陳芳香

(福建省莆田第二中學,福建 莆田 351100)

分類討論思想的形成是一個長期的過程,所以,教師要樹立正確的培養(yǎng)意識,采用有效的培養(yǎng)方法.尤其是要建立長效培養(yǎng)機制,一步步增強學生的分類討論意識,直至形成分類討論能力.這也意味著教師要改變現(xiàn)有教學模式,從分類討論思想的內在規(guī)律入手,設計適合發(fā)展學生分類討論思維的學習活動.尤其是要抓住解題教學時機,滲透分類討論思想,進一步加強學生分類討論思想的培養(yǎng).

1 分類討論思想在代數(shù)解題中的應用

與代數(shù)有關的分類討論題型比較簡單.主要類型有絕對值、平方根、完全平方式等.這類題型所給條件比較清晰,且計算難度也不大[1].可以說,這是最簡單的分類討論.學生只要熟練掌握絕對值、平方根、完全平方式的概念和性質,就可以完成解題.

1.1 與絕對值有關的代數(shù)問題

實數(shù)是初中數(shù)學的主要內容之一.實數(shù)分為正實數(shù)、負實數(shù)、0.無理數(shù)包括正無理數(shù)、負無理數(shù).與絕對值有關的代數(shù)問題本身就具有明顯的分類思想,在解題時需進行分類討論.

例1 若|a|=1,|b|=4,且ab<0.求a+b的值.

解析本題主要考查與絕對值有關的實數(shù)的運算,其主要解題方法就是分類討論.本題的主要解題步驟為:第一步,確定分類對象.題干只給出了兩個參數(shù)a,b,且已知a,b的絕對值,所以分類對象就是參數(shù)a,b.第二步,分類.根據(jù)題干ab<0,可知a,b異號.若a<0,則b>0;若a>0,則b<0.第三步,計算.當a<0,b>0時,a=-1,b=4,所以a+b=3.當a>0,b<0時,a=1,b=-4,所以a+b=-3.第四步,總結.綜合上述兩種情況,可知a+b=3或-3.

1.2 含有平方的代數(shù)式問題

一個數(shù)的平方是定值,但是一個數(shù)的平方根有兩個互為相反數(shù)的值.所以,在含有平方的代數(shù)式問題中需要分類討論開方得到的數(shù).

2 分類討論思想在方程中的應用

在求解與一元一次方程、二元一次方程、分式方程方程有關的某些應用題時都需要分類討論[2].

例3 “五一”假期期間,某商城推出了一項購物優(yōu)惠活動:一次性購物不高于100元時不享受優(yōu)惠;高于100元但低于300元時,享受9折優(yōu)惠.不低于300元則享受8折優(yōu)惠.李某到該商場購物,總共付款兩次.一次是80元,一次是252元,那么如果改為在商場一次性購買,則需要支付多少錢?

解析本題需分類討論求解.第一步,確定分類對象.按照題干給出的信息,需要對一次性購物的金額進行分類:一次性購物不高于100元,高于100元但低于300元,不低于300元.第二步,分類.假設一次性購物金額為x,付款金額為y.當x≤100時,y=x;當100

從本題求解過程可以看出,利用分類討論思想解題的關鍵是準確找到分類對象,并能夠精準分類計算.只有這樣才能得到準確的計算結果,否則就會出現(xiàn)錯誤.簡而言之,利用分類討論思想解題時一定要準確確定分類對象和分類標準.

3 分類討論思想在不等式中的運用

在解決不等式問題時,當遇到不等式條件不明確、結論不確定、題干所含參數(shù)范圍不確定等情況時,就需要進行分類討論[3].

3.1 不含參數(shù)的不等式問題

在不含參數(shù)的不等式問題中,若不等式中含有絕對值或平方,在解題時必須進行分類討論.

例4 解不等式|x-4|-|2x-3|≤1.

從本題的求解過程可以看出,含絕對值的不等式問題,分類情況比較多,很容易出現(xiàn)分類錯誤或計算錯誤.所以在解決這類問題時,一定要清晰地羅列出分類標準,這樣才能準確求解.

3.2 含參數(shù)的不等式問題

利用分類討論思想解決含參數(shù)的不等式問題的關鍵是要分析參數(shù),對參數(shù)進行分類.

從本題的求解過程可以看出,對于一些復雜的含參數(shù)的不等式問題,在解題時一定要從題干出發(fā),依據(jù)自變量范圍準確確定參數(shù)范圍.

4 分類討論思想在函數(shù)中的應用

在解決與函數(shù)有關的數(shù)學問題時,當分析變量之間的函數(shù)關系是否滿足條件或計算結果是否符合實際情況時,一般情況下需利用分類討論思想.

例6 如果一次函數(shù)y=ax+b的自變量x的取值范圍為-2≤x≤6,對應的函數(shù)值y的范圍為-11≤y≤9.求該函數(shù)的解析式.

總之,分類討論思想在初中數(shù)學解題中有著極其重要的應用.因此,教師在平時教學中要重視分類討論思想,在解題教學中有意識滲透分類討論思想,強化學生的分類討論意識,提高學生解題能力,從而提升學生數(shù)學核心素養(yǎng).