陳德海，曹永康，邵 恒，楊 程，邱福亮

（江西理工大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，江西 贛州 341000）

0 引 言

由于永磁同步電機(jī)（permanent magnet synchronous motor，PMSM）具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小、效率高、穩(wěn)定可靠等優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用前景良好，吸引了國(guó)內(nèi)外眾多專家人士，其相關(guān)領(lǐng)域目前主要集中在數(shù)控機(jī)床、機(jī)器人、新能源汽車等。

由于PMSM系統(tǒng)具有非線性、多變量、強(qiáng)耦合等特點(diǎn)，而傳統(tǒng)的PI控制雖然具有算法簡(jiǎn)單、可靠性高、易于調(diào)節(jié)等優(yōu)點(diǎn)，但當(dāng)控制系統(tǒng)遭受外界干擾或者電機(jī)內(nèi)部參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，PI控制抗干擾能力較弱，魯棒性差。為此，形成了許多新的控制算法，如自適應(yīng)控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、滑模控制（sliding mode control，SMC）等。其中SMC由于抗擾性強(qiáng)、響應(yīng)速度快、穩(wěn)定性高等特點(diǎn)，所以經(jīng)常被應(yīng)用于PMSM控制系統(tǒng)中，由于SMC中的開關(guān)切換會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)抖振，使其難以發(fā)揮優(yōu)越性，于是研究者們通過對(duì)傳統(tǒng)趨近律的改進(jìn)，并構(gòu)建了新的滑模速度控制器，以達(dá)到削弱抖振以及提高系統(tǒng)響應(yīng)速度的目的。文獻(xiàn)［1］在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律等速項(xiàng)和指數(shù)項(xiàng)中，引入了系統(tǒng)狀態(tài)變量的冪次項(xiàng)，抖振得到削弱，但力度不足。文獻(xiàn)［2］在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的等速項(xiàng)上引入了系統(tǒng)狀態(tài)變量的絕對(duì)值項(xiàng)，并且以飽和函數(shù)sat（s）取代符號(hào)函數(shù)，曲線平滑度得到提高，補(bǔ)償效果良好。文獻(xiàn)［3］采用了一種新型的指數(shù)趨近律，簡(jiǎn)單引入了系統(tǒng)狀態(tài)變量，并設(shè)計(jì)了滑?？刂破?，加快了響應(yīng)速度，并且無超調(diào)，更快到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)。文獻(xiàn)［4］引入了系統(tǒng)狀態(tài)變量和狀態(tài)變量導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式，并且去除了傳統(tǒng)的符號(hào)函數(shù)，控制效果得到提升。文獻(xiàn)［5］引入狀態(tài)變量?jī)绱雾?xiàng)，將等速項(xiàng)系數(shù)和指數(shù)項(xiàng)系數(shù)改成倒數(shù)關(guān)系。文獻(xiàn)［6］提出一種帶飽和函數(shù)的冪次趨近律，針對(duì)不同階段進(jìn)行速度的自適應(yīng)調(diào)節(jié)，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)得到一定改善。文獻(xiàn)［7，8］用飽和函數(shù)代替了符號(hào)函數(shù)，新加入一個(gè)函數(shù)，抖振和超調(diào)得到控制，但計(jì)算較復(fù)雜。文獻(xiàn)［9～13］改變了傳統(tǒng)的等速項(xiàng)，對(duì)符號(hào)函數(shù)做了優(yōu)化或替換，使之具備趨近速度的自適應(yīng)調(diào)節(jié)能力，但較復(fù)雜，參數(shù)較多。文獻(xiàn)［14］在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律之中，結(jié)合了終端吸引因子以及狀態(tài)變量的冪函數(shù)，控制效果顯著。

本文設(shè)計(jì)了一種新型指數(shù)趨近律，將趨近速度與滑模面函數(shù)的絕對(duì)值結(jié)合起來，在等速項(xiàng)中引入包含對(duì)數(shù)項(xiàng)的分?jǐn)?shù)多項(xiàng)式，并對(duì)符號(hào)函數(shù)進(jìn)行平滑處理。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

