游明琳

（貴州師范大學機械與電氣工程學院，貴州 貴陽 550001）

整體式立銑刀因具備良好的切削加工性能而在制造業(yè)中得到廣泛應用[1]。螺旋槽是整體式立銑刀的重要組成部分，其幾何結(jié)構(gòu)直接影響銑刀的切削性能和加工零件的表面質(zhì)量，因此需要通過建模仿真的方式進行預先分析，并計算前角、芯徑和槽寬等關鍵幾何參數(shù)[2-3]。分析和計算方式可以先精確獲取螺旋槽截面廓形再求相關參數(shù)，或者先對螺旋槽準確建模再測算相關參數(shù)[4]。近年來眾多學者致力于研究螺旋槽建模及重要參數(shù)求解，主要提出了3 種方法：解析法、布爾運算法和圖形法[5]。（1）解析法以嚙合原理為核心，根據(jù)砂輪與刀具的包絡運動關系，求出砂輪與螺旋槽之間的瞬時接觸線方程。Kang S K 等[6-7]建立了刃磨過程中砂輪與銑刀之間的接觸線方程，并給出了螺旋槽的計算方法。Dogrusadik A[8]將包絡運動關系應用在球頭銑刀螺旋銑削中，給出了螺旋槽橫截面輪廓的方程。Rababah M[9]詳細介紹了解析法在刀具加工和建模中的應用。Habibi M 等[10]提出了利用虛擬磨削曲線特征求解螺旋槽幾何輪廓的方法。Chen Z 等[11]

基于砂輪與刀具的包絡運動關系，用迭代法計算銑刀螺旋槽二開槽磨削的算法。Shen C 等[12]實現(xiàn)了砂輪加工刀具螺旋槽的參數(shù)化設計。

（2）布爾運算法借助于三維建模軟件的布爾（Boolean）運算功能，按照加工軌跡細分，不斷調(diào)整砂輪與被磨刀具之間姿態(tài)，連續(xù)進行布爾運算操作，從而獲得螺旋槽三維模型。Kim J H 等[13]利用三維軟件建立了立銑刀螺旋槽的實體模型，并定義了前刀面前角、芯徑等刀具幾何參數(shù)。Pei Q 等[14]利用三維軟件建立了球頭銑刀數(shù)控磨削建模與仿真的實用方法。Li G C 等[15]通過布爾運算方法模擬實際螺旋槽的磨削過程，提出了由已知的砂輪幾何外形得到螺旋槽模型的方法。Tost D 等[16]對刀具的橫截面進行動態(tài)布爾運算并重建了螺旋槽三維模型。

（3）圖形法，主要是將砂輪進行離散化表達，然后根據(jù)砂輪與被磨刀具之間的相對空間位姿幾何關系，將螺旋槽描述為若干切削軌跡疊加包絡形成[17]。圖形法所采用的幾何理論簡單，幾乎適用于任何類型砂輪形狀的加工計算，但每個離散點都由迭代運算產(chǎn)生，所以識別或提取螺旋槽截面離散點的邊界成為圖形法研究的難點。眾多學者紛紛在圖形法的廓形識別和提取方法上不斷進行創(chuàng)新，研究出各種各樣圖形圖像法，使得算法能夠更高效、更高精度識別或提取理論截面廓形邊界。

Li G C 等[18]將螺旋槽刃磨過程轉(zhuǎn)化為離散點云處理，并將立銑刀端截面離散為一系列圓環(huán)，通過這些離散圓環(huán)內(nèi)邊界點的計算獲得螺旋槽端面輪廓。中國臺灣的吳育仁等[19]提出RRS （radial-ray shooting）用以取代傳統(tǒng)的齒輪包絡原理進行圓柱形成形磨齒及模擬加工的計算求解出精確的工件齒形。沈志煌等[20]提出DSG（digital scanning graphic），通過掃描屏幕上刀具切削軌跡包絡面的像素點，從而獲得轉(zhuǎn)子的輪廓數(shù)據(jù)。

本研究探索了一種圖形圖像法求解螺旋槽廓形的新算法，能獲取滿足設計和加工要求精度的刀具螺旋槽端截面廓形，簡稱極坐標像素平鋪法（polar pixel method，PPM）。該方法直接由離散點云結(jié)合數(shù)學形態(tài)快速求解螺旋槽橫截面輪廓點云圖像提取邊界，運算過程直觀，解值穩(wěn)定，避開求解接觸線方程，是圖形法又一創(chuàng)新研究和應用。

