滿百舉，劉霞輝,2，孫怡龍

（1.中國社會科學(xué)院大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院，北京 102488；2.中國社會科學(xué)院經(jīng)濟研究所，北京 100836；3.山東社會科學(xué)院國際經(jīng)濟與政治研究所，濟南 250002）

0 引言

相比于傳統(tǒng)的代表性代理人框架，異質(zhì)性代理人框架有著更為豐富的理論結(jié)果和實踐優(yōu)勢[1]。首先，由豐富微觀數(shù)據(jù)所驅(qū)動的異質(zhì)性使得宏觀經(jīng)濟學(xué)模型能夠更加貼合現(xiàn)實經(jīng)濟行為。Ahn等（2018）[2]考察了工人技術(shù)水平的異質(zhì)性，發(fā)現(xiàn)負(fù)向沖擊將造成低技能勞動者的更大損失。其次，在討論政策效應(yīng)的時候，以代表性經(jīng)濟主體為核心分析對象的同質(zhì)性模型只能給出平均意義上的政策效應(yīng)。而政策制定者往往最關(guān)心政策在各階層個體之間的分配效應(yīng)，對此同質(zhì)性模型似乎無能為力。Auclert（2019）[3]研究了異質(zhì)性框架下財政政策的傳導(dǎo)機制對社會消費的影響。除了代表性模型下的收入和替代效應(yīng)外，他還指出在居民之間存在異質(zhì)性的條件下，貨幣政策將會通過收入異質(zhì)性、未預(yù)期通脹異質(zhì)性以及利率暴露渠道重新分配社會財富，影響社會總消費。最后，宏觀的總體行為都是微觀主體博弈結(jié)果的加總，因此微觀上的異質(zhì)性也會導(dǎo)致宏觀結(jié)果異于傳統(tǒng)理論。有學(xué)者指出，個人、家庭以及企業(yè)的異質(zhì)性會通過個人信貸約束、異質(zhì)性的貨幣傳導(dǎo)渠道等方式影響總需求，從而加重危機并延緩經(jīng)濟復(fù)蘇的腳步。因此，宏觀異質(zhì)性代理人模型是理解現(xiàn)代宏觀經(jīng)濟系統(tǒng)動態(tài)變化的核心框架。

此外，宏觀異質(zhì)性代理人模型的應(yīng)用范圍也逐步擴展到財政問題以及貨幣問題的研究之中。Huntley 和Michelangeli（2014）[4]擴展了具有特異性收入沖擊和借貸約束的生命周期理論，發(fā)現(xiàn)異質(zhì)性居民在經(jīng)歷短暫的收入沖擊后，居民對于稅收抵扣的邊際消費傾向顯著高于代表性模型中的結(jié)果。Kaplan 和Violante（2014）[5]構(gòu)建了雙資產(chǎn)結(jié)構(gòu)經(jīng)濟學(xué)模型，證明了在存在收入異質(zhì)性的情況下，將會有大量經(jīng)濟主體成為“hand-to-mouth”類型的消費者，即擁有大量非流動性資產(chǎn)但卻幾乎沒有流動性資產(chǎn)的個體。與Huntley 和Michelangeli（2014）[4]的結(jié)論類似，這些消費者對于財政抵扣將會有非常大的邊際消費傾向。

目前，雖然具有豐富異質(zhì)性的宏觀經(jīng)濟模型越來越普遍，但其在應(yīng)用過程中仍然存在諸多問題。一方面，到目前為止，異質(zhì)性模型的應(yīng)用大多停留在計算和模擬層面；另一方面，對于異質(zhì)性模型來說，計算上的復(fù)雜和困難是一大障礙，對于異質(zhì)性模型的求解需要強大的算力支撐。例如，異質(zhì)性主體的隨機增長模型會導(dǎo)致時變的代理人資本分布，使得基于資本分布的價格變成隨機變量，從而極大增加了個人隨機優(yōu)化問題的求解難度。

