物的侵徹機理一方面是國防輕武器殺傷效能優(yōu)化設計的理論基礎,另一方面對創(chuàng)傷救治工作有重要的指導意義。在彈體的侵徹模擬實驗中,彈道明膠(后文簡稱為明膠)是一種廣泛使用的標準靶標[1-3],用以替代生物組織開展侵徹創(chuàng)傷實驗。明膠的侵徹實驗能夠很好地反映彈體對生物體的殺傷現(xiàn)象,因此,研究明膠的侵徹機理是研究有生目標侵徹創(chuàng)傷問題的重要方法和內容,引起了軍事和醫(yī)學應用領域的廣泛關注[4-5],國內外不少學者都對彈體侵徹明膠的運動模型展開了研究[6-8]。

彈體侵徹明膠靶標時,彈體受到阻力的作用逐漸減速,將能量釋放到靶標中;而靶標介質在彈體的作用下產生徑向運動形成瞬時空腔,因此彈體侵徹明膠的過程主要包括彈體沿彈道方向的運動問題和靶標介質沿垂直于彈道方向的徑向運動問題。彈體沿彈道方向運動規(guī)律由彈體受到的侵徹阻力決定,而靶標介質沿垂直于彈道方向的徑向運動問題即瞬時空腔問題。由于彈體和目標介質的相互作用十分復雜,在現(xiàn)有的模型中,侵徹阻力模型[9-12]和瞬時空腔模型[13-14]往往是分別進行建立的,且對于瞬時空腔動態(tài)過程的建模研究非常少。關于侵徹過程中的瞬時空腔,Sellier等[13]提出彈體釋放到靶標中的總能量ΔE和最大瞬時空腔體積Vm可用線性關系表示:ΔE=Vm/λ。莫根林等[14]假設瞬時空腔內壁的運動規(guī)律僅和空腔截面獲得的能量有關,建立了空腔半徑隨時間變化的計算模型,并通過侵徹實驗進行了驗證。

盡管獨立的阻力模型和獨立的空腔模型分別能夠較為準確地計算彈體侵徹深度以及瞬時空腔的大小,但關于二者的內在聯(lián)系的研究還非常少。作者在前期研究[15-16]中提出,侵徹阻力模型和侵徹空腔模型之間應該有著緊密的內在聯(lián)系。將文獻[13]中彈體釋放到靶標中的總能量和最大瞬時空腔體積之間的線性關系(ΔE=Vm/λ)中的1/λ記為Ps,則Ps等于在介質中打開單位體積空腔產生的變形能,該參數(shù)可通過空腔膨脹模型[17]進行計算,基于Ps,Liu等[18]建立了步槍彈侵徹明膠塊的瞬時空腔動態(tài)模型。同時,Ps也是侵徹阻力模型中的重要參數(shù),在研究金屬、混凝土和陶瓷等材料的侵徹問題中已經得到了較為廣泛的應用,可求解侵徹阻力、彈體的速度衰減規(guī)律和侵徹深度等重要參數(shù)。

利用能量轉換和守恒定律建立了描述球形彈體侵徹阻力和侵徹空腔動態(tài)膨脹過程的數(shù)學模型,將彈體的運動方程和侵徹空腔的運動方程緊密結合起來。本研究分析了不同尺寸的球形彈體對明膠的侵徹實驗結果,通過模型計算與實驗結果的比較,獲得了模型中的參數(shù),并對模型進行了深入分析,討論了每個參數(shù)的物理意義,為解釋彈體對軟組織的侵徹機理提供了參考。

1 侵徹過程建模

本研究基于以下假設建立模型:

1) 球形彈體在明膠塊中的軌跡近似為直線,如圖1(a)所示,侵徹空腔為軸對稱空腔;

2) 明膠介質在彈體侵徹作用下沿徑向運動形成瞬時空腔,如圖1(b)所示,忽略軸向運動的影響;

3) 忽略侵徹過程中的熱能;

4) 彈體為剛體。

當球形彈體侵徹明膠塊時,可以從實驗中看出彈體運動軌跡是近似為直線(圖1(a)),假設打開的空腔為軸對稱形狀,則在彈道任意位置zx處(圖1(b)),沿彈道方向dz厚度的靶標介質中有

dEs=dEk+dEp

(1)