設(shè)PMSM滿足以下條件：1）三相定子繞組相互對(duì)稱且相同；2）轉(zhuǎn)子永磁體在氣隙磁場(chǎng)中以正弦波分布；3）忽略定子鐵心飽和，磁路為線性，電感參數(shù)不變；4）轉(zhuǎn)子上沒有阻尼繞組。

選用id＝0的轉(zhuǎn)子磁定向控制方法，在此選擇轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型，PMSM定子電壓方程為

式中 ud，uq為d軸、q軸定子電壓分量；id，iq為d軸、q軸定子電流分量；R為定子電阻；φd，φq為d軸、q軸永磁體磁鏈分量；φf為永磁體磁鏈；ωe為電角速度。

電磁轉(zhuǎn)矩方程為

式中 Te為電磁轉(zhuǎn)矩，Pn為電機(jī)極對(duì)數(shù)。

機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程為

式中 J 為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩，ωm為機(jī)械角速度，ωe＝Pnωm。

2 新型指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)

2.1 傳統(tǒng)指數(shù)趨近律

指數(shù)趨近律算法［15］如下

式中 ε為趨近系數(shù)，q為指數(shù)趨近系數(shù)，ε ＞0，q ＞0。s為滑模面函數(shù)，sign（s）為不連續(xù)的符號(hào)函數(shù)，-εsign（s）為等速趨近項(xiàng)，-qs為指數(shù)趨近項(xiàng)。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)離滑模面較遠(yuǎn)時(shí)，處于趨近運(yùn)動(dòng)過程，此時(shí)由等速趨近項(xiàng)和指數(shù)趨近項(xiàng)共同作用，其中指數(shù)趨近項(xiàng)起主要決定作用，q 值越大，到達(dá)滑模面越快，ε 值越小，到達(dá)滑模面時(shí)的速度越小，抖振越小；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)到達(dá)滑模動(dòng)態(tài)時(shí)，處于滑模運(yùn)動(dòng)過程，此時(shí)指數(shù)趨近項(xiàng)趨近為零，主要由等速趨近項(xiàng)起決定作用。合理準(zhǔn)確地調(diào)節(jié)ε與q的大小，才能達(dá)到加快系統(tǒng)響應(yīng)速度的效果，同時(shí)還能削弱抖振，提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)。

2.2 新型指數(shù)趨近律

設(shè)計(jì)了一種新的指數(shù)趨近律，表達(dá)式如下

其中，ε ＞0，q ＞0，a ＞0，b ＞1。

在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的等速項(xiàng)中加入一個(gè)f（s）函數(shù)，將運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的趨近速度與離滑模面的遠(yuǎn)近結(jié)合起來，使得系統(tǒng)能夠自適應(yīng)地調(diào)整趨近速度。改進(jìn)的指數(shù)趨近律相比傳統(tǒng)指數(shù)趨近律，當(dāng)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)離滑模面較遠(yuǎn)時(shí)，處于趨近運(yùn)動(dòng)階段，此時(shí)｜s｜較大，f（s）趨于無窮，εf（s）大于ε，在遠(yuǎn)處的趨近速度得到提升，趨近時(shí)間加快，提高了系統(tǒng)響應(yīng)速度。當(dāng)離滑模面較近時(shí)，處于滑模運(yùn)動(dòng)階段，此時(shí)｜s ｜較小，趨近于0，f（s）則趨近于a／（1 ＋a），小于1，則降低了在滑模面附近的趨近速度，削弱了抖振，控制精度得到提高。

由于符號(hào)函數(shù)sign（s）不是連續(xù)的，是造成抖振的一個(gè)重要因素，所以對(duì)它進(jìn)行平滑處理，如下所示

式中 σ為數(shù)值較小的正數(shù)。

2.3 新型指數(shù)趨近律性能分析

為了驗(yàn)證新型指數(shù)趨近律的有效性，采用經(jīng)典的控制系統(tǒng)［16］對(duì)趨近律方法進(jìn)行對(duì)比。被控對(duì)象如下