1 離散時間異質(zhì)性代理人模型

1.1 早期發(fā)展

Bewley（1986）[6]、Imrohorolu（1989）[7]、Aiyagar（i1994）[8]以及Hugget（t1993）[9]是早期將異質(zhì)性因素加入宏觀模型的代表。Bewley（1986）[6]在研究貨幣均衡問題時，構(gòu)建了交換經(jīng)濟異質(zhì)性模型的基礎(chǔ)框架。Imrohorolu（1989）[7]將異質(zhì)性風(fēng)險引入分析，比較了具有特異性風(fēng)險的完全保險市場與具有信貸約束的非完全保險市場。文章定義了不變分布的含義，即對未來無窮期分布預(yù)測的極限。值得注意的是，文章中對于具有借貸約束的模型采用了值函數(shù)迭代算法進行求解；而對于沒有借貸約束的情形，值函數(shù)迭代算法的效率較低，因此可采用蒙特卡洛（Monte Carlo）模擬法進行求解。

Aiyagari（1994）[8]較早將個人未保險的特異性勞動沖擊引入隨機增長模型中，發(fā)現(xiàn)預(yù)防性儲蓄和預(yù)算約束僅能解釋總體儲蓄率上升的很小部分。它能夠很好地解釋財富和收入不平等的上升，因此逐漸成為研究收入和財富不平等問題的基礎(chǔ)框架。Hopenhayn（1992）[10]將異質(zhì)性生產(chǎn)率沖擊加入企業(yè)決策過程中，考察了市場中企業(yè)進入和退出的動態(tài)調(diào)整過程。然而，該文沒有使用數(shù)值解法進行求解。相反，它使用比較靜態(tài)分析研究了模型的穩(wěn)態(tài)行為。Huggett（1993）[9]構(gòu)建了純交換異質(zhì)性不完全市場經(jīng)濟，發(fā)現(xiàn)異質(zhì)性環(huán)境下的無風(fēng)險利率比相應(yīng)代表性模型中的無風(fēng)險利率還要低。除了理論上的貢獻，該文還提出了求解異質(zhì)性模型的值函數(shù)迭代算法，為異質(zhì)性模型的求解提供了基礎(chǔ)方法。至此，特異性沖擊就成為異質(zhì)性模型建模的必要組件。

另一篇開創(chuàng)性文章是Krusell和Smith（1998）[11]的研究。除了考慮個人所面臨的特異性沖擊外，文章還將總體的勞動生產(chǎn)率沖擊引入異質(zhì)性模型，使得模型設(shè)定更加符合實際。更重要的是，它提出了“近似聚合（Approximate Aggregation）”的概念，即總體變量的演化規(guī)律僅由截面分布的均值決定，其分布并不影響總體狀態(tài)變量的演化動態(tài)。但需要注意的是，這并不能說明異質(zhì)性毫無意義。相反，個人面臨的特異性風(fēng)險對于理解均衡中的平均消費和儲蓄至關(guān)重要，風(fēng)險的存在增加了儲蓄，從而使得總消費減少了約2%。

1.2 不完全市場模型

不完全市場環(huán)境是異質(zhì)性代理人模型的基礎(chǔ)設(shè)定及邏輯起點。如果市場是完全的，即市場中存在可以保障家庭免受風(fēng)險沖擊的狀態(tài)依賴保險，那么異質(zhì)性模型的結(jié)果就等價于同質(zhì)性模型。只有家庭面臨的異質(zhì)性沖擊無法被保險市場完全保障時，異質(zhì)性代理人模型才有討論的價值。

基礎(chǔ)的不完全市場異質(zhì)性代理人模型的基本設(shè)定如下：模型為純交換模型，家庭的最優(yōu)化問題是標(biāo)準(zhǔn)的無窮期貼現(xiàn)效用問題，它從消費流中獲得效用，并具有固定的貼現(xiàn)率0 ＜β＜1。家庭的瞬時效用函數(shù)為嚴(yán)格凹函數(shù)，嚴(yán)格遞增并且二階可微。特異性的收入或者勞動沖擊導(dǎo)致家庭的總收入是滿足特定條件的隨機過程，Huggett（1993）[9]假設(shè)其勞動或收入是兩狀態(tài)馬爾可夫鏈。市場中僅有一種固定回報為R的無風(fēng)險資產(chǎn)a，且缺乏狀態(tài)依賴證券來保障代理人免除收入風(fēng)險。因此，代理人只能通過儲蓄無風(fēng)險資產(chǎn)a來進行自我保險，并以此來平滑消費。代理人的決策問題是在期初決定消費ct以及儲蓄at。