1 砂輪磨削螺旋槽包絡原理

砂輪磨制螺旋槽的實際運動過程是砂輪以確定的位姿沿棒料軸線運動，同時棒料繞軸線旋轉(zhuǎn)運動，二者共同構(gòu)成螺旋運動。在對螺旋槽磨制過程進行分析時通常將棒料看作固定不動，砂輪在棒料坐標系下做螺旋運動，這樣就將兩個物體的運動關系轉(zhuǎn)換為只有砂輪的運動。建立刀具坐標系[o;x,y,z]和砂輪坐標系[o′;X,Y,Z]，如圖1 所示。其中砂輪軸線和刀具軸線間的夾角為Σ（安裝角），兩坐標系原點沿y軸方向的距離為a（中心距），沿x軸方向的距離為e（ 偏心距），沿z軸方向的距離為d（安全距離）。

設砂輪軸截面輪廓方程f(t)，在砂輪坐標系[o′;X,Y,Z]中建立砂輪回轉(zhuǎn)面方程（1）。

式中：t為參變量，t∈[0,b]；b為砂輪厚度； φG為參變量，φG∈[-π,π]，表示在砂輪某一厚度t對應的平面內(nèi)繞砂輪軸線旋轉(zhuǎn)過的角度。

如圖1 所示，根據(jù)砂輪安裝位置關系和坐標變換原理，容易得出刀具坐標系 [o;x,y,z]與砂輪坐標系[o′;X,Y,Z]的變換關系變換矩陣M為

根據(jù)變換關系可得到砂輪回轉(zhuǎn)面點云轉(zhuǎn)換到刀具坐標系[o;x,y,z]下的方程為

則可求得在刃磨過程中砂輪輪廓面點云形成的曲線簇方程為

用垂直于刀具軸線的平面z=0 截取螺旋槽點云形成的曲線簇，獲得曲線簇在該平面上留下的點云，令z=0，由式（5）可得θ=-zg/p，進而可求得砂輪做螺旋運動包絡形成的運動軌跡點的端截面投影為

設刀具半徑為r，則螺旋槽端截面包絡點滿足在限制條件x2-y2≤r2內(nèi)。

2 螺旋槽輪廓提取方法

PPM 法是借用計算機圖像處理的原理，將大量點云數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)成極坐標像素后結(jié)合數(shù)學形態(tài)學快速獲得點云邊界的一種方法。首先將砂輪離散化處理，并根據(jù)砂輪與刀具之間的相對位姿關系（即加工安裝參數(shù)）進行砂輪與刀具的坐標變換，提取刀具外圓內(nèi)所包絡數(shù)據(jù)點云，即刀具螺旋槽端截面點云。然后將螺旋槽端截面點云由笛卡爾坐標轉(zhuǎn)換為極坐標，生成二值圖像并結(jié)合數(shù)學形態(tài)學提取圖像邊界，最后將圖像邊界還原獲得螺旋槽廓形邊界。

2.1 包絡運動的點云生成

根據(jù)圖1 設定砂輪與刀具的空間位置關系，將離散的砂輪面點云在刀具坐標系下繞z軸做螺旋運動，收集在平面（z=0）留下的所有包絡點，如圖2所示。

圖2 螺旋槽端截面的包絡點云圖

設定邊界條件為刀具半徑r，按式（6）收集端截面在刀具外圓范圍內(nèi)所有包絡點云，稱為目標點云，即滿足要求的刀具端截形點云，如圖3 所示。

圖3 符合刀具半徑內(nèi)的包絡點云圖

2.2 極坐標像素的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換

本文所研究的立銑刀螺旋槽的端面截形為圓形分布的圖像，為了便于存儲和計算，提出一種適合數(shù)學形態(tài)學的極坐標像素平鋪方案。PPM 法采用扇區(qū)像素而不是直角像素進行平鋪排列，沿圓徑向均勻分為U層圓環(huán)（U為正整數(shù)），每層圓環(huán)按等弧長單位均勻劃分多個扇區(qū)，設V是最內(nèi)層區(qū)段中包含的扇區(qū)數(shù)（V為正整數(shù)），則第k層圓環(huán)從原點極軸開始按弧長均勻地劃分為kV個扇區(qū)，其中最外圓環(huán)被分為VU個扇區(qū)部分，整個圓面就被分成個扇區(qū)部分[21]，PPM 法像素平鋪方案如圖4 所示。

