摘要：本文將圍繞傳統(tǒng)數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)方式存在的不足展開分析，闡述“互聯(lián)網(wǎng)+”背景下數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì)路徑，以幫助教師適應(yīng)互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代下數(shù)學(xué)教學(xué)的變革，以學(xué)生為主體，制作高質(zhì)量的教學(xué)內(nèi)容，組織有意義的課堂提問環(huán)節(jié)，使學(xué)生容易理解相對抽象的知識點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的建模意識，提高其計(jì)算能力，最終形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：中職院校；數(shù)學(xué)建模；互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代

一、引言

數(shù)學(xué)建模是將實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型結(jié)合，并通過對數(shù)學(xué)模型的求解解決實(shí)際問題的思考方式。良好的數(shù)學(xué)建模教學(xué)可以幫助學(xué)生養(yǎng)成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題。但根據(jù)實(shí)際調(diào)查顯示，部分學(xué)校在數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)方式上仍有待提升。

二、傳統(tǒng)數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)方式分析

盡管我國目前尚沒有固定的方法用于數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題，但解決問題時(shí)建立的數(shù)學(xué)模型的過程卻基本一致，包括模型準(zhǔn)備、假設(shè)、建立、求解與修改。數(shù)學(xué)建模本身屬于一門實(shí)踐性極強(qiáng)的課程，主要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識以及計(jì)算機(jī)設(shè)備，探究問題的形成原因，能夠幫助學(xué)生運(yùn)用已經(jīng)掌握的知識解決生產(chǎn)、生活中的問題。但許多學(xué)校在開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中仍存在以下問題。

一是學(xué)生的課堂表現(xiàn)積極性不強(qiáng)，缺少對數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)興趣，教師與學(xué)生之間的互動(dòng)和交流不夠頻繁。許多教師仍采用單向的黑板教學(xué)，過于注重學(xué)生的知識理論吸收，并要求學(xué)生認(rèn)真記錄模型的求解方法。這種教學(xué)模式相對枯燥，既不利于學(xué)生完成自我展示，也難以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

二是數(shù)學(xué)建模與學(xué)生現(xiàn)有知識的關(guān)聯(lián)度較低。在難度設(shè)置上，數(shù)學(xué)建模應(yīng)盡可能采取通俗的例子，加深與學(xué)生日常生活的聯(lián)系，并以生活化問題、社科類問題、專業(yè)背景應(yīng)用問題為主。同時(shí)，教師本身也要加強(qiáng)信息技術(shù)的運(yùn)用，采用互聯(lián)網(wǎng)手段更好地收集教學(xué)資源。

三、“互聯(lián)網(wǎng)+”背景下數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì)路徑分析

（一）設(shè)置好建模問題

問題本身是數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)施的核心載體，通常來說，發(fā)現(xiàn)問題遠(yuǎn)比解決問題更重要，因此，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中，教師應(yīng)優(yōu)先確定主題，不可單純通過編寫應(yīng)用題、講解應(yīng)用題，由學(xué)生模仿解題套路來實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)，而是要保證數(shù)學(xué)建模活動(dòng)能夠充分指引學(xué)生關(guān)心社會、學(xué)會交流。為此，本文更傾向于從當(dāng)前社會熱點(diǎn)問題中找尋能夠用于數(shù)學(xué)建模的題材，要求教師能夠篩選出與中職學(xué)生日常生活更加貼近的內(nèi)容，符合其認(rèn)知水平，避免背景過于復(fù)雜，并在建模求解過程中，使學(xué)生無需學(xué)習(xí)大量新知識，便可著手解決熱點(diǎn)問題。

筆者將以新冠疫情對城市生產(chǎn)、生活產(chǎn)生的沖擊作為研究對象，并拋出以下問題：

問題1，由于新冠疫情的影響，導(dǎo)致世界杯延遲進(jìn)行，此類問題是否能夠利用數(shù)學(xué)建模進(jìn)行預(yù)測？若世界杯正常開展，運(yùn)動(dòng)員的比賽成績又是否會受到影響？