后續(xù)文獻對基礎(chǔ)模型進行了多個方面的擴展。從模型設(shè)定上講，Aiyagari（1994）[8]將新古典生產(chǎn)函數(shù)引入模型，使得異質(zhì)性模型擴展到生產(chǎn)經(jīng)濟。在該經(jīng)濟中，唯一的資產(chǎn)a不僅具有儲蓄價值，也是生產(chǎn)性資本。因此，模型中資本回報率的決定方式就從固定利率假設(shè)變?yōu)榱藗袌龅墓┣缶鈼l件。從模型框架上看，Imrohorolu（1989）[7]、Huggett（1993）[9]、Rios-Rull（1995）[12]將生命周期引入異質(zhì)性框架，使得模型能夠更加準(zhǔn)確地刻畫由人口年齡結(jié)構(gòu)變動帶來的經(jīng)濟動態(tài)變化。在此基礎(chǔ)上，異質(zhì)性O(shè)LG模型逐漸成為研究社會保障問題的基礎(chǔ)框架之一。

1.3 理論結(jié)果

對于異質(zhì)性模型解的存在性和唯一性問題，Miao（2006）[13]通過壓縮映射定理證明具有總體沖擊的Bewley模型存在序貫均衡，并且這種均衡可以通過遞歸形式表示。這為異質(zhì)性模型的數(shù)值解法奠定了理論基礎(chǔ)。此外，也有文章證明了在不完全市場條件下一大類異質(zhì)性模型均衡的存在性。事實上，在沖擊幅度較小時，局部均衡不僅存在，而且唯一。

相比于代表性代理人模型，異質(zhì)性代理人模型的求解更為復(fù)雜和困難。首先，同質(zhì)性模型只需要求解聯(lián)系上下期狀態(tài)變量和控制變量的政策函數(shù)，而異質(zhì)性模型需要求解更為復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系。舉例來說，由于經(jīng)濟主體的異質(zhì)性，描述整體經(jīng)濟狀態(tài)的變量也就從包含消費、資本等變量的有限維向量變?yōu)榱嗣枋鰻顟B(tài)分布和隨機性沖擊的無限維對象，因此解的形式也就從向量函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)楸碚鲝漠?dāng)期分布到下期分布的泛函映射。借用Algan等（2014）[14]的符號，該泛函為從t期的分布Ft和沖擊ht到t+1 期分布Ft+1的映射Γ:Ft+1=Γ(ht+1，ht，F(xiàn)t)。其次，大量的特異性沖擊導(dǎo)致模型表現(xiàn)出非常嚴(yán)重的非線性特征。最后，借貸約束的存在造成政策函數(shù)不可微，使得傳統(tǒng)的求解算法失效。

1.4 數(shù)值解法

由于模型的高度非線性，即使是最簡單的異質(zhì)性模型也幾乎不存在解析解，因此求解模型的工作重點是開發(fā)高效穩(wěn)健的數(shù)值算法。從目前來看，求解異質(zhì)性模型的數(shù)值算法總體上可以分為擾動法、投影法以及混合方法。

擾動法的核心思想是在穩(wěn)態(tài)處進行泰勒展開，從而將均衡條件轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)進而使用已有工具求解。擾動法有以下幾個特點：首先，它可以對財富分布的演化進行分析表征，并保證求解出的政策函數(shù)達到預(yù)先選擇的近似階數(shù)。其次，擾動法具有普遍適用性。其他數(shù)值解法僅適用于沖擊為低維馬爾可夫過程的情形，但是擾動法對于隨機性的來源和形式?jīng)]有過多限制。最后，它還可以求解高維隨機變量的情況，甚至連續(xù)型隨機變量。但值得注意的是，擾動法是求解異質(zhì)性模型的局部算法，而且傳統(tǒng)的擾動法依賴于值函數(shù)和政策函數(shù)的連續(xù)性及可微性，因此不能解決帶有約束限制的問題。

