李曉光,王志偉

(1.安徽糧食工程職業(yè)學(xué)院 機(jī)電工程系,安徽 合肥 230011;2. 寶時(shí)得科技(中國(guó))有限公司,江蘇 蘇州 215000)

相對(duì)其他成型工藝,3D打印機(jī)能夠完成更復(fù)雜的成型工藝,且成型周期短、效率高,從而得到廣泛應(yīng)用.目前市場(chǎng)上主要存在兩種形式的打印機(jī),即Delta打印機(jī)和Reprap打印機(jī),前者構(gòu)型較為復(fù)雜,其有效工作空間往往會(huì)因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)而受到一定的限制,但是其體積小、精度高、承載能力強(qiáng),因此在成型較為復(fù)雜的零件時(shí)也具備更多的優(yōu)勢(shì)[1-3].

隨著時(shí)代的不斷發(fā)展,3D打印機(jī)在實(shí)際工作中存在的問(wèn)題也逐漸顯現(xiàn)出來(lái),因此人們對(duì)打印機(jī)的研究也在逐步深入.張俊等[4]對(duì)陶瓷打印機(jī)噴頭及結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)進(jìn)行了詳細(xì)分析.曾達(dá)幸等[5]對(duì)3-CUR解耦并聯(lián)3D打印機(jī)進(jìn)行了深入研究,并通過(guò)遺傳算法對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行相應(yīng)優(yōu)化,提高3D打印機(jī)的定位;李小汝等[6]通過(guò)對(duì)3-DOF冗余并聯(lián)式機(jī)構(gòu)學(xué)研究,也為3D打印機(jī)的進(jìn)一步發(fā)展奠定了基礎(chǔ).本文針對(duì)目前市場(chǎng)上的主流Delta打印機(jī)進(jìn)行了研究與分析,并結(jié)合模型的實(shí)際尺寸建立了打印機(jī)的數(shù)學(xué)模型,結(jié)合Adams和Hypermensh等軟件完成對(duì)模型的驗(yàn)證以及傳動(dòng)的誤差分析.

1 Delta打印機(jī)工作概述

本文主要針對(duì)Delta運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行分析,因此對(duì)三維模型進(jìn)行了適當(dāng)簡(jiǎn)化,結(jié)構(gòu)主要由靜平臺(tái)、轉(zhuǎn)臂、擺臂以及動(dòng)平臺(tái)構(gòu)成,其中靜平臺(tái)主要安裝轉(zhuǎn)臂的驅(qū)動(dòng)電機(jī)以驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)臂完成復(fù)雜的打印動(dòng)作;轉(zhuǎn)臂及擺臂主要輔助動(dòng)平臺(tái)能夠多自由度完成相應(yīng)的打印動(dòng)作,并對(duì)動(dòng)平臺(tái)起到主要支撐作用以滿足其工作強(qiáng)度要求.動(dòng)平臺(tái)主要作為打印噴嘴的安裝平臺(tái),Delta打印機(jī)結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 Delta打印機(jī)簡(jiǎn)易模型

2 打印機(jī)位姿求解

為便于模型研究及運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立,將上述模型簡(jiǎn)化為幾何關(guān)系表達(dá)式,因?yàn)閯?dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)方式受從動(dòng)臂聯(lián)合約束作用的影響,所以將其轉(zhuǎn)嫁到單側(cè)主動(dòng)臂和從動(dòng)臂各關(guān)節(jié)的主動(dòng)驅(qū)動(dòng).針對(duì)3臂綜合的運(yùn)動(dòng)效果可簡(jiǎn)化為單臂運(yùn)動(dòng)方式,具體結(jié)構(gòu)如圖2(a)所示.其數(shù)學(xué)模型如圖2(b)和(c)所示,其中R為靜平臺(tái)半徑,即圖2(a)中的a1,r為動(dòng)平臺(tái)半徑.

圖2 Delta單傳動(dòng)臂薩哈-DH坐標(biāo)系

Delta打印機(jī)動(dòng)平臺(tái)在工作過(guò)程中受到3個(gè)主動(dòng)臂和從動(dòng)臂的影響,其動(dòng)平臺(tái)具備平動(dòng)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn),因此可將其數(shù)學(xué)模型再次簡(jiǎn)化為單主動(dòng)臂、從動(dòng)臂及平動(dòng)平臺(tái).用薩哈-DH參數(shù)法建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,由圖2可得3D打印機(jī)的薩哈-DH參數(shù)如表1所列.

表1 Delta打印機(jī)薩哈-DH參數(shù)表

由坐標(biāo)變換關(guān)系可知,相鄰量坐標(biāo)之間可通過(guò)4個(gè)齊次坐標(biāo)變換進(jìn)行描述,關(guān)系表達(dá)式為:

(1)

通過(guò)計(jì)算最終可得其表達(dá)式為:

(2)

綜合上式得出運(yùn)動(dòng)方程為:

(3)

其中:k表示坐標(biāo)系的編號(hào),c和s分別代表cos和sin的縮寫;Ttz為坐標(biāo)系k沿Zk軸平移距離bk,使Xk和Xk+1軸相交;Trz為坐標(biāo)系k的Xk軸繞Zk軸旋轉(zhuǎn)θk,使Xk軸和Xk+1軸共線;Ttx為坐標(biāo)系k沿Xk+1軸平移距離ak,使Ok和Ok+1點(diǎn)重合;Trx為坐標(biāo)系k的Zk軸繞Xk+1軸旋轉(zhuǎn)角度ak,使得Zk軸和Zk+1軸重合[8].