圖4 極坐標像素平鋪方案

V和U的值應該正確設置，設置過小，計算效率高，但可能不能充分表示圖像信息，易失真；設置較大，有利于圖像的表示，但會增加計算復雜度。所以V和U的值在設定時要盡量滿足所劃分的極坐標像素面積大小合理，使坐標系統(tǒng)轉(zhuǎn)換引起的圖像失真處在較低水平，從而保持必要的圖像分辨率。在實踐中，根據(jù)扇區(qū)像素面積與直角像素面積近似和扇區(qū)像素弧長與直角像素邊長近似，設置V=4。由此，螺旋槽點云在極坐標像素平鋪方式如圖5 所示。

圖5 極坐標像素平鋪法表示的螺旋槽

在整個圓面上按照等弧長方式進行平鋪極坐標像素，則每個像素點是可以通過對應各自的極坐標進行轉(zhuǎn)換，設極坐標系為O-ρOθ，則有任意螺旋槽點云的笛卡爾坐標(xj,yj)可轉(zhuǎn)換為極坐標(ρj,θj) 。極坐標和極坐標像素之間存在相應的轉(zhuǎn)換關系，如圖6 所示。

圖6 極坐標與極坐標像素轉(zhuǎn)換

設定U和V值后，每層圓環(huán)的寬度為

在每層圓弧上按等弧長平鋪扇形像素，則有每個像素的外圓弧長為

設m為圓環(huán)從原點極軸開始均分的層數(shù)序列，n(m)為第m層的扇形像素的個數(shù)，則有n(m)=mV。

此時可以將螺旋槽點云的極坐標(ρj,θj) 轉(zhuǎn)成m-n坐標圖。

先按式（9）計算點云所在圓環(huán)層數(shù)mj。

式中：int為取整符號。

然后按式（10）計算點云所在的扇區(qū)位置。

代入δρ=r/U和δs=2πr/UV得到

由此完成笛卡爾坐標下螺旋槽點云轉(zhuǎn)換為極坐標像素的圖像點陣形式，如圖7 所示。

圖7 螺旋槽m-n圖像點陣

2.3 數(shù)學形態(tài)學提取圖像邊界

螺旋槽極坐標像素的圖像點陣要進行數(shù)學形態(tài)學運算，需進行數(shù)據(jù)點轉(zhuǎn)化為二值圖像矩陣。處理方法為遍歷(mj,nj)點的位置坐標置元素值為“1”，即前景像素（pixel value= 1）其余矩陣位置設置為“0”，即背景像素（pixel value= 0）[22]，建立螺旋槽點云的二值矩陣，則點云坐標完成二值化處理，所生成的螺旋槽點云極坐標像素平鋪的二值圖像如圖8 所示。

圖8 點云轉(zhuǎn)換的二值圖像

設A為原始二值圖像，B為“結(jié)構(gòu)元素”，通過膨脹運算操作見式（12），可將圖像填充為連通的二值圖像，如圖9 所示，D(A)為膨脹后圖像像素集合[23-24]。

圖9 膨脹操作后圖像圖

式中： ⊕為膨脹運算符。

然后使用膨脹運算相同的結(jié)構(gòu)元素B 進行腐蝕運算操作，見式（13），E(A)為腐蝕后圖像像素集合，則可得到與元素圖像等大小且連通的二值圖像[23-24]。

式中： ⊕為腐蝕運算符。

再選用相同的結(jié)構(gòu)原始B，進行邊界β(A)的運算操作，見式（14），便可獲取二值圖像的邊界[23-24]，如圖10 所示。

圖10 腐蝕操作后提取邊界圖

2.4 螺旋槽邊界輪廓還原

由于數(shù)學形態(tài)學運算操作后的圖像邊界是極坐標像素二值圖像廓形，將極坐標像素邊界輪廓還原為笛卡爾坐標的點陣形式時，需要先將輪廓像素點坐標變換還原操作，獲得螺旋槽邊界點在極坐標像素坐標下點陣形式，如圖11 所示。