式中:dEk為dz段介質中的動能;dEp為dz段介質中的變形能;dEs為彈體沿彈道前進dz長度時釋放到介質中的能量。彈體在明膠中運動時,由于受到侵徹阻力的作用逐漸減速,將能量釋放到靶標中,轉化為靶標介質的變形能和徑向運動的動能。彈體前進dz長度時釋放的能量dEs為

(2)

dEp=Psπa2dz

(3)

(4)

(5)

可計算dz段介質中的動能

(6)

式中:ρt為靶標彈性區(qū)的密度;B0=ln(R/a),積分上限R是靶標彈性變形區(qū)的邊界,若材料為不可壓縮,則R等于靶標的外邊界尺寸,若考慮材料可壓縮性,則R可能小于靶標的外邊界尺寸。因此,參數(shù)B0與材料的可壓縮性有關[19]。

將式(2)、式(3)和式(6)代入式(1),可得:

(7)

式(7)是基于柱形空腔膨脹理論的侵徹阻力模型。

(8)

式中:β為空腔膨脹速度與彈體侵徹速度之間的比值[21]。

利用式(7)的阻力模型,可以通過求解下面的二階微分方程獲得侵徹位置z(t)和侵徹速度v(t)

(9)

(10)

假設當彈體到達z(tx)=zx時,侵徹空腔從as開始膨脹,由初始條件,a(t=tx)=as,求解非線性一階微分方程(10)可得到zx處的空腔半徑變化規(guī)律a(t)。

綜合以上推導過程可知,彈體的運動方程(9)和瞬時空腔的運動方程(10)通過一組參數(shù)緊密結合起來:Ps,B0和β。

2 侵徹實驗

2.1 實驗裝置

圖2顯示了彈道實驗裝置的原理圖,彈體是直徑為3、4、4.8、6 mm的鋼球(密度為7 800 kg/m3),明膠靶標(尺寸為30 cm×30 cm×30 cm)放置在距離槍口約25 m的位置,靶標的材料、制備、存儲方法與文獻[9]中所述一致;在彈道槍和明膠塊之間距離明膠塊約1 m的位置放置光電測速裝置,測量彈體侵徹靶標之前的速度vs;高速攝像機(Phantom v2511)放置在垂直于彈道方向距離靶標約1.5 m的位置,用于拍攝彈體在靶標中的運動過程和明膠介質在侵徹作用下的變形過程。彈體在靶標中的位置(z,t)和侵徹軌跡中任意位置的瞬時空腔半徑(a,t)可以由高速攝像從圖像中直接讀取,其中1像素對應約0.2 mm。

2.2 實驗結果

表1 主要實驗結果

圖3 典型的球形彈體侵徹明膠圖像

直徑為3、4、4.8 mm和6 mm的球形彈體的主要侵徹數(shù)據匯總在表1中。由表1中數(shù)據可知,在鋼球直徑不同、初始侵徹速度也不同的情況下,參數(shù)Ps的估算值變化范圍較小,在0.3～0.33 MPa的范圍內。

3 侵徹過程分析

3.1 模型參數(shù)

表2 侵徹速度與空腔初始膨脹速度

圖4 侵徹空腔的膨脹速度與彈體侵徹速度的關系

模型中的另一個參數(shù)B0,反映了靶標介質的可壓縮性。低速加載條件下的力學性能實驗表明,明膠是幾乎不可壓縮的,但是在沖擊加載下明膠的可壓縮性仍然缺乏充分的實驗研究。由初始條件z(0)=0、v(0)=v0求解式(9)所示的二階微分方程,擬合實驗數(shù)據z(t),可以確定參數(shù)組合B0β2,結合β的值,可得到B0的值。不同直徑的球形彈體侵徹數(shù)據z(t)及曲線擬合情況如圖5所示。4組數(shù)據的決定系數(shù)(R2)分別為0.999 9、0.999 8、0.999 6和0.999 9,參數(shù)分析結果見表3所示,可得的平均值為3.07。