問題2，在線下復(fù)課后，中職院校的食堂管理必然會承受更大的挑戰(zhàn)，是否可以借助數(shù)學(xué)知識來設(shè)計(jì)切實(shí)可行的分流方案。

問題3，為了更好地消除疫情帶來的不利影響，推動(dòng)城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展，我國各地區(qū)均開展了發(fā)放消費(fèi)券的活動(dòng)，若對此問題采用數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)，是否可以對消費(fèi)券的實(shí)際作用產(chǎn)生一個(gè)簡單地預(yù)判。

上述問題的開放程度較高，能夠使學(xué)生從多個(gè)層面實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生激發(fā)想象力，開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。根據(jù)研究顯示，問題3的應(yīng)用價(jià)值更高，因此，筆者最終決定將其作為數(shù)學(xué)模型的設(shè)計(jì)背景，在實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模時(shí)要注意，選取的問題必須源自生活，盡可能滿足學(xué)生的好奇心與求知欲，問題的難度要進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，確保既能實(shí)現(xiàn)學(xué)生的集中討論，也能保證學(xué)生的深度參與，從而起到調(diào)動(dòng)學(xué)生參與建?；顒?dòng)熱情的作用，同時(shí)，問題本身要具有一定的挑戰(zhàn)性，有助于學(xué)生展示個(gè)性化見解[1]。

（二）合理設(shè)計(jì)教學(xué)模式

在選取適合的建模問題后，教師要在教學(xué)過程中把握以下兩個(gè)教學(xué)方向：一是要讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的設(shè)計(jì)過程；二是教師要將學(xué)生作為教學(xué)主體，打破以往的機(jī)械式解題訓(xùn)練，圍繞建模問題，帶領(lǐng)學(xué)生深入探究。教師主要負(fù)責(zé)必要時(shí)指引學(xué)生梳理解題思路。

經(jīng)過長時(shí)間分析，筆者最終確定將數(shù)學(xué)建模設(shè)計(jì)劃分為以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：

1.設(shè)置問題情境

以某直轄市作為研究對象，為了更好地促進(jìn)社會經(jīng)濟(jì)水平的提升，該城市開展了“樂游樂享”的消費(fèi)節(jié)活動(dòng)，累計(jì)向市民派發(fā)近1億元消費(fèi)券，用于激發(fā)城市居民的消費(fèi)熱情，推動(dòng)零售、旅游等行業(yè)的復(fù)蘇。在數(shù)學(xué)建模設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)中，教師與學(xué)生對三個(gè)建模問題展開深入探究，分析各自的優(yōu)勢和劣勢后，決定將問題3確立為研究主題，并進(jìn)一步挖掘建模活動(dòng)的實(shí)際意義。

2.問題理想化

首先，教師需組織學(xué)生收集與消費(fèi)券發(fā)放有關(guān)的數(shù)據(jù)信息，例如發(fā)放原則、使用效果等，然后進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理，教師可以將學(xué)生分成小組，探究數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)性，引導(dǎo)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生自主發(fā)表相關(guān)建議與意見。教師還要指導(dǎo)學(xué)生討論消費(fèi)券的使用狀況，預(yù)判消費(fèi)券的使用會產(chǎn)生多大的消費(fèi)額，借助關(guān)聯(lián)函數(shù)的擬合，引導(dǎo)學(xué)生突出主要因素，進(jìn)一步將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計(jì)問題[2]。

