王琪瓊

【摘要】數(shù)學(xué)課程主要由代數(shù)與幾何兩大部分構(gòu)成，前者主要研究數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，做題時(shí)以計(jì)算為主，后者則主要研究圖形的空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)，其中初中數(shù)學(xué)中的幾何知識(shí)以學(xué)習(xí)平面幾何為主，難度雖然不是特別大，但是對(duì)學(xué)生的空間觀念有著一定的要求，解答幾何題時(shí)往往會(huì)遇到很多的障礙，教師可指導(dǎo)學(xué)生借助多元解題技巧突破幾何題解題障礙.本文針對(duì)如何借助多元解題技巧突破初中數(shù)學(xué)幾何題解題障礙做探討，并羅列部分解題案例.

【關(guān)鍵詞】解題技巧；初中數(shù)學(xué)；幾何

幾何知識(shí)屬于初中數(shù)學(xué)課程的重要構(gòu)成部分，幾何題在各類(lèi)考試中也占據(jù)著較為關(guān)鍵的地位，分值也不少，因?yàn)閹缀晤}較為靈活，涉及的知識(shí)比較廣泛，邏輯性也較強(qiáng)，不少學(xué)生遇到一些有難度的題目時(shí)就不知道該如何下手，從而影響學(xué)生做題的積極性與繼續(xù)學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的自信心.初中數(shù)學(xué)教師在幾何題解題訓(xùn)練中應(yīng)傳授給學(xué)生一些常用的解題技巧，使其借助技巧能夠快速準(zhǔn)確的找到切入點(diǎn)，輔助學(xué)生順利突破幾何題的解題障礙，增強(qiáng)學(xué)習(xí)幾何的自信心.

1 合理利用代數(shù)法突破幾何題解題障礙

代數(shù)同幾何一樣均屬于數(shù)學(xué)知識(shí)范疇，是數(shù)學(xué)課程體系的兩大構(gòu)成部分，在初中數(shù)學(xué)幾何題解題教學(xué)中，學(xué)生需樹(shù)立“大數(shù)學(xué)”觀，除利用幾何方面的知識(shí)以外，還要學(xué)會(huì)合理利用代數(shù)知識(shí)去解答幾何試題，讓學(xué)生突破幾何題的解題障礙.具體來(lái)說(shuō)，初中數(shù)學(xué)教師可以指導(dǎo)學(xué)生將一些特殊的幾何題轉(zhuǎn)變成代數(shù)問(wèn)題，由此展開(kāi)計(jì)算、推理或者證明，使其創(chuàng)新思維得到很好的培養(yǎng)，增進(jìn)幾何同代數(shù)之間的聯(lián)系，并有效提升學(xué)生的整體數(shù)學(xué)解題能力[1].

例1 如圖1所示，已知等邊三角形ABC，其中點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別位于邊BC，CA，AB上，請(qǐng)證明三角形DEF的周長(zhǎng)不小于三角形ABC周長(zhǎng)的二分之一.

解析 本幾何題所要證明的結(jié)論較為特殊，是兩個(gè)三角形周長(zhǎng)之間的關(guān)系，純粹利用幾何知識(shí)證明起來(lái)難度較大，步驟復(fù)雜，很難把結(jié)論證明出來(lái)，不少學(xué)生甚至無(wú)處下手，難以找到證明的出發(fā)點(diǎn)，往往半途而廢，這時(shí)教師可以提醒學(xué)生使用代數(shù)知識(shí)，根據(jù)題目?jī)?nèi)容聯(lián)系到不等式，使其據(jù)此展開(kāi)推理與證明.

具體解題技巧如下：設(shè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，AF=x，BD=y，CE=z，

2 巧妙添加輔助線(xiàn)突破幾何題解題障礙

輔助線(xiàn)作為初中數(shù)學(xué)幾何題中的一個(gè)關(guān)鍵解題因素，學(xué)會(huì)添加與應(yīng)用輔助線(xiàn)是每位學(xué)生都需要掌握的技能之一，這是除掌握常見(jiàn)題型解題方法以外應(yīng)關(guān)注的一個(gè)重要問(wèn)題，當(dāng)部分幾何題無(wú)法直接解出或者遇到瓶頸時(shí)，學(xué)生通過(guò)添加合適的輔助線(xiàn)往往能夠產(chǎn)生豁然開(kāi)朗的感覺(jué).對(duì)此，初中數(shù)學(xué)教師在幾何題解題訓(xùn)練中，應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況在原圖上巧妙添加輔助線(xiàn)，借此降低題目的難度，使其快速找到解題的切入點(diǎn)，讓學(xué)生突破難題障礙[2].