使用擾動法求解異質(zhì)性模型的例子有很多。Preston和Roca（2007）[15]使用二階擾動法求解了帶有特異性收入風(fēng)險的異質(zhì)性模型，認(rèn)為個人的最優(yōu)儲蓄決策幾乎是其資本存量的線性函數(shù)，因此其結(jié)論支持了永久收入理論。不僅如此，這還為“近似聚合（Approximate Aggregation）”理論提供了證據(jù)。與此類似，Kim 等（2010）[16]將邊界約束轉(zhuǎn)換為懲罰函數(shù)，將代表性經(jīng)濟的解作為總體變量的演化方程，從而將擾動法拓展到帶有邊界約束以及連續(xù)個體的情形，并提高了擾動法的計算效率。然而，根據(jù)總結(jié)，該算法的精確度較低，即使增加格點數(shù)目，誤差也不會有太大改進。

投影法的基本思想是通過已知函數(shù)（基函數(shù)）來近似模型中的非線性政策函數(shù)或者值函數(shù)。投影法的求解邏輯分兩步。第一步是將狀態(tài)變量空間離散化，并且定義擬合函數(shù)在每個格點上的誤差計算規(guī)則。第二步是在給定損失函數(shù)的情況下尋找最優(yōu)的擬合系數(shù)。Haan（1997）[17]使用光滑的指數(shù)函數(shù)作為基函數(shù)，從而將分布函數(shù)以及總體變量的運動定律轉(zhuǎn)變?yōu)橛邢蘧S系數(shù)向量，再通過非線性方程的求解算法計算模型穩(wěn)態(tài)。Algan等（2014）[14]在其基礎(chǔ)上，使用參數(shù)化分布方法優(yōu)化了總體狀態(tài)變量的更新過程，從而優(yōu)化了擬合系數(shù)的求解過程。Den Haan 和Rendahl（2010）[18]則通過顯性聚合的方式直接積分個人的政策函數(shù)，從而得到總體變量的演化方程。這種方法避免了參數(shù)化過程的求解，提高了投影法的計算效率。相比于擾動法，投影法能夠獲得系統(tǒng)在全局下的最優(yōu)解，因此是全局優(yōu)化算法，但是為此也要做出計算復(fù)雜度上的犧牲。

越來越多的文獻綜合了擾動法和投影法的優(yōu)點，使用混合方法來求解模型。Krusell和Smith（1998）[11]將投影法和模擬技術(shù)（簡稱KS算法）結(jié)合起來求解模型。對于個人的最優(yōu)化決策行為，他使用標(biāo)準(zhǔn)的投影法進行求解，然后使用數(shù)值模擬程序回歸得出總體變量的運動定律。通過有限理性設(shè)定，他猜想資本運動動態(tài)符合對數(shù)線性形式，即下期的均衡總資本僅僅是當(dāng)期總資本均值（對數(shù)形式）的線性函數(shù)，從而以分布均值來代替無限維分布本身。KS算法對于非近似聚合模型的求解精度較差，但是它確實提供了一種全局求解算法。在此基礎(chǔ)上，后續(xù)文章或修改了總體變量運動定律的模擬方法，或使用簡單的多項式規(guī)則來構(gòu)造資本格點，使得算法對于非線性問題的求解更加準(zhǔn)確。

