廣東省東莞市第四高級(jí)中學(xué)(523220) 謝忠忠

一、試題呈現(xiàn)

題目(2024 屆廣東省四高三第一次聯(lián)考)已知過(guò)原點(diǎn)O的直線交橢圓E:于A,B兩點(diǎn),R(2,0),?ABR面積的最大值為

(1)求橢圓E的方程;

(2)連AR交橢圓于另一個(gè)交點(diǎn)C,又分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,求的值.

答案: (1)E:

二、推廣探究

結(jié)論1已知過(guò)原點(diǎn)O的直線交橢圓1(a > b >0)于A,B兩點(diǎn),R(n,0),連AR交橢圓于另一個(gè)交點(diǎn)C,取點(diǎn)分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,則為定值

證明設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),AC的方程為x=ty+n,將其與橢圓方程聯(lián)立得到

將結(jié)論1 中的橢圓換成雙曲線與拋物線,可以得到相應(yīng)的結(jié)論2 和3.

結(jié)論2已知過(guò)原點(diǎn)O的直線交雙曲線E:1(a >0,b >0)于A,B兩點(diǎn),R(n,0),連AR交雙曲線于另一個(gè)交點(diǎn)C, 取點(diǎn)分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,則為定值

結(jié)論3已知過(guò)原點(diǎn)O的直線交拋物線E:y2=2px(p>0)于A,B兩點(diǎn),R(n,0),連AR交拋物線于另一個(gè)交點(diǎn)C,取點(diǎn)P(-n,m)(m /= 0),分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,則為定值

結(jié)論2 和3 的證明與結(jié)論1 類似,不再贅述.

進(jìn)一步,可否將過(guò)原點(diǎn)的直線推廣為過(guò)任意一點(diǎn)的直線呢? 通過(guò)GeoGebra 驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)結(jié)論也成立,故將其進(jìn)行推廣得到:

結(jié)論4已知過(guò)點(diǎn)Q(p,q)的直線交橢圓E:1(a > b >0)于A,B兩點(diǎn),R(n,0),連AR交橢圓于另一個(gè)交點(diǎn)C,取點(diǎn)分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,則為定值

結(jié)論5已知過(guò)點(diǎn)Q(p,q) 的直線交雙曲線E:于A,B兩點(diǎn),R(n,0), 連AR交雙曲線于另一個(gè)交點(diǎn)C,取點(diǎn),m)(m /= 0),分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,則為定值

結(jié)論6已知過(guò)點(diǎn)Q(p,q) 的直線交拋物線E:y2=2px(p>0)于A,B兩點(diǎn),R(n,0),連AR交拋物線于另一個(gè)交點(diǎn)C,取點(diǎn)P(-n,m)(m /= 0),分別記PA,PR,PC的斜率為k1,k2,k3,則為定值

結(jié)論4,5 和6 的證明與結(jié)論1 類似,不再贅述.