滑模面函數(shù)

其中，c ＞0，跟蹤誤差

其中，θd為期望位置，θ為實(shí)際位置。經(jīng)過計(jì)算得到

式中 slaw為趨近律。整理可得控制輸出

式中 c ＝15，期望位置信號(hào)θd（t）＝sin t。將傳統(tǒng)指數(shù)趨近律和新型指數(shù)趨近律代入控制輸出表達(dá)式內(nèi)，其中傳統(tǒng)指數(shù)趨近律與新型指數(shù)趨近律系數(shù)q ＝30，ε ＝15，a ＝50，b ＝10，σ ＝1。經(jīng)過仿真，兩種趨近律作用效果對(duì)比如圖1所示。

圖1 兩種指數(shù)趨近律性能對(duì)比

從圖1中可得出，相比傳統(tǒng)指數(shù)趨近律，新型指數(shù)趨近律在趨近速度方面有所提高，趨近過程時(shí)間縮短，以及抖振的抑制得到提升。新型指數(shù)趨近律總體性能高于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律。

3 滑模速度控制器設(shè)計(jì)

3.1 控制器設(shè)計(jì)

在id＝0轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)定向控制策略下，并滿足Ld＝Lq＝Ls，定義PMSM系統(tǒng)狀態(tài)變量

式中 ωref為電機(jī)的給定轉(zhuǎn)速，是一個(gè)常數(shù)，ωm為實(shí)際轉(zhuǎn)速（機(jī)械角速度），Ls為定子電感。

令D ＝1.5Pnφf／J，u ＝iq，由上式得到空間狀態(tài)表達(dá)式

對(duì)滑模面函數(shù)進(jìn)行定義

式中 c 為待定系數(shù)，c ＞0，x1為速度差，x2為速度差的導(dǎo)數(shù)。然后對(duì)上式進(jìn)行求導(dǎo)，可得

求得控制器表達(dá)式

繼而可得q軸參考電流

由控制器表達(dá)式和q軸參考電流可知，兩者都含有積分項(xiàng)，所以在削弱抖振的同時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差也得到了降低，系統(tǒng)動(dòng)、靜態(tài)品質(zhì)得到提高。

3.2 控制器穩(wěn)定性分析

定義李雅普諾夫（Lyapunov）函數(shù)

對(duì)其求導(dǎo)，則有

由于ε ＞0，q ＞0，s·sign（s）＞0，f（s）也大于0，所以V˙＜0，滿足可達(dá)性條件。

4 仿真與實(shí)驗(yàn)分析

建立系統(tǒng)仿真模型，旨在驗(yàn)證新型指數(shù)趨近律的可行性，本文采用PMSM雙閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)控制，其中電流環(huán)采取傳統(tǒng)的PI控制方法，速度環(huán)從早前的PI 控制替換為SMC法，并基于新型指數(shù)趨近律構(gòu)建改進(jìn)型滑模速度控制器。系統(tǒng)框圖如圖2 所示，并且與PI 控制、傳統(tǒng)指數(shù)趨近律SMC作仿真對(duì)比。電機(jī)參數(shù)與仿真條件如表1所示。

表1 電機(jī)參數(shù)

圖2 PMSM調(diào)速系統(tǒng)

滑模速度控制器參數(shù)設(shè)置：c ＝100，q ＝250，ε ＝50，a ＝1，b ＝6，σ ＝0.008。PI電流環(huán)參數(shù)設(shè)置：比例系數(shù)kp＝10，積分系數(shù)ki＝400。仿真時(shí)間0.5 s，初始給定轉(zhuǎn)速N*＝600 r／min，零時(shí)刻負(fù)載轉(zhuǎn)矩T1＝0 N·m，在t ＝0.2 s 時(shí)，外加負(fù)載TL＝10 N·m。