圖11 極坐標像素邊界圖

最后將極坐標像素邊界轉(zhuǎn)換為笛卡爾坐標形式，設任一極坐標像素邊界點的坐標為pj(mj,nj)，則變化為對應笛卡爾刀具工件坐標(xj,yj)的表達式為

代入δρ=r/U和δs=2πr/UV得到：

轉(zhuǎn)換后即可得到還原為實際比例尺寸的螺旋槽廓形點。

3 實例分析

有一實際需磨削加工的硬質(zhì)合金平底立銑刀CYXV21204，其刀具參數(shù)、砂輪參數(shù)、安裝參數(shù)見表1～表3。

表1 刀具參數(shù)表

表2 砂輪參數(shù)表

表3 安裝參數(shù)表

在該參數(shù)條件下，離散砂輪參數(shù)φG=10 000和t=1 000，收集的螺旋槽初始目標點云數(shù)為256 365，PPM 法選擇極坐標像素平鋪參數(shù)U=1 000 和V=4，計算的廓形圖如圖12 所示。

圖12 PPM 法 U=1 000 時計算的廓形圖

在同等參數(shù)條件下使用解析法計算螺旋槽截面廓形，計算采樣數(shù)據(jù)點為425 個，廓形圖如圖13 所示。

圖13 解析法計算的廓形圖

顯然，PPM 法所求截面廓形的精度與平鋪參數(shù)U和V直接相關，本實例取V=4，并分別選擇PPM法在U=100、U=500 和U=1 000 時的求解情況與接觸線法進行廓形比較。比較方法是沿接觸線法廓形點的法線方向與PPM 法還原后廓形的交點距離作為誤差的值。

（1）PPM 法U=100 時，所提取的截面廓形兩者比較的誤差分布情況如圖14 所示，其中最大誤差小于10.032 4 μm。

圖14 PPM 法 U=100 與解析法廓形的誤差圖

（2）PPM 法U=500 時，所提取的截面廓形兩者比較的誤差分布情況如圖15 所示，其中最大誤差小于3.354 1μm。

圖15 PPM 法 U=500 與解析法廓形的誤差圖

（3）PPM 法U=1 000 時，所提取的截面廓形兩者比較的誤差分布情況如圖16 所示，其中最大誤差小于1.349 6 μm。

圖16 PPM 法 U=1 000 與解析法廓形的誤差圖

通過PPM 法在U=100、U=500 和U=1 000 的3種情況與解析法計算結(jié)果比較分析，發(fā)現(xiàn)廓形誤差結(jié)果隨著平鋪參數(shù)U增加而減小。當U=1 000 時，其計算的廓形相對解析法的廓形，誤差基本在(-2 μm, 2 μm)范圍內(nèi)，說明PPM 法U=1 000 時足夠滿足設計或加工的精度要求。

4 結(jié)語

為了準確又穩(wěn)定地獲得螺旋槽端截面廓形，本文提出了一種新型數(shù)字化圖形解法——PPM 法。該方法通過砂輪面離散成點后繞被磨刀具z軸做螺旋包絡運動，由極坐標像素平鋪法轉(zhuǎn)換為二值圖像，然后結(jié)合數(shù)學形態(tài)學對二值圖像開閉運算，提取螺旋槽端截形的邊界廓形曲線。關于這一新方法的主要結(jié)論總結(jié)如下：

（1）本算法是以螺旋運動原理為基礎，因此不僅適用于立銑刀螺旋槽的計算，也適用于各類圓柱螺旋槽加工計算。

（2）本算法無需求解接觸線，避開了求解非線性方程，因此該方法解值穩(wěn)定，無奇異解困擾。

（3）通過比較分析，PPM 法計算精度高，能夠滿足刀具實際加工中仿真計算的精度要求，并能提前預測加工刀具的重要參數(shù)和檢驗刀具結(jié)構(gòu)的正確性。

（4）本方法基于像素圖像的數(shù)學形態(tài)學，計算的數(shù)值解精度與點云數(shù)量直接相關，點云數(shù)量越多，計算精度越高，計算量就越大，常常影響計算的效率，但隨著計算機計算性能的提高以及后期算法的優(yōu)化，這一問題應該能夠解決。