將初始值a1(84.4),a2(260),a3(640cosa4),b4(640sina4),a5(33.75)帶入上式中,經(jīng)過(guò)Matlab計(jì)算可得坐標(biāo)點(diǎn)X5、Y5、Z5相對(duì)坐標(biāo)系原點(diǎn)的坐標(biāo)的位置為:Px=260cosθ2-640cosa4sinθ2sinθ3+640cosθ2cosθ3cosa4+422/5,Py= 260sinθ2+640cosθ2cosa4sinθ3+640cosθ3cosa4sinθ2,Pz=640sina4.

從而可得動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心相對(duì)靜平臺(tái)質(zhì)心的位置為:x=260cosθ2-640cosa4sinθ2sinθ3+640cosθ2cosθ3cosa4+422/5-33.75,y= 260sinθ2+640cosθ2cosa4sinθ3+640cosθ3cosa4sinθ2,z=640sina4.

為保證模型從初始位置進(jìn)行運(yùn)動(dòng),將仿真時(shí)各關(guān)節(jié)的角位移設(shè)置如下:θ2=time+0.41;θ3=time+1.57;a4=time.從而可得其驅(qū)動(dòng)角位移曲線如圖3所示.

圖3 各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)的角位移

將各轉(zhuǎn)角位移帶入運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,利用Matlab求解可得其動(dòng)平臺(tái)末端質(zhì)心的位移曲線如圖4所示.

圖4 動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心位移

3 Adams和Hypermesh剛?cè)狁詈线\(yùn)動(dòng)學(xué)分析

將三維模型導(dǎo)入到Adams中并按照其運(yùn)動(dòng)關(guān)系在各關(guān)節(jié)加入對(duì)應(yīng)的約束副,并對(duì)其上述運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.Delta打印機(jī)在Adams中的約束副如圖5所示.

圖5 Delta打印機(jī)在Adams中的約束副

由于模型中針對(duì)θ2、θ3、a4的初始角度分別為0.41 rad、1.57 rad、0 rad,因此為保證仿真時(shí)的各轉(zhuǎn)角位移保持一致.這里分別給予θ2、θ3、a4轉(zhuǎn)角的驅(qū)動(dòng)值分別設(shè)置為:θ2=time;θ3=time;a4=time.

為保證和上述運(yùn)動(dòng)時(shí)間一致,這里將仿真時(shí)間設(shè)置為為0.15 s,步數(shù)設(shè)置為500步,仿真結(jié)束后,利用Adams/Processor功能調(diào)出動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心坐標(biāo)如圖6所示.

圖6 Adams中動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心位移

從圖6可以看出,其Adams仿真結(jié)果和理論結(jié)果相符,從而驗(yàn)證了本文模型建立的合理性.可進(jìn)一步的得到動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心的速度及加速度結(jié)果如圖7和圖8所示.

圖7 Adams中動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心速度

圖8 Adams中動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心加速度

從圖7、圖8中可以看出,動(dòng)平臺(tái)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中其位移、速度、加速度曲線變化相對(duì)較為平順,沒(méi)有出現(xiàn)突變等不良情況,從而也進(jìn)一步的驗(yàn)證了模型在運(yùn)行過(guò)程中的穩(wěn)定性.

由于打印機(jī)在工作過(guò)程中,在其動(dòng)臂承受一定的負(fù)載的情況下,往往導(dǎo)致其動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心會(huì)偏移其理論位置,從而導(dǎo)致其打印精度受到一定的影響,導(dǎo)致零部件精度誤差較大[9-10].其Delta并聯(lián)機(jī)構(gòu)3D打印機(jī)具有一定的承載能力,其打印精度往往相對(duì)其理論設(shè)定打印位移偏差較小,這里主要借助Hypermesh軟件對(duì)關(guān)鍵承載部件的主動(dòng)臂和從動(dòng)臂進(jìn)行柔性化處理.劃分結(jié)果如圖9所示,使其生成Adams軟件可識(shí)別的mnf網(wǎng)格文件,并將其導(dǎo)入到仿真模型中進(jìn)行驗(yàn)證.

圖9 Hypermesh柔性體網(wǎng)格劃分

將上述柔性體導(dǎo)入Adams中,再次進(jìn)行仿真可得,其動(dòng)平臺(tái)的末端質(zhì)心位移和剛性體末端質(zhì)心位移曲線如圖10所示.

圖10 Hypermesh柔性體網(wǎng)格劃分

由圖10可知,在主動(dòng)臂和從動(dòng)臂進(jìn)行柔性處理的情況下,其仿真結(jié)果和剛性體仿真結(jié)果基本重合,在誤差允許的范圍內(nèi),進(jìn)一步驗(yàn)證了設(shè)計(jì)的合理性.

4 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)Delta打印機(jī)的工作原理和結(jié)構(gòu)進(jìn)行了說(shuō)明,并結(jié)合其工作原理,完后了三維模型的繪制.結(jié)合其結(jié)構(gòu)特點(diǎn),利用薩哈-DH坐標(biāo)法,建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,同時(shí)借助Matlab和Adams軟件驗(yàn)證其數(shù)學(xué)模型的合理性,利用Hypermesh對(duì)Delta打印機(jī)的主動(dòng)臂和從動(dòng)臂進(jìn)行了柔性化處理,并將其導(dǎo)入到Adams中進(jìn)行特定工況下Delta打印機(jī)的剛?cè)狁詈戏治?結(jié)合仿真實(shí)驗(yàn),對(duì)理想剛性體和柔性體情況下的動(dòng)平臺(tái)質(zhì)心位移傳動(dòng)誤差進(jìn)行了分析,驗(yàn)證了模型設(shè)計(jì)的合理性.