Reiter（2009）[19]將投影法和擾動法結(jié)合起來求解Bewley模型。他先使用投影法求解出具有特異性沖擊但是沒有總體沖擊的穩(wěn)態(tài)均衡，再對模型在無總體沖擊均衡附近使用擾動法將其展開為線性系統(tǒng)，這種思想為后續(xù)異質(zhì)性模型的求解提供了新的思路。更進一步，使用系統(tǒng)和控制論中的降維工具降低了狀態(tài)向量和政策向量的維度，使擾動法的適用范圍擴展到狀態(tài)依賴定價的異質(zhì)性企業(yè)模型以及高維狀態(tài)變量問題。Winberry（2015）[20]使用雙變量對數(shù)正態(tài)分布作為基函數(shù)，將狀態(tài)變量的聯(lián)合分布投影到基函數(shù)空間中，從而將無窮維對象轉(zhuǎn)換為五維參數(shù)向量，并使用矩匹配方法完成分布參數(shù)向量的更新，之后再通過現(xiàn)有的Dynare 軟件包來實現(xiàn)三階擾動計算。在求解最優(yōu)Ramsey 政策規(guī)則時，部分文獻使用截斷函數(shù)法逐步近似無總體沖擊的異質(zhì)性模型穩(wěn)態(tài)，再通過Dynare實現(xiàn)在穩(wěn)態(tài)解處的擾動。

1.5 精確度評估

對于代表性模型的求解，現(xiàn)有算法可以根據(jù)需要做到任意精確度的計算，但這對異質(zhì)性模型的求解并不成立。事實上，對于算法精確度的評估也存在不同的方法。第一種是直接利用歐拉方程來計算格點上的最大歐拉方程殘差。第二種是考察格點增加前后計算結(jié)果的差異。如果格點增加前后的結(jié)果相差不大，那么可以認(rèn)為計算結(jié)果是精確和有效的。同樣地，也可以通過擴大格點范圍或者選取不同的擬合函數(shù)來測試算法的穩(wěn)健性。

在異質(zhì)性模型中，總體變量的運動規(guī)律至關(guān)重要，因此可以通過考察總體變量運動規(guī)律的準(zhǔn)確性來定義算法的穩(wěn)健性。 Krusell 和Smith（1998）[11]對計算出的總體變量運動規(guī)律進行回歸，將總體變量（總資本）回歸的可決系數(shù)R2以及回歸標(biāo)準(zhǔn)誤σ?u作為算法的精確度指標(biāo)。但Den Haan 等（2010）[21]指出，即使回歸結(jié)果的可決系數(shù)R2超過0.9999，數(shù)值結(jié)果依然可能是不準(zhǔn)確的。他提出的算法評估方式的基本步驟是：（1）生成資本序列以及初始分布Γ0；（2）由求解所得的個人政策函數(shù)生成橫截面數(shù)據(jù)，并計算總資本；（3）根據(jù)方程=α1+α2at+α3以及初始資本序列生成總資本序列；（4）計算序列和的最大差值。

Den Haan（2010）[22]從計算時間、個人的政策函數(shù)、總資本計算精確度等指標(biāo)層面全面比較了不同的擾動法和投影法以及Krusell 和Smith（1998）[11]的算法、Reiter（2009）[19]的算法等混合算法的性能。雖然沒有任何一種算法在每個指標(biāo)上的表現(xiàn)都是最好的，但在精確度指標(biāo)上，Reiter（2009）[19]、Den Haan和Rendahl（2010）[18]的算法表現(xiàn)最為穩(wěn)定，他們的整體表現(xiàn)也最為優(yōu)異。

2 連續(xù)時間異質(zhì)性代理人模型

2.1 連續(xù)時間的Aiyagari-Bewley-Huggett模型

2.1.1 基本模型設(shè)定

（1）最優(yōu)化問題假設(shè)存在連續(xù)的無窮個體，相應(yīng)的資產(chǎn)和收入分別為a和y。個人效用遵循標(biāo)準(zhǔn)的期望貼現(xiàn)效用假設(shè)，其未來的期望貼現(xiàn)效用為：

其中，ct≥0 表示每一期的消費水平，ρ≥0 是時間貼現(xiàn)率，效用函數(shù)u嚴(yán)格單調(diào)遞增且為嚴(yán)格凹函數(shù)。

