張 亮 陳 輝 李檳檳 周必雷 陳 浩

（1.空軍預(yù)警學院預(yù)警技術(shù)系 武漢 430019）（2.中國人民解放軍94326部隊 濟南 250000）

1 引言

尺度變換（Scale Transform，ST）是一種特殊的梅林變換［1］（Mellin Transform，MT），相比傅里葉變換（Fourier Transform，F(xiàn)T）理論研究及在眾多領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用，ST的研究應(yīng)用相對不足［2］。嚴格意義上，ST 是MT 復變量實部取0.5 時的特殊情況，其重要的性質(zhì)為尺度不變性（Scale-invariant），即原始信號與尺度信號ST 包絡(luò)相同、相位不同，而FT 不具備該特性，實際上FT 為時移不變（Shift-invariant）。文獻［1］最早通過分析尺度算子特征值、特征函數(shù)得到ST 表示式，以此為基礎(chǔ)，進一步提出尺度卷積、尺度相關(guān)、平均尺度與帶寬、尺度能量密度、短時尺度變換、瞬時尺度、尺度不確定理論、聯(lián)合尺度表示等概念，從理論上構(gòu)成了完善的尺度分布。圍繞ST 數(shù)值計算問題，文獻［3］提出一種高效的快速尺度變換（Fast Scale Transform，F(xiàn)ST）計算方法，通過對原始信號插值重采樣，可利用快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）實現(xiàn)，該方法能夠確保ST 執(zhí)行效率，但在處理指數(shù)采樣方法及對待零點的問題上不盡完善，影響了計算精度。相同思路，文獻［4］對文獻［3］所提方法進行了深入改進，并將FST 計算復雜度控制在可接受范圍內(nèi)。針對上述方法需要對原始信號重采樣問題，文獻［5］提出一種離散尺度變換（Discrete Scale Transform，DST）計算方法，并拓展至二維尺度變換（Two-dimensional Scale Transform，2D-ST），但該方法計算復雜度較高?，F(xiàn)有ST 應(yīng)用研究主要集中于圖像處理［6］、語音信號識別［7］、尺度濾波［8］、尺度不變系統(tǒng)設(shè)計［9］、超聲波溫度補償［10］等領(lǐng)域，另外，ST在計算寬帶雷達模糊函數(shù)、速度估計克拉美羅界及信號時頻分布方面還存在明顯優(yōu)勢。結(jié)合ST 的尺度不變性、FT 時移不變特性，文獻［11～12］進一步提出傅里葉梅林變換、分數(shù)階梅林變換等衍生形式。相比國外對ST 理論及應(yīng)用的深入研究，國內(nèi)研究更側(cè)重于工具的應(yīng)用［13］，如尺度不變特征提取、圖像加密等。

本文首先對尺度變換及快速算法進行了簡要介紹；其次，引入時間尺度（Time-scaling，TS）、尺度估計（Scale-estimation，SE）概念；然后，針對一維、二維信號TS、SE 實現(xiàn)方法問題，利用快速尺度變換給出了問題解決方案；最后，基于數(shù)字圖像、人為構(gòu)造二維線性調(diào)頻（Linear Frequency Modulation，LFM）信號，對所提方法可行性進行了驗證。

2 尺度變換及快速算法

2.1 尺度變換

尺度變換（ST）屬于一種特殊的梅林變換［1］，表示式為

式中：S{·} 為ST 表示符號，t為時間，c為尺度，Df(c)為信號f(t)的ST，γ(c,t)為ST 特征函數(shù)，具體為相位求導易得其瞬時頻率為c/t。γ( )c,t滿足完備性和正交性，即：

式（1）可知，ST 可理解為信號f(t) 在一組不同尺度基函數(shù)γ*(c),t下的表示系數(shù)。式（2）帶入式（1），得到ST簡化形式為

ST 是一種可逆變換，逆尺度變換（Inverse Scale Transform，IST）為

式中：S-1{·} 為IST表示符號，簡化形式為

將ST 拓展至二維，得到信號f(t1,t2)的二維尺度變換（Two-dimensional Scale Transform，2D-ST）為

式中：Df(c1,c2)為信號f(t1,t2)的2D-ST，γ(c1,t1,c2,t2)為2D-ST特征函數(shù)，c1、c2為二維尺度，t1、t2為二維時間。二維尺度逆變換（Two-dimensional Inverse Scale Transform，2D-IST）表示式為

2.2 快速算法

令t=eu，帶入式（5），得到：

IST 可利用快速傅里葉逆變換（Inverse Fast Fourier Transform，IFFT）實現(xiàn)，得到快速逆尺度變換（Inverse Fast Scale Transform，IFST），數(shù)值計算過程與FST 相反，先計算Df(c)的IFFT，再進行對數(shù)采樣。同理，將式（8）、（9）分別表示為

2D-ST、2D-IST同樣可利用二維快速傅里葉變換（2D-FFT）和二維快速傅里葉逆變換（2D-IFFT）快速實現(xiàn)，得到二維快速尺度變換（2D-FST）和二維快速尺度逆變換（2D-IFST），計算思路與FST、IFST一致，不做詳述。