解析 學(xué)生通過(guò)對(duì)題目?jī)?nèi)容的閱讀與圖形的觀察和分析后發(fā)現(xiàn)，無(wú)法直接求出這兩條線(xiàn)段在這種形式下的值，這時(shí)教師可要求學(xué)生認(rèn)真觀察與研究圖形，嘗試畫(huà)出輔助線(xiàn)，將題設(shè)中的兩條線(xiàn)段通過(guò)轉(zhuǎn)化整合至一條線(xiàn)段之中，以此降低本道題目的難度，使其輕松求出最小值的大小.

具體解題技巧如下：由于∠C是直角，AC的值是1，

3 運(yùn)用逆向思維法突破幾何題解題障礙

針對(duì)初中數(shù)學(xué)幾何題教學(xué)來(lái)說(shuō)，證明題是一種十分常見(jiàn)的題型，處理這類(lèi)題目時(shí)對(duì)學(xué)生的推理能力有著較高的要求，不過(guò)有些題目從正向思維視角進(jìn)行證明時(shí)難度較大，或者比較復(fù)雜、步驟較多，這時(shí)教師可以提醒學(xué)生基于逆向思維視角切入，使其輕松證明結(jié)論.因此，初中數(shù)學(xué)教師在幾何證明題解題訓(xùn)練中，應(yīng)指引學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行逆向思考，從題干中要證明的結(jié)論展開(kāi)，如果發(fā)現(xiàn)結(jié)果同命題之間相互矛盾，這就說(shuō)明結(jié)論是不成立的[3].

例3 如圖3所示，在圓O中有AB與CD兩條弦，且這兩條弦均不是直徑，請(qǐng)證明弦AB和弦CD不能相互平分.

解析 針對(duì)這樣的幾何證明題，學(xué)生短時(shí)間內(nèi)很難找到正確的證明方法，便可以嘗試使用逆向思維的方式進(jìn)行證明假設(shè)這兩條圓內(nèi)的非直徑弦能夠相互平分，再推理與求證，找出同某些定理存在沖突，由此將題設(shè)給證明出來(lái).

具體解題技巧如下：設(shè)弦AB和弦CD相交于點(diǎn)P，把OP連接起來(lái)，假設(shè)弦AB和弦CD能夠相互平分，那么AP與BP、CP與DP均是相等關(guān)系，又因?yàn)橄褹B和弦CD是圓O內(nèi)兩條非直徑的弦，所以O(shè)P與AB、OP與CD均是垂直關(guān)系，這明顯同“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)同已知直線(xiàn)垂直”這一定理相沖突，故假設(shè)不成立，所以說(shuō)弦AB和弦CD是不能相互平分的.

4 科學(xué)使用平移法突破幾何題解題障礙

平移法是處理幾何試題的一個(gè)常用方法，根據(jù)需要，平移的對(duì)象可以是整個(gè)圖形、圓、角、直線(xiàn)與線(xiàn)段等，平移只能夠改變圖形的位置，不會(huì)改變圖形的形狀與大小，而且平移前后的線(xiàn)段平行，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)平行且相等，對(duì)應(yīng)角的兩邊分別平行且方向一致，這一性質(zhì)在解題中起著重要作用.當(dāng)幾何題目中出現(xiàn)相互平行且相等的線(xiàn)段，或所求問(wèn)題并沒(méi)有在同一個(gè)圖形內(nèi)時(shí)，初中數(shù)學(xué)教師可以引領(lǐng)學(xué)生科學(xué)使用平移法，使其通過(guò)平行的某些要素解題[4].

例4 如圖4所示，在一個(gè)四邊形ABCD中，AB與CD是相等關(guān)系，AD與BC是平行關(guān)系，且AD的長(zhǎng)度比BC小，那么∠B和∠C之間有著什么樣的關(guān)系？

解析 學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行認(rèn)真觀察以后能夠發(fā)現(xiàn)，∠B和∠C距離較遠(yuǎn)，很難直接判斷出它們之間的大小關(guān)系，而且根據(jù)題干中提供的已知信息與條件難以進(jìn)行計(jì)算，無(wú)法準(zhǔn)確判定兩者的關(guān)系，此時(shí)教師可以指引學(xué)生使用平移法，通過(guò)將邊AB平移，再結(jié)合平行與三角形相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解題.