3.打造數(shù)學(xué)模型

教師應(yīng)當(dāng)給予學(xué)生充足的學(xué)習(xí)時(shí)間以及數(shù)據(jù)收集時(shí)間，通過問卷調(diào)查、互聯(lián)網(wǎng)搜索等方式獲取與消費(fèi)券有關(guān)的內(nèi)容，并創(chuàng)建模型進(jìn)行求解。在此過程中教師要優(yōu)先明確學(xué)生的實(shí)際需求，督促學(xué)生做好調(diào)查研究，鼓勵(lì)學(xué)生自主查閱相關(guān)資料和檢索已有成果，通過小組合作的形式集思廣益，初步擬定問題解決的思路與方案，并判斷相關(guān)計(jì)劃的可行性與可靠性，之后定期組織學(xué)生分析建模情況，讓學(xué)生逐個(gè)展示數(shù)學(xué)建模成果，并提供針對性地指導(dǎo)。

4.模型呈現(xiàn)

筆者將以某中職院校作為研究對象，根據(jù)調(diào)查顯示，該學(xué)校的學(xué)生建模小組共做出4個(gè)模型，教師帶領(lǐng)學(xué)生將所得成果最終提升為具有理論意義的實(shí)際結(jié)論。

模型1，消費(fèi)券以及消費(fèi)者意愿的檢驗(yàn)，通過從互聯(lián)網(wǎng)上找尋的某地區(qū)消費(fèi)意愿調(diào)查顯示，有消費(fèi)券且影響消費(fèi)意愿的人數(shù)為409人，有消費(fèi)券但不影響消費(fèi)意愿的人數(shù)為153人，無消費(fèi)券且影響消費(fèi)意愿的人數(shù)為376人，無消費(fèi)券且不影響消費(fèi)意愿的人數(shù)為10人。根據(jù)計(jì)算公式：

由于97.5＞10，證明幾乎100%的把握確定消費(fèi)券與消費(fèi)意愿相關(guān)，因此發(fā)放消費(fèi)券能夠刺激城市居民的個(gè)人消費(fèi)意愿，具有良好的消費(fèi)效果，可以保持高水平的消費(fèi)熱度，證明此項(xiàng)措施具有實(shí)際意義。

模型2，利用頻率實(shí)現(xiàn)概率的估計(jì)，預(yù)測各面值消費(fèi)券產(chǎn)生的消費(fèi)金額。比如采用10元面值的消費(fèi)券所形成的消費(fèi)額概率分布表現(xiàn)為：

計(jì)算公式為：

數(shù)學(xué)期望1=50×0.7+70×0.1+90×0.07+110×0.02+130×0.003+150×0.01=58.8

根據(jù)計(jì)算可知，采用10元面值消費(fèi)券所形成的消費(fèi)額數(shù)學(xué)期望為58.8元，而采用20元面值消費(fèi)券時(shí)形成的消費(fèi)額概率分布則表現(xiàn)為：

計(jì)算公式為：

數(shù)學(xué)期望2=90×0.6+110×0.2+130×0.04+150×

0.04+170×0.02+190×0.06=106.2

根據(jù)計(jì)算可知，采用20元面值消費(fèi)券所形成的消費(fèi)額數(shù)學(xué)期望為106元，而采用50元面值消費(fèi)額所形成的消費(fèi)額概率則表現(xiàn)為：

計(jì)算公式為：

數(shù)學(xué)期望3=250×0.7+350×0.1+450×0.05+550× 0.03+650×0.01+750×0.01=296.7

根據(jù)計(jì)算可知，采用50元面值消費(fèi)券所形成的消費(fèi)額數(shù)學(xué)期望為296.7元，而采用100元面值消費(fèi)券形成的消費(fèi)額概率則表現(xiàn)為：

計(jì)算公式為：

數(shù)學(xué)期望4=500×0.7+700×0.1+900×0.08+1100×

0.03+1300×0.01+1400×0.01=600.4

根據(jù)計(jì)算可知，采用100元面值消費(fèi)券所形成的消費(fèi)額數(shù)學(xué)期望為600.4元。

綜上所述，由于各類面值對消費(fèi)金額產(chǎn)生的放大影響存在一定的差異性，其中放大倍數(shù)最為顯著的為100元面值，而放大倍數(shù)最小的則表現(xiàn)為20元面值。因此可以確定，該城市在發(fā)放1億元消費(fèi)券后，所形成的消費(fèi)額期望值大約在6億元，而最低則5億元。