表3 參數(shù)B0的擬合結果

圖5 彈體侵徹深度z(t)的曲線擬合情況

3.2 空腔膨脹過程的模型驗證

根據4.1節(jié)的數(shù)據分析獲得的模型參數(shù),取平均值B0=3.07,β=0.24,求解式(9)和(10)中關于z和a的微分方程,可以計算靶標中任意時刻的瞬時空腔的輪廓和彈體侵徹深度。圖6中所示為直徑3 mm鋼球在t=500 μs、侵徹深度為z=118 mm時產生的瞬時空腔,上圖為高速攝像機拍攝的圖片,下圖為按相同比例繪制的模型計算結果圖。

圖6 侵徹實驗中拍攝的瞬時輪廓和模型計算的對比

為了方便比較,將高速攝像機拍攝的空腔輪廓描出并配上散點,與模型計算的曲線進行對比。圖7顯示了直徑3 mm鋼球侵徹明膠過程中不同時刻的空腔輪廓與模型計算結果的比較,繪圖時保證實驗圖像和模型圖像的比例一致。在圖示的4個時刻,空腔輪廓與模型計算結果的決定系數(shù)(R2)分別為0.998 2、0.992 3、0.992 1和0.989 4。

圖7 直徑3 mm球形彈體侵徹明膠的瞬態(tài)空腔

圖8中所示的直徑4 mm鋼球侵徹明膠過程中4個時間點空腔輪廓與模型計算結果的決定系數(shù)分別為0.995 8、0.985 9、0.983 3和0.991 4;圖9中所示的直徑4.8 mm鋼球侵徹明膠過程中4個時間點的空腔輪廓與模型計算結果的決定系數(shù)分別為0.993 9、0.994 5、0.995 8和0.985 4;圖10中所示的直徑6 mm鋼球侵徹明膠過程中4個時間點的空腔輪廓與模型計算結果的決定系數(shù)分別為0.998 3、0.995 5、0.991 5和0.991 7。

從圖7—圖10中可以看出,從初始侵徹到空腔膨脹到最大體積,本文模型的計算結果和實驗結果一致。圖7—圖10四圖中的(a)、(b)兩圖為侵徹前期的空腔形狀,而(c)、(d)兩幅圖則是侵徹后期的空腔形狀,總體而言,在侵徹前期,模型的預測誤差較小,而在侵徹后期,模型預測誤差增大,這可能是由于相鄰截面層之間的能量傳遞在空腔膨脹后期變得明顯,而理論模型并沒有考慮能量在相鄰層之間的傳遞問題。

4 結論

主要工作是研究球形彈體在明膠中侵徹過程的建模問題。對彈體和靶標介質進行了動力學分析,提出了描述彈體和介質運動的侵徹模型。分析了球形彈體對明膠的侵徹實驗結果,進行了定量研究。模型計算和實驗結果之間的比較表明,由本研究所提出的預測的侵徹過程與實驗中觀察到的情況非常一致。主要結論如下:

1) 從能量轉換和守恒的角度,可同時對彈體沿其彈道的運動(侵徹阻力)和目標介質沿垂直于彈道方向的運動(瞬時空腔)進行建模,侵徹阻力模型和瞬時空腔模型共用一組參數(shù)Ps、B0和β,可將彈體的運動與靶標介質的運動緊密結合,與以往分開建模的思路相比,更能體現(xiàn)侵徹過程中彈體運動和介質變形的內在聯(lián)系。

2) 模型中的3個參數(shù)Ps、B0和β具有明確的物理意義,通過分析侵徹實驗結果可獲得參數(shù)的值或范圍。當球形彈體的直徑在3～6 mm、初始侵徹速度在500～900 m/s時,Ps的值為0.3～0.32 MPa,B0的值為3.07±0.124 5,β的值為0.24±0.006 37。用數(shù)值方法求解方程式(10)中模型可準確預測瞬時空腔的輪廓變化規(guī)律。

本研究中建模過程中的一個假設是沿彈道方向每個橫截面內部的能量守恒,當空腔膨脹接近最后階段時,忽略相鄰橫截面層之間的能量傳遞會增大空腔輪廓的計算誤差,這一問題應在今后的工作中加以考慮。