具體解題技巧如下：由于AB與CD是相等關(guān)系，AD與BC是平行關(guān)系，AD的長(zhǎng)度比BC小，那么可以把邊AB平移至圖中DE的位置，有AB平行且等于DE，DE與CD是相等關(guān)系，再根據(jù)“兩直線(xiàn)平行，同位角相等”得到∠B=∠DEC，則三角形DEC是一個(gè)等腰三角形，由此得到∠DEC=∠C，即為∠B=∠C，也就說(shuō)∠B和∠C是相等關(guān)系.

5 精準(zhǔn)應(yīng)用建系法突破幾何題解題障礙

初中生已經(jīng)對(duì)平面直角坐標(biāo)系相關(guān)知識(shí)有所接觸與學(xué)習(xí)，再加上對(duì)點(diǎn)、線(xiàn)相關(guān)公式的掌握，學(xué)生具備在平面直角坐標(biāo)系中處理問(wèn)題的知識(shí)基礎(chǔ)與能力.對(duì)于初中數(shù)學(xué)幾何題教學(xué)而言，當(dāng)純粹使用幾何知識(shí)與方法很難求解時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生精準(zhǔn)應(yīng)用建系法嘗試解題，結(jié)合題目中給出的信息與條件建構(gòu)出相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，使其結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)變成坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算與解答，由此降低幾何題的難度，促使學(xué)生快速、準(zhǔn)確地求得答案[5].

例5 如圖5所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，正方形CGEF的邊長(zhǎng)是3，其中點(diǎn)B，C，G位于同一條直線(xiàn)上，點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，連接MF，那么MF的值是多少？

解析 ?通過(guò)對(duì)題意的分析發(fā)現(xiàn)僅僅依靠簡(jiǎn)單的計(jì)算無(wú)法解答這一幾何題，而在原圖上建立平面直角坐標(biāo)系則能夠快速求解，當(dāng)建立好平面直角坐標(biāo)系以后，只需求點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用已知點(diǎn)F的坐標(biāo)，就能夠求出MF的長(zhǎng)度，而且點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，所以知道A，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)就能夠求出M點(diǎn)的坐標(biāo).

具體解題技巧如下：根據(jù)題意，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，BC為x軸，CF為y軸，建立如圖6所示的平面直角坐標(biāo)系，能夠得到點(diǎn)A的坐標(biāo)是（－2，2），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（3，3），由于點(diǎn)M是AE的中點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)F的坐標(biāo)是（0，3），

結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式能夠得到

6 結(jié)語(yǔ)

總而言之，在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練活動(dòng)中，教師要格外關(guān)注幾何題的設(shè)計(jì)與練習(xí)，以幫助學(xué)生掌握扎實(shí)的理論知識(shí)為前提，注重同代數(shù)知識(shí)之間的聯(lián)系，精心設(shè)計(jì)幾何專(zhuān)題訓(xùn)練，要求學(xué)生以認(rèn)真閱讀題目?jī)?nèi)容、仔細(xì)審題為基本出發(fā)點(diǎn)，根據(jù)具體題目靈活運(yùn)用代數(shù)法、輔助線(xiàn)、逆向思維、平移法與建系法等多元解題技巧突破解題障礙，不斷提高學(xué)生的幾何解題水平.

參考文獻(xiàn)：

[1]張海霞.初中幾何題的解題思路分析[J].數(shù)理天地（初中版），2022（22）：31-32.

[2]李芳.輔助線(xiàn)在初中幾何解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理天地（初中版），2022（08）：2-3.

[3]楊靜靜.綜合法和解析法在初中幾何解題中的應(yīng)用探討[J].數(shù)理化解題研究，2021（17）：28-29.

[4]朱小平.初中幾何解題教學(xué)的“破”與“立”[J].湖北教育（教育教學(xué)），2021（05）：72-74.

[5]雷春霞.圖形分析法在初中幾何解題中的應(yīng)用策略探究[J].考試周刊，2021（33）：49-50.