Huggett（1993）[9]假設(shè)個人的收入yt服從外生的兩狀態(tài)泊松過程，即yt∈{y1，y2}，y2＞y1。兩個狀態(tài)的密度分別為λ1和λ2，即該過程由狀態(tài)1 轉(zhuǎn)移到狀態(tài)2的概率為λ1，相應(yīng)地，從狀態(tài)2轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1 的概率是λ2。因此，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：

在實際校準(zhǔn)過程中，收入的兩種狀態(tài)分別對應(yīng)失業(yè)和就業(yè)，因此λ1和λ2分別表示失業(yè)者的工作獲得率和就業(yè)者失去工作的概率。個人財富的表現(xiàn)形式是固定供給的非生產(chǎn)性債券a。在給定收入和利率rt的情況下，個人的資產(chǎn)動態(tài)為：

而在Aiyagari（1994）[8]經(jīng)濟中，個人的收入yt由工資wt和特異性生產(chǎn)率zt組成，即yt=wtzt。此外，設(shè)定個人資產(chǎn)存在一個借貸約束-∞＜-a≤0，則：

綜上所述，個人的優(yōu)化問題是在給定資產(chǎn)動態(tài)（見式（3））和借貸約束（見式（4））的條件下，最優(yōu)化個人的未來期望貼現(xiàn)效用（見式（1））：

由于時間上的連續(xù)性，因此經(jīng)濟體的狀態(tài)必須使用概率密度函數(shù)來刻畫。本文使用gj(a，t)，j=1，2 來表示當(dāng)收入為yj以及財富為a時的聯(lián)合分布的概率密度函數(shù)。另外，記Gj(a，t)，j=1，2 為相對應(yīng)的累積分布函數(shù)。因此，該經(jīng)濟的狀態(tài)變量就是資產(chǎn)和收入的聯(lián)合分布gj(a，t)，j=1，2。

（2）價格。在Huggett（1993）[9]模型中，個人只積累外生給定的非生產(chǎn)性債券。在該經(jīng)濟系統(tǒng)中，利率rt是唯一的價格變量，它的值由債券的供給平衡確定：

其中，0 ≤B＜+∞表示債券總量，B=0 意味著債券的凈供給為0。

而在Aiyagari（1994）[8]的研究中，個人的財富表現(xiàn)為其所擁有的生產(chǎn)性資本a，代表性企業(yè)使用該資本并雇傭勞動力進行生產(chǎn)，總資本即為全體成員的資本之和。代表性企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)具有常規(guī)模報酬，并且要素市場是競爭性的。因此，相應(yīng)的均衡條件為：

其中，r和w分別為穩(wěn)態(tài)（zt=zˉ=1）時的工資和利率，δ表示資本折舊率。

（3）效用函數(shù)設(shè)定為嚴(yán)格單調(diào)遞增以及嚴(yán)格凹的函數(shù)。一般均選取常相對風(fēng)險規(guī)避效用函數(shù)（CRRA），即：

2.1.2 穩(wěn)態(tài)均衡

Aiyagari-Bewley-Huggett模型的穩(wěn)態(tài)均衡形式為：

對于j=1，2，有：

其中，j+k=3，sj(a)=yj+r-cj(a)，cj(a)=(u')-1v'j(a)。因此，sj(a)和cj(a)分別表示j類型個體的儲蓄和消費政策函數(shù)。

值得注意的是，Achdou 等（2022）[23]指出，在連續(xù)時間模型中，借貸約束（見式（4））在狀態(tài)空間內(nèi)部都將以等式的形式出現(xiàn)，并且在邊界約束處的形式可以轉(zhuǎn)變?yōu)闋顟B(tài)邊界條件，j=1，2。此外，均衡中的利率或者工資率由債券供求平衡條件式（6）或者式（7）來確定。

2.1.3 轉(zhuǎn)移動態(tài)

除了定義上述穩(wěn)態(tài)均衡之外，還可以定義相應(yīng)的轉(zhuǎn)移動態(tài)。這一轉(zhuǎn)移動態(tài)表示經(jīng)濟體由初始穩(wěn)態(tài)向最終穩(wěn)態(tài)演進的過程。模型的轉(zhuǎn)移動態(tài)可以表示為下述時間依賴的偏微分方程組：