3 時間尺度與尺度估計

3.1 時間尺度

所謂時間尺度（TS），即信號x(t)到y(tǒng)(t)的映射過程，可表示為

式中：TSα[]· 為一維TS 表示符號，α?R+為尺度因子，是為保持TS前后信號能量相同，即：

式（14）可知，對信號進行TS 會導致時域擴張（0<α<1）或收縮（0<α<1），根據(jù)傅里葉變換尺度特性可知：

式中：X(f)、Y(f)分別為x(t)、y(t)的傅里葉變換?？梢钥闯觯瑢π盘栠M行TS 還會導致頻譜收縮（0<α<1）或擴展（0<α<1）。將TS 概念拓展至二維，得到二維信號TS表示式為

式中：x(t1,t2)為TS前信號，y(t1,t2)為TS后信號，α1、α2為二維尺度因子，α1?R+、α2?R+，TSα1,α2[·]為二維TS表示符號。x(t1,t2)、y(t1,t2)同樣滿足：

易知：

式中：X(f1,f2)、Y(f1,f2)分別為x(t1,t2)、y(t1,t2)的二維傅里葉變換，f1、f2為二維頻率。對二維信號進行TS 還會導致信號在不同維度上的時頻擴張或收縮。理論上，TS 概念可推廣至更高維度，基本思路相同，不做詳述。

3.2 尺度估計

所謂尺度估計（SE），即x(t)、y(t)均已知時對尺度因子的估計。為估計尺度因子，需計算y(t)與x(t)的尺度互相關(guān)函數(shù)：

式中：?為尺度互相關(guān)符號，*為共軛轉(zhuǎn)置。Φyx(α)最大值對應(yīng)的尺度因子即為尺度因子估計，可表示為

式中：為尺度因子估計值。式（20）～（21）可理解為以x(t)為模板信號，對y(t)尺度因子的搜索過程。同樣，將SE概念拓展至二維，二維信號y(t1,t2)與x(t1,t2)的尺度互相關(guān)函數(shù)為

Φxy(α1,α2)最大值對應(yīng)的尺度因子即為二維尺度因子估計，可表示為

式中：、為二維尺度因子估計值。SE 概念同樣可推廣至高維，不做詳述。

3.3 實現(xiàn)方法

對連續(xù)信號TS，最為直接方法是對原始信號插值抽取，例如尺度因子為0.5，信號長度會增加1倍，可通過2 倍插值實現(xiàn)，當尺度因子取0.51 時，則需要進行100 倍的插值，再進行51 倍的抽取，這種方法顯然不可接受。為解決一維信號TS 快速實現(xiàn)問題，引用ST 尺度不變性［2］。設(shè)信號y(t)=TSα[x(t)]，則：

式中：Dx(c)、Dy(c)分別為x(t)、y(t)的ST。當x(t)、α已知時，y(t)可表示為：

利用上式可得x(t)的時間尺度y(t)。為估計尺度因子需計算y(t)與x(t)的尺度互相關(guān)函數(shù)Φyx(α)，Φyx(α)同樣可以利用ST實現(xiàn)［11］，即：

對于二維信號，設(shè)y(t1,t2)=TSα1,α2[x(t1,t2)]，容易得到：

利用式（27）即可得到二維信號x(t1,t2)的時間尺度y(t1,t2)，同理，y(t1,t2)與x(t1,t2)尺度互相關(guān)函數(shù)可進一步表示為

結(jié)合式（23）可得y(t1,t2)二維尺度估計。

4 仿真與結(jié)果分析

4.1 時間尺度實現(xiàn)方法可行性

本節(jié)對基于尺度變換的二維TS 實現(xiàn)方法可行性進行驗證，使用的二維信號為艦船圖像，原始圖像及二維快速尺度變換結(jié)果如圖1 所示。設(shè)尺度因子分別為0.8、1.5，根據(jù)3.3 節(jié)方法對原始圖像進行TS，結(jié)果如圖2 所示，利用尺度變換可實現(xiàn)二維TS，其快速算法確保了執(zhí)行效率。

圖2 時間尺度處理結(jié)果

4.2 尺度估計實現(xiàn)方法可行性

本節(jié)對基于尺度變換的二維SE 實現(xiàn)方法可行性進行驗證。設(shè)模板信號為二維LFM 信號，時寬分別為25μs、20μs，帶寬均為5MHz，采樣頻率20MHz，待估計尺度因子分別為1.5 和0.8，模板信號與待估計尺度信號如圖3 所示，計算兩者二維尺度互相關(guān)函數(shù)，結(jié)果如圖4 所示，最大峰值對應(yīng)尺度因子分別為1.5和0.8，與真實尺度因子一致。

圖3 二維線性調(diào)頻信號

圖4 二維尺度因子估計結(jié)果

5 結(jié)語

本文對尺度變換及快速算法進行了介紹，同時針對一維及二維信號時間尺度、尺度估計實現(xiàn)方法問題，利用快速尺度變換給出了問題解決方案。仿真部分利用數(shù)字圖像、人為構(gòu)造信號對基于尺度變換的時間尺度、尺度估計實現(xiàn)方法可行性進行驗證。尺度變換是鏈接時間與尺度的紐帶，對時間尺度、尺度估計實現(xiàn)方法的應(yīng)用及尺度變換快速算法的改進是下步工作的重點。