模型3，對該地區(qū)的消費(fèi)券使用方向進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后顯示，消費(fèi)券流向最多的行業(yè)為餐飲業(yè)與超市，民眾更想要外出就餐，感受城市煙火氣息，證明地方政府防疫效果顯著，居民的信心正不斷提升，服務(wù)消費(fèi)更受大眾喜愛。同時(shí)，餐飲行業(yè)本身具有極強(qiáng)的帶動(dòng)作用，能夠推動(dòng)產(chǎn)業(yè)鏈上其他行業(yè)的消費(fèi)水平上漲，引發(fā)乘數(shù)效應(yīng)。

模型4，消費(fèi)券與消費(fèi)金額的函數(shù)擬合，根據(jù)調(diào)查問卷的數(shù)據(jù)制作消費(fèi)券金額與消費(fèi)金額的散點(diǎn)圖后發(fā)現(xiàn)，消費(fèi)額大約是消費(fèi)券金額的5倍，即1億元消費(fèi)券可產(chǎn)生5億元的消費(fèi)額，由此可得出結(jié)論，即消費(fèi)券活動(dòng)能夠推動(dòng)消費(fèi)回補(bǔ)。

5.模型修正

模型1中，消費(fèi)券需要市民自愿申領(lǐng)，并非隨機(jī)發(fā)放。因此，根據(jù)該原則分析消費(fèi)券的申領(lǐng)數(shù)量對市民的消費(fèi)次數(shù)影響情況會存在一定的限制。同時(shí)，在開展消費(fèi)券與消費(fèi)意愿的檢驗(yàn)時(shí)，還需完成其他變量的檢驗(yàn)，例如判斷性別是否與消費(fèi)意愿存在關(guān)聯(lián)，此外，由于樣本容量相對較少，問卷發(fā)放群體相對集中，因此會對預(yù)測結(jié)果的精確性產(chǎn)生影響。

模型2中，由于涉及部分隱私，所以統(tǒng)計(jì)的數(shù)字都是范圍，只能獲取估算的效果，并且各類面值對消費(fèi)金額的作用也不統(tǒng)一，是否可以利用官方數(shù)據(jù)了解各類面值消費(fèi)券的實(shí)際發(fā)放比例仍有待進(jìn)一步探究；若可以，則要充分結(jié)合發(fā)放比例，以提高模型數(shù)學(xué)期望的精

確性。

模型3中，消費(fèi)券在超市中的使用應(yīng)實(shí)現(xiàn)細(xì)化處理。如果消費(fèi)券更多地集中在生活必需品的采購上，會對消費(fèi)券的乘數(shù)效應(yīng)產(chǎn)生一定影響；如果消費(fèi)券更多地應(yīng)用在產(chǎn)業(yè)鏈相對較長的區(qū)域，則乘數(shù)效應(yīng)會更加明顯，從而達(dá)到提高統(tǒng)計(jì)結(jié)果價(jià)值的作用。

模型4中，只是簡單地實(shí)現(xiàn)了消費(fèi)券金額與消費(fèi)額之間的線性擬合，并未將非線性擬合的影響，因此也無法確定非線性擬合的實(shí)際效果以及預(yù)測意義。同時(shí)，在模型分析中可以發(fā)現(xiàn)，1億元消費(fèi)券預(yù)計(jì)可收獲近5億元的消費(fèi)額，預(yù)測目標(biāo)與給定的數(shù)據(jù)區(qū)間相隔較遠(yuǎn)，導(dǎo)致數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果的應(yīng)用價(jià)值大打折扣。雖然能夠得到10萬元消費(fèi)券所產(chǎn)生的消費(fèi)額最優(yōu)，但需要認(rèn)識到統(tǒng)計(jì)不存在絕對的正確，更應(yīng)該注重標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)置，如果標(biāo)準(zhǔn)本身存在一定差異性，結(jié)論自然也不會統(tǒng)一。這樣有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，有利于學(xué)生采用統(tǒng)計(jì)知識解決實(shí)際問題[3]。

