石上瑤，劉家豪，石 萱，陳鵬云

（1.中北大學軟件學院，太原 030051；2.中北大學機械工程學院，太原 030051；3.浙江財經(jīng)大學東方學院會計學院，浙江 嘉興 314408）

0 引言

自抗擾控制（active disturbance rejection controllers，ADRC）是由韓京清教授設計的一種具有總擾動觀測并實時補償?shù)南冗M設計方法［1］，現(xiàn)在廣泛應用于航天航空光電跟蹤系統(tǒng)和裝甲車輛的火炮跟瞄系統(tǒng)。所謂“自抗擾”，就是要主動從被控對象的輸入輸出信號中提取總擾動信息——包含系統(tǒng)模型的未知部分和外擾動，然后直接對控制輸入信號進行補償，抵消掉總擾動的作用，從而大大降低擾動對被控量的影響［2-3］。

最近幾年，ADRC 技術(shù)在工程上的成功應用范例越來越多［4-7］，吸引了理論界越來越多的關(guān)注，使其在理論上不斷完善。在自抗擾控制理論中，擴張狀態(tài)觀測器（extended state observer，ESO）把系統(tǒng)中的不確定項或者干擾視為系統(tǒng)中的狀態(tài)之一，建立新的狀態(tài)空間（也就是擴張空間或者叫增廣空間），對這個系統(tǒng)進行觀測，從而得到不確定項的估計值［8］，是實現(xiàn)擾動在線估計和補償?shù)年P(guān)鍵。但是現(xiàn)有的ESO 模型有著明顯的缺陷，文獻［9］提出當存在未知有界擾動時，擴展狀態(tài)觀測器的估計誤差不能收斂到零，狀態(tài)和擾動存在跟蹤誤差，而這種誤差會直接影響閉環(huán)系統(tǒng)的控制效果。文獻［14］對傳統(tǒng)ESO 的理論研究證明了只對常值擾動和低頻擾動有好的跟蹤性能，但是對高頻擾動尤其是諧波擾動跟蹤誤差大且跟蹤相位有較大滯后，造成系統(tǒng)閉環(huán)控制精度低。

針對上述問題，為了進一步提高ADRC 的控制性能，本文擬從傳統(tǒng)擴張觀測器出發(fā)，通過對傳統(tǒng)擴張觀測器動態(tài)方程的研究，提出一種無差擾動跟蹤ESO（error-free disturbance tracking ESO，EFDTESO），可用于ADRC 控制器。仿真實驗表明，基于EFDT-ESO 的ADRC（EFDT-ESO-ADRC）具有跟蹤精度高、抗擾能力強、頻率穩(wěn)定性好等優(yōu)點，對誤差擾動具有較強的魯棒性，可以應用于航天航空和裝甲車輛，以提高光電跟蹤系統(tǒng)和火炮跟瞄系統(tǒng)的跟蹤精度。

1 EFDT-ESO

考察以下一階線性系統(tǒng)：

其中，x1為系統(tǒng)狀態(tài)；y 為系統(tǒng)的輸出；系統(tǒng)輸入u，b系統(tǒng)增益；f 為系統(tǒng)總擾動。

式（1）對應的擴張狀態(tài)式為：

所以有

考慮到現(xiàn)有的ESO 存在系統(tǒng)擾動跟蹤誤差，需要本文提出一種無差擾動跟蹤狀態(tài)觀測器動態(tài)方程為：

由于式（5）中存在對系統(tǒng)輸出的微分操作，會放大系統(tǒng)的噪聲，所以在設計EFDT-ESO 時，需要忽略微分環(huán)節(jié)。

由式（6）可以得到如圖1 所示的控制框圖。

圖1 EFDT-ESO-ADRC 控制框圖Fig.1 Control block diagram of EFDT-ESO-ADRC

2 EFDT-ESO-ADRC 閉環(huán)控制系統(tǒng)

2.1 EFDT-ESO-ADRC

由第1 章分析可知，基于本文提出的EFDTESO，對于一階不確定系統(tǒng)可以構(gòu)造一個類PI 控制器，實現(xiàn)無誤差跟蹤觀測擾動。采用的相應狀態(tài)反饋控制率為：