其中，?x f表示函數(shù)f對于x的偏導(dǎo)數(shù)，公式中其他符號的含義和穩(wěn)態(tài)均衡中相應(yīng)符號的含義相同。當(dāng)然，相應(yīng)的狀態(tài)約束邊界條件也就轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

此外，狀態(tài)變量的分布函數(shù)gj滿足相應(yīng)的初始條件gj(a，0)=gj，0(a)。而相應(yīng)的值函數(shù)也滿足一個終止條件，即vj(a，∞)=vj(a)，其中，vj(a)為相應(yīng)問題的穩(wěn)態(tài)均衡值函數(shù)。

2.2 理論結(jié)果

在理論方面，Achdou等（2022）[23]證明了當(dāng)跨期替代彈性大于1時，連續(xù)時間異質(zhì)性模型的穩(wěn)態(tài)不僅存在而且唯一。文章對邊際儲蓄傾向做了解析刻畫，并且證明代理人在經(jīng)受長時期的低收入沖擊后，將會在有限時間內(nèi)到達預(yù)算約束。對于帶有狀態(tài)約束的HJB方程的解，部分文章指出其對應(yīng)于偏微分方程中的粘性解概念，并且證明若使用懲罰函數(shù)法求解帶有狀態(tài)約束的HJB方程，當(dāng)懲罰因子趨向于無窮時，HJB方程的解將會收斂到原方程的粘性解。

更為重要的是，Achdou 等（2022）[23]指出，任何不帶有總體沖擊的無限個體異質(zhì)性代理人模型的解都可以歸結(jié)為一個耦合的偏微分方程系統(tǒng)，其中，第一個方程是在給定狀態(tài)變量概率密度函數(shù)演化規(guī)則下表征個體最優(yōu)消費和儲蓄規(guī)則的漢密爾頓-雅可比-貝爾曼（Hamilton-Jacobi-Bellman，HJB）方程，第二個是在給定個體最優(yōu)儲蓄行為時資產(chǎn)概率密度函數(shù)演化規(guī)則的柯爾莫哥洛夫前向方程（Kolmogorov Forward Equation，KFE）。這樣的偏微分方程系統(tǒng)對應(yīng)于“平均場博弈”系統(tǒng)（Mean Field Game，MFG），該系統(tǒng)中的HJB 方程和KFE 方程的微分算子是相互共軛的，并且總體沖擊是系統(tǒng)的“共同噪聲”（common noise）。

除解的存在性及求解理論外，Acemoglu 和Jensen（2015）[24]還指出，當(dāng)個體受到正向沖擊時，即使該沖擊僅影響經(jīng)濟體中的部分主體，整個經(jīng)濟體的總體變量穩(wěn)態(tài)均衡值也會變大。

2.3 數(shù)值算法

求解離散時間異質(zhì)性模型和連續(xù)時間異質(zhì)性模型的算法既有聯(lián)系又有區(qū)別。離散時間異質(zhì)性模型的求解核心是近似狀態(tài)變量分布，由此可區(qū)分為擾動法、投影法以及模擬法，而連續(xù)時間異質(zhì)性模型的均衡條件可以劃歸為一組偏微分方程。有學(xué)者使用有限差分法來求解僅具有特異性沖擊的連續(xù)時間異質(zhì)性模型的均衡狀態(tài)（見式（9））。該算法先將連續(xù)時間的偏微分方程進行離散化，再利用HJB 方程和KFE 方程離散轉(zhuǎn)移矩陣互為轉(zhuǎn)置的特點以及高效的矩陣迭代算法進行數(shù)值求解。有限差分法被證明是一種簡單、有效且容易擴展的求解連續(xù)時間異質(zhì)性模型的算法，并且被證明可一致地收斂到真實解。