（三）實(shí)踐反思

首先，教師要注重學(xué)生的學(xué)習(xí)感受，更多地站在學(xué)生視角來看待教學(xué)應(yīng)用效果，同時(shí)要求教師充分發(fā)揮指引者角色，主導(dǎo)課程的推進(jìn)，并善于找出實(shí)際生活中存在的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)，啟發(fā)學(xué)生感受建模的魅力。為此，教師要豐富自身的理論知識，提升實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，做到堅(jiān)持學(xué)習(xí)、留心觀察、善于發(fā)掘，可以以熟悉的標(biāo)準(zhǔn)作為切入點(diǎn)，開發(fā)更優(yōu)質(zhì)的情境和更有價(jià)值的問題。

其次，教師要指導(dǎo)好學(xué)生進(jìn)行選題工作，許多中職學(xué)生的數(shù)學(xué)知識儲備不夠充足，缺少研究經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)常會出現(xiàn)遇到問題時(shí)采用的研究方法不夠高效，受到主觀條件的嚴(yán)重限制。也有部分學(xué)生在選擇問題時(shí)會受到不可測因素多、涉獵面寬泛等客觀因素的影響，導(dǎo)致選取的問題意義較低，并對選擇的問題難度缺少準(zhǔn)確認(rèn)知。因此，教師在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行選題時(shí)，不要過于注重問題的實(shí)際難度，而要盡可能選擇自己了解的、擅長的、不可測因素較少的問題。

最后，學(xué)生應(yīng)當(dāng)作為數(shù)學(xué)建模教學(xué)的主體，深度參與數(shù)學(xué)建模，并展現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)特性，不再依賴教師講題、學(xué)生模仿練習(xí)的傳統(tǒng)教學(xué)模式，而是更多地采用小組交流的方式，保證人人動(dòng)腦、人人參與，并由教師提供平臺，使學(xué)生能夠自由地展示自我。同時(shí)，教師在小組分配時(shí)要考慮到不同學(xué)生之間的個(gè)體差異性，以便學(xué)生能夠在組內(nèi)可以自主交流，使學(xué)生在展示自我的過程中獲得自信與成就感，并產(chǎn)生對研究數(shù)學(xué)的興趣[4]。

四、結(jié)束語

綜上所述，通過對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)方式存在的不足之處開展分析討論，提出了一系列適應(yīng)“互聯(lián)網(wǎng)+”背景下的數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì)路徑，包括設(shè)置好建模問題、實(shí)現(xiàn)問題的理想化、打造數(shù)學(xué)模型、完成模型的呈現(xiàn)與修正等，以此幫助中職院校教師充分發(fā)揮數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用優(yōu)勢，更好地解決實(shí)際問題，幫助學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參? 考? 文? 獻(xiàn)

[1]蔡璐，李新菊，韓祥臨.數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)層級下提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的教學(xué)探究[J].教學(xué)與管理，2022（36）：99-103.

[2]黃華，王飛，宋艷萍.基于“項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)+以賽促學(xué)”教學(xué)模式的數(shù)學(xué)建模教學(xué)探索與實(shí)踐[J].高教學(xué)刊，2022，8（17）：108-111.

[3]黃慧青，溫坤文，胡漢章.翻轉(zhuǎn)課堂在地方院校數(shù)學(xué)建模教學(xué)中應(yīng)用的可行性探討[J].高教學(xué)刊，2022，8（01）：96-99.

[4]馬志宏.將課程思政融入大學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)? 提升學(xué)生綜合素養(yǎng)的研究與實(shí)踐[J].天津農(nóng)學(xué)院學(xué)報(bào)，2021，28（04）：101-104.

侯萬超（1993-），男，漢族，江蘇連云港，本科，助理講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。