其中，k1為控制器增益。

那么由式（3）可得到傳遞函數(shù)：

通過化簡，可以進一步得到：

由式（2）得到ESO 傳遞函數(shù)：

由狀態(tài)反饋控制率可以得到其傳遞函數(shù)：

由式（9）可得：

把式（9）與式（12）代入式（11）可得：

其中，

則由式（14）可以得EFDT-ESO-ADRC 的反饋控制率在頻域表達式如下：

由此，可以得到基于EFDT-ESO 的ADRC 的閉環(huán)控制如圖2 所示。

圖2 ADRC 閉環(huán)控制框圖Fig.2 Closed-loop control block diagram of ADRC

基于圖2，通過等價變換，可以得到如圖3 所示的基于EFDT-ESO 的ADRC 閉環(huán)控制原理框圖。

圖3 基于EFDT-ESO 閉環(huán)控制框圖Fig.3 Closed-loop control block diagram of EFDT-ESO

基于EFDT-ESO 的ADRC 閉環(huán)控制系統(tǒng)的等價單位負反饋開環(huán)傳遞函數(shù)：

對圖2 進一步移位變換，可以得到EFDT-ESOADRC 的閉環(huán)控制框圖，如圖4 所示。

圖4 基于EFDT-ESO 的ADRC 閉環(huán)控制框圖Fig.4 ADRC closed-loop control block diagram based on EFDT-ESO

2.2 EFDT-ESO 穩(wěn)定性分析

對于一階系統(tǒng)的EFDT-ESO 而言，由式（2）和式（6）很容易可以得到下式：

因此，其傳遞函數(shù)為：

由式（6）可得如下傳遞函數(shù)：

因此，由式（19）和式（20）可以得到：

把式（9）帶入式（21）可得：

因此，可得：

因此，本文提出的EFDT-ESO 滿足穩(wěn)定性條件。

其中，Ed是傳統(tǒng)ESO 的擾動估計的誤差ed的拉氏變換；F 是一階系統(tǒng)擾動f 的拉氏變換；是傳統(tǒng)ESO 的擾動估計的拉氏變換。

因此，傳統(tǒng)ESO 對于常值擾動有較好的跟蹤效果，對于低頻擾動有較小的跟蹤誤差，但是對于高頻等其他擾動跟蹤誤差較大，所以傳統(tǒng)ESO 只適合于常值或低頻擾動系統(tǒng)。

由本節(jié)推導的式（24）可知，本文提出的EFDTESO 不但對常值、低頻擾動有很強跟蹤能力，而且對于高頻擾動也具有很好的跟蹤效果。

3 仿真與結(jié)果分析

3.1 EFDT-ESO-ADRC 頻率分析與仿真

對于ADRC 系統(tǒng)，由于其控制的復雜性，對其進行頻率分析比較少，現(xiàn)有文獻只是采用簡化近似的方法推導其閉環(huán)控制傳遞函數(shù)［11-12］，或者在假設的條件下得到控制系統(tǒng)的近似等價單位負反饋開環(huán)傳遞函數(shù)，再通過Bode 圖［13］，得到相位穩(wěn)定裕度和穿越頻率。

本節(jié)將基于上節(jié)推導出的EFDT-ESO-ADRC等價單位負反饋開環(huán)傳遞函數(shù)，并通過仿真得到系統(tǒng)的相位裕度、幅值裕度和穿越頻率等穩(wěn)定指標進行頻率分析。

在頻率穩(wěn)定性仿真中，觀測器參數(shù)和狀態(tài)反饋控制參數(shù)采用極點重根的選取原則，則有：

那么可得：

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

最后可得基于EFDT-ESO-ADRC 的閉環(huán)系統(tǒng)等價單位負反饋開環(huán)傳遞函數(shù)為：

表1 給出了基于不同系統(tǒng)參數(shù)和控制參數(shù)的ADRC 閉環(huán)控制系統(tǒng)，分別研究系統(tǒng)和控制參數(shù)變化時，ADRC 閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性，對幅值裕度、相位裕度和穿越頻率等穩(wěn)定指標進行對比。

表1 一階系統(tǒng)與控制參數(shù)Table 1 First-order system and control parameters

通過MATLAB 編程仿真，圖5、圖6 分別繪制出C1-1、C1-2、C2-1、C2-2 與B 閉環(huán)控制系統(tǒng)的等價單位負反饋開環(huán)系統(tǒng)的對比Bode 圖。下頁表2對比了如下3 種情況的閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定指標：

表2 基于表1 的閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定指標Table 2 Stability indexes of closed-loop control system based on table 1

圖5 基于B、C1-1 和C1-2 參數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)Bode 圖Fig.5 Bode diagram of closed-loop system based onB，C1-1 and C1-2 parameters

圖6 基于B、C2-1 和C2-2 參數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)Bode 圖Fig.6 Bode diagram of closed-loop system based on B，C2-1 and C2-2 parameters