從圖3 中可以看出，在系統(tǒng)啟動(dòng)過程中，PI 控制超調(diào)最大，約在0.13 s處穩(wěn)定；傳統(tǒng)指數(shù)趨近律SMC超調(diào)較小，約在0.1 s處穩(wěn)定；新型指數(shù)趨近律SMC接近無超調(diào)，約在0.09 s處穩(wěn)定。由圖4 可得，三者之中，新型指數(shù)趨近律SMC抖振幅度最小，約為89 r／min，波動(dòng)率14.83%，并最先穩(wěn)定下來，趨近過程時(shí)間短，波動(dòng)范圍最小；傳統(tǒng)指數(shù)趨近律SMC抖振幅度次之，為99 r／min，波動(dòng)率16.5%，趨于穩(wěn)定時(shí)間居中；PI 控制抖振幅度最大，為123 r／min，波動(dòng)率20.5%，趨于穩(wěn)定的過程較長(zhǎng)。

圖3 轉(zhuǎn)速曲線

圖4 突加負(fù)載的轉(zhuǎn)速曲線

由圖5結(jié)果表明，在PMSM調(diào)速系統(tǒng)的啟動(dòng)過程中，采用新型指數(shù)趨近律SMC和傳統(tǒng)指數(shù)趨近律SMC能夠使電磁轉(zhuǎn)矩更加快速穩(wěn)定地到達(dá)穩(wěn)態(tài)，并且無超調(diào)，PI 控制的電磁轉(zhuǎn)矩曲線回歸穩(wěn)態(tài)時(shí)存在明顯的超調(diào)。在0.2 s突加負(fù)載后，PI控制穩(wěn)定過程最長(zhǎng)，約0.08 s；傳統(tǒng)指數(shù)趨近律SMC穩(wěn)定時(shí)間次之，約0.06 s；新型指數(shù)趨近律SMC最快，約0.05 s，其穩(wěn)定后波動(dòng)范圍也最小。

圖5 電磁轉(zhuǎn)矩曲線性能對(duì)比

從圖6中可以得出，PMSM調(diào)速系統(tǒng)剛啟動(dòng)時(shí)，PI控制振幅較大，并且電流曲線紊亂，分布不均勻；而傳統(tǒng)指數(shù)趨近律SMC和新型指數(shù)趨近律SMC 振幅較小，曲線穩(wěn)定平緩有序。在0.2 s突加負(fù)載后，新型指數(shù)趨近律SMC 電流波動(dòng)幅度最小，只有1.2 A，三相電流曲線最為平整，并且更快穩(wěn)定下來；傳統(tǒng)指數(shù)趨近律與PI 控制效果稍顯差異，前者電流波動(dòng)約1.9 A，后者約1.8 A。

圖6 PI控制器和傳統(tǒng)／新型指數(shù)趨近律SMC下的電流波形

綜合仿真圖和分析解釋，可知改進(jìn)后的指數(shù)趨近律相比于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律和PI控制，超調(diào)更小，抖振更小，能夠快速穩(wěn)定地達(dá)到穩(wěn)態(tài)，控制精度更好，魯棒性更強(qiáng)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文基于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律，在等速項(xiàng)中引入一個(gè)涵蓋對(duì)數(shù)項(xiàng)的分?jǐn)?shù)多項(xiàng)式，將趨近速度和滑模面函數(shù)的絕對(duì)值結(jié)合，實(shí)現(xiàn)趨近速度的自適應(yīng)調(diào)整；而后對(duì)符號(hào)函數(shù)進(jìn)行平滑處理。并且進(jìn)行模型的搭建以及仿真，構(gòu)造對(duì)應(yīng)的滑?？刂破髋c傳統(tǒng)指數(shù)趨近律、PI控制方法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：采用新型指數(shù)趨近律能夠很好地降低系統(tǒng)超調(diào)量，快速穩(wěn)定地達(dá)到穩(wěn)態(tài)，魯棒性有了顯著提高，控制效果得到改善。