冒奕敏

【摘要】垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理是初中數(shù)學(xué)幾何中解圓與三角形問(wèn)題中經(jīng)常運(yùn)用到的一條定理，既考查了學(xué)生的抽象思維，也考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，要求學(xué)生能夠在圓的半徑、弦心距、弦的一半中選擇正確的線段，構(gòu)造出直角三角形，然后結(jié)合勾股定理，求出所需的線段長(zhǎng)度.本文列舉三道例題，介紹垂徑定理在解圓與三角形結(jié)合的線段長(zhǎng)問(wèn)題中幾種常見(jiàn)的考查方式，并給出分析思路和解題過(guò)程，希望可以幫助學(xué)生們對(duì)垂徑定理的應(yīng)用有更深的了解，對(duì)抽象思維和數(shù)形結(jié)合方法有更全面的認(rèn)識(shí).

【關(guān)鍵詞】圓；三角形；垂徑定理

在運(yùn)用垂徑定理計(jì)算圓與三角形的問(wèn)題中，計(jì)算或證明圓心到弦的垂線段、弓高、半徑或弦長(zhǎng)時(shí)，通常需作出圓心到弦的垂線段，垂足就是弦的中點(diǎn)，再利用半徑、弦心距和弦長(zhǎng)的一半，構(gòu)造出直角三角形，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解.

例1 已知圓O的半徑長(zhǎng)為26，圓內(nèi)有AB和CD兩條弦，AB∥CD，且AB的長(zhǎng)為48，CD的長(zhǎng)為20，求弦AB與弦CD之間的距離為多少？

解題思路 本題要求計(jì)算的是兩弦之間的距離，證明圓心到弦的垂線段、弓高、半徑或弦長(zhǎng)時(shí)，首先要根據(jù)題目已知條件和所求問(wèn)題，作出正確的輔助線，通常作圓心到弦的垂線段，以半徑、弦的一半、弦心距為三邊構(gòu)造一個(gè)直角三角形，再利用勾股定理即可進(jìn)行求解.注意，本題需要考慮弦AB、CD在圓心的同側(cè)還是異側(cè).

解 因?yàn)橄褹B與CD相對(duì)于圓心的位置有兩種可能，所以需要分類討論.

第一種情況，當(dāng)兩弦在圓心的同側(cè)時(shí)，如圖1所示.

過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，

因?yàn)锳B∥CD，

所以EF⊥AB，

則線段EF的長(zhǎng)等于弦AB與CD之間的距離.

CD=20，

所以DE=12CD=10，

由題目可知OD=26，

在Rt△OED中，由勾股定理有

在Rt△OFB中，由勾股定理有

所以EF=OE-OF=14.

第二種情況，當(dāng)兩弦在圓心的異側(cè)時(shí)，如圖2所示.

過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)EO交AB于點(diǎn)F，

因?yàn)镃D∥AB，

所以EF⊥AB，

則線段EF的長(zhǎng)等于弦AB與CD之間的距離.

在Rt△OED中，由勾股定理有

在Rt△OFB中，由勾股定理有

則EF=OE+OF=34.

故弦AB與弦CD之間的距離為14或34.

例2 ?如圖3，線段OD為圓O的半徑，AE為圓O的直徑，AB是圓O的弦，且長(zhǎng)度為16，OD垂直AB交AB于點(diǎn)C，CD的長(zhǎng)等于4，求線段CE的長(zhǎng)為多少？

解 如圖3，連接BE，設(shè)圓O的半徑為x，

有OC=OD-CD=x-4，

因?yàn)镺D⊥AB，

在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理有

AO2=AC2+OC2，

即x2=82+（x-4）2，

解得x=10，

則OC=x-4=6，

因?yàn)锳C=BC，AO=OE.

所以BE=2OC=12，

因?yàn)锳E為直徑，

所以∠ABE=90°，

在Rt△CBE中，

例3 如圖4所示，圓O的直徑為20，線段AB和CD分別為圓的兩條弦，其中AB的長(zhǎng)為16，CD的長(zhǎng)為12.MN為圓的直徑，AB與MN相互垂直，相交于點(diǎn)E，CD與MN相互垂直，相交于點(diǎn)F，點(diǎn)P為線段EF上的任意一點(diǎn)，求線段PA與PC長(zhǎng)度之和的最小值為多少？

解題思路 求圓中的線段的最短長(zhǎng)度，或者兩點(diǎn)之間的最短距離問(wèn)題，需要運(yùn)用到轉(zhuǎn)化的思想.因?yàn)閳A是一種典型的軸對(duì)稱圖形，以直徑為對(duì)稱軸，圓上任意一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)都落在圓上，因此作出其中一點(diǎn)關(guān)于直徑的對(duì)稱點(diǎn)，把分散的線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上，即根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”的原理把最短距離轉(zhuǎn)化為弦長(zhǎng)，就可以求得這兩條線段之和的最短長(zhǎng)度.

解 如圖5所示，連接BC，交MN于點(diǎn)P，連接AP，過(guò)點(diǎn)B作MN的平行線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

根據(jù)垂徑定理可知AP=BP，

所以PA+PC=BP+PC，

因此，當(dāng)點(diǎn)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，線段PA與PC的長(zhǎng)度之和取得最小值，

因?yàn)镸N是圓O的直徑，AB⊥MN，CD⊥MN，

所以AE=BE=8，CF=DF=6.

易知四邊形EBHF為矩形，

所以FH=EB=8，

CH=CF+FH=14，

連接OA，OA=10，

連接OC，同理得OF=8，

所以BH=EF=OE+OF=14，