1）B 與C1-1、C1-2 對比；

2）B 與C2-1、C2-2 對比；

3）B 與C3-1、C3-2 對比。

基于C1-1、C1-2 參數(shù)的EFDT-ESO-ADRC 閉環(huán)控制系統(tǒng)，只是對參照閉環(huán)系統(tǒng)B 的系統(tǒng)增益b作了改變。由圖5 和表2 分析可知，在EFDT-ESO 的名義增益不變情況下，系統(tǒng)增益越大，相位裕度越大，穿越頻率越高，截止頻率越高，而延遲裕度越低。

基于C2-1、C2-2 參數(shù)的EFDT-ESO-ADRC 閉環(huán)控制系統(tǒng)，只是相對參照系統(tǒng)B 的EFDT-ESO 的觀測帶寬ωo和控制帶寬ωc作了相應修改。由圖6和表2 分析可知，隨著EFDT-ESO 的觀測帶寬ωo和控制帶寬ωc的增大，相位裕度越大，穿越頻率越高，截至頻率越高，但延遲裕度越小。

基于C3-1、C3-2 參數(shù)的EFDT-ESO-ADRC 閉環(huán)控制系統(tǒng)，只是對參照閉環(huán)系統(tǒng)B 的系統(tǒng)名義增益作了改變。由圖7 和表2 分析可知，在系統(tǒng)增益不變情況下，系統(tǒng)名義增益越大，相位裕度越小，穿越頻率越低，截止頻率越低，而延遲裕度越大。

圖7 基于B、C3-1 和C3-2 參數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)Bode 圖Fig.7 Bode diagram of closed-loop system based on B，C3-1 and C3-2 parameters

3.2 EFDT-ESO-ADRC 的性能分析與仿真

在無人戰(zhàn)車的火炮跟瞄控制系統(tǒng)中，由于路況高低起伏未知，以及傳動鏈的抖動和火炮發(fā)射的反沖，使火炮末端存在沖擊和振動，即有外界未知諧波擾動，以傳統(tǒng)ESO 的閉環(huán)系統(tǒng)作為參照標準，同一條件下與EFDT-ESO 的閉環(huán)回路系統(tǒng)進行仿真對比，對比仿真使用的傳統(tǒng)ESO 模型如下：

觀測器參數(shù)和狀態(tài)反饋控制參數(shù)采用極點重根的選取原則，則有：

圖8 擾動跟蹤對比Fig.8 Disturbance tracking comparison

圖9 擾動跟蹤誤差對比Fig.9 Disturbance trackingerror comparison

圖10 輸入信號與輸出信號對比Fig.10 Comparison between input signals and output signals

圖11 控制精度對比Fig.11 Control accuracy comparison

由仿真結(jié)果可以明顯看出，本文提出的EFDT-ESO 不但可以跟蹤常值擾動，而且對諧波擾動也具有優(yōu)良的跟蹤能力，相比于傳統(tǒng)ESO，顯著提高了擾動跟蹤性能，特別是面對大幅諧波擾動系統(tǒng)，具有更好的諧波擾動跟蹤能力。因此，基于EFDT-ESO 的ADRC 面對諧波擾動時具有更好的抗干擾能力。同時，EFDT-ESO-ADRC 相比于傳統(tǒng)ADRC 具有更快的響應速度，可以實現(xiàn)對階躍信號的快速響應和穩(wěn)定跟蹤；在穩(wěn)定階段，EFDT-ESO-ADRC 的輸入跟蹤精度遠高于傳統(tǒng)的ADRC，且可快速跟蹤擾動信號。因此，相比于傳統(tǒng)ADRC，本文提出的EFDT-ESO-ADRC 具有跟蹤精度高、抗擾能力強等優(yōu)點，對諧波擾動具有強的魯棒性等優(yōu)勢，更適用于有高頻諧波擾動的系統(tǒng)，可以顯著抑制系統(tǒng)的振動，提高系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

針對現(xiàn)有ESO 的不足，本文提出一種可用于ADRC 的EFDT-ESO，并進行了頻率與性能分析和控制精度與抗干擾能力仿真。本研究可得到以下結(jié)論：

1）EFDT-ESO 相比于傳統(tǒng)的ESO 在擾動跟蹤以及抗干擾能力方面有顯著的優(yōu)勢，尤其是存在諧波擾動的情況下，基于EFDT-ESO 的ADRC 可以有效地消除諧波擾動，顯著抑制了系統(tǒng)的振動。

3）被控系統(tǒng)系數(shù)EFDT-ESO-ADRC 參數(shù)ωo、ωc、在大范圍內(nèi)的改變，并不影響EFDT-ESOADRC 閉環(huán)控制的穩(wěn)定性，充分證明了基于EFDTESO-ADRC 的控制系統(tǒng)具有強魯棒性。