在此基礎(chǔ)上，類似于Reiter（2009）[19]的研究中使用的擾動法思想，Winberry（2015）[20]將異質(zhì)性模型的求解分為兩個階段。他先使用有限差分法求解不帶總體沖擊的模型穩(wěn)態(tài)，再利用高效的非線性矩陣方程微分算法求解在無總體沖擊穩(wěn)態(tài)附近的局部擾動。Ahn等（2018）[2]借助工程計算中的觀測矩陣對擾動法做了整體降維，極大地提高了算法的計算效率。

除了傳統(tǒng)的數(shù)值算法之外，迅猛發(fā)展的機器學(xué)習(xí)方法也被引入到連續(xù)時間異質(zhì)性模型的求解中。相比于傳統(tǒng)的求解方法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法具有以下優(yōu)勢：第一，通用近似定理在理論上保證了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的適用性，且該算法也適用于非凸函數(shù)或者不可微函數(shù)的求解；第二，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系數(shù)的計算可以通過現(xiàn)有的梯度下降法或者后向傳播法來進行有效估計；第三，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對于高維問題的計算更加高效；第四，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法具有優(yōu)秀的外推性質(zhì)。

3 結(jié)論

宏觀理論的發(fā)展以及數(shù)據(jù)可得性的提高促進了宏觀異質(zhì)性模型的發(fā)展，宏觀異質(zhì)性模型的發(fā)展也從離散時間版本逐步發(fā)展為連續(xù)時間版本，連續(xù)時間的宏觀異質(zhì)性模型的均衡條件表述更為簡潔。總體來看，相比于離散時間模型，連續(xù)時間模型擁有理論和計算上的優(yōu)勢。第一，連續(xù)時間模型可以輕松處理諸如預(yù)算約束、固定成本等非凸性問題以及值函數(shù)或政策函數(shù)不可微的情形。對于帶有狀態(tài)約束的異質(zhì)性模型，離散事件模型求解過程中將會出現(xiàn)大量難以求解的不等式約束。而連續(xù)時間模型則將其轉(zhuǎn)化為求解偏微分方程系統(tǒng)的邊界條件[2,23]，從而提高了運算效率。第二，由于連續(xù)時間模型中HJB方程和KFE方程的共軛性質(zhì)，離散化后的轉(zhuǎn)移矩陣互為轉(zhuǎn)置，因此在求得任意一個方程的離散化形式后，幾乎可以直接得到另一個方程的離散化形式。第三，在連續(xù)時間模型下可以得到預(yù)算約束處個人行為的定量描述，甚至是解析形式，可以更加清晰地了解模型性質(zhì)，這在離散時間設(shè)定下很難做到。第四，由于連續(xù)時間的性質(zhì)，因此離散化后的系數(shù)矩陣是稀疏矩陣。這在一定程度上解決了“維數(shù)詛咒”問題，擴大了連續(xù)時間模型的應(yīng)用范圍。第五，相比于離散時間模型中穩(wěn)態(tài)均衡和轉(zhuǎn)移動態(tài)需要使用不同算法進行求解的缺點，連續(xù)時間模型具有算法通用的特點。由于方程形式的近似性，因此只需要進行簡單修改，穩(wěn)態(tài)均衡的求解算法就能夠運用到轉(zhuǎn)移動態(tài)的求解中。

宏觀異質(zhì)性代理人模型具有深刻的理論和現(xiàn)實意義，能夠更加細(xì)致地刻畫現(xiàn)實經(jīng)濟運行的特征，將會成為宏觀經(jīng)濟模型的重要組成部分。伴隨著計算數(shù)學(xué)、動力系統(tǒng)等學(xué)科的發(fā)展，新的求解算法將不斷涌現(xiàn)，其求解難度將逐步降低。從模型構(gòu)造和求解邏輯上分析，在離散時間模型基礎(chǔ)上發(fā)展起來的連續(xù)時間模型更為簡潔和高效，其應(yīng)用范圍會愈加寬廣。當(dāng)然，本文對于異質(zhì)性模型的梳理還僅限于特異性沖擊的情形，對于具有總體沖擊的情況，還需要另外討論。