孫青

【摘要】著名的美育理論家蔡元培認(rèn)為：美育，歸根到底，是一種感情教育，它所要得到的，是一種使人格變高尚的內(nèi)在情感.隨著素質(zhì)教育和課程改革的普及，“數(shù)學(xué)美學(xué)教育”逐步納入教育范疇，以審美能力、審美情趣為目標(biāo)的數(shù)學(xué)美育旨在對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)內(nèi)涵進(jìn)行提煉與深化，厚植學(xué)生內(nèi)心，讓數(shù)學(xué)教育更加靈動、立體、深刻.基于此，文章以“三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)”為例，對高中數(shù)學(xué)美育內(nèi)涵、本質(zhì)、規(guī)律及表現(xiàn)形式進(jìn)行深入解讀，領(lǐng)略數(shù)學(xué)美學(xué)精髓，提升數(shù)學(xué)美育水平.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；審美教育；課堂教學(xué)；實踐研究

引 言

高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容具有一定的抽象性，教師在教學(xué)過程中要通過美育的方式循循善誘，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在學(xué)習(xí)概念或定理時，可以體會到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美、邏輯美、簡潔美和奇異美.數(shù)學(xué)不只是一門學(xué)科，同時是一門生活藝術(shù).教師在培養(yǎng)學(xué)生思維能力的同時，應(yīng)注重對數(shù)學(xué)中潛在美學(xué)價值的拓展.

三角函數(shù)是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)科的重點之一，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)相關(guān)知識和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)高考乃至生活中應(yīng)用廣泛，其中三角函數(shù)圖像靈活多變，富含豐富的美學(xué)元素，能夠有效滲透美育價值.

一、揭示函數(shù)之美的內(nèi)涵

高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程不僅僅是學(xué)生理解數(shù)學(xué)理論、提升數(shù)學(xué)意識和認(rèn)識發(fā)展規(guī)律的過程，更是在教師的指導(dǎo)下形成獨特的數(shù)學(xué)審美和數(shù)學(xué)靈感的過程.數(shù)學(xué)之美體現(xiàn)在簡潔美、規(guī)律美、波動美、邏輯美、嚴(yán)謹(jǐn)美等方面，這些審美元素與數(shù)學(xué)知識、公式、符號、解題過程等相互融合，滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)的每個環(huán)節(jié)中.

其中數(shù)學(xué)簡潔美體現(xiàn)在使用簡單的數(shù)學(xué)符號、公式和理論揭示隱藏在表征符號中復(fù)雜而深刻的變化規(guī)律.教師要將深層次的數(shù)學(xué)本質(zhì)和規(guī)律利用教學(xué)過程和教學(xué)內(nèi)容向?qū)W生進(jìn)行揭示，使學(xué)生意識到數(shù)學(xué)的內(nèi)在是美的、奇妙的.例如，在教學(xué)“三角函數(shù)”相關(guān)知識中，“sin”符號始創(chuàng)于1753年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉的筆下，正弦函數(shù)y=sinx將變量x和y通過簡單關(guān)系的表達(dá)，凸顯三角函數(shù)的簡單美和符號美；函數(shù)y=sinx的圖像由一段反復(fù)重現(xiàn)的曲線組成，波瀾起伏，因此也被稱為“正弦波”，正弦波的最高點被稱為“波峰”，最低點稱為“波谷”，宛若高山大川，簡單的圖像繪制出自然界高山大川的極致之美，也如雄鷹扇動的翅膀曲線，當(dāng)雄鷹在空中不斷地振翅勻速直線飛行時，上下翻飛的連綿軌跡展示了動態(tài)美和規(guī)律美.包含y=sinx在內(nèi)的y=cosx，y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）等函數(shù)，對稱軸或經(jīng)過圖像的“峰頂點”，或經(jīng)過“谷低點”，并且平行于y軸的任何一條直線，反映出了圖像的對稱美.在高中數(shù)學(xué)“三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)”教學(xué)中教師要充分挖掘美學(xué)內(nèi)涵與本質(zhì)，將美與教育相互融合，從課堂教學(xué)、思維品質(zhì)和能力培養(yǎng)中滲透美學(xué)意識，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)之美的感知能力，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中認(rèn)識數(shù)學(xué)之美，體驗創(chuàng)造之美，增加數(shù)學(xué)吸引力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科情懷.

二、探索函數(shù)之美的規(guī)律

高中階段學(xué)生已經(jīng)具備相對完善的數(shù)學(xué)意識和學(xué)科素養(yǎng)，課堂教學(xué)不僅要著眼于對學(xué)生進(jìn)行學(xué)科理論知識和實踐能力的培養(yǎng)，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)和思維品質(zhì)的提升.在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)有意識地學(xué)習(xí)進(jìn)修，增強(qiáng)美學(xué)內(nèi)涵，在教學(xué)中追求藝術(shù)和教育的有效結(jié)合，發(fā)現(xiàn)美學(xué)規(guī)律，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì).特別強(qiáng)調(diào)在教學(xué)手段中的創(chuàng)新和應(yīng)用，讓抽象的、高深的數(shù)學(xué)知識在具體的、形象的表現(xiàn)方式中發(fā)揮出特有的學(xué)科趣味，讓學(xué)生更愿意接近數(shù)學(xué)、接納數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué).

“三角函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點，按照傳統(tǒng)的教學(xué)方式，在圖像的繪制中通常是通過列表、描點、連線展示出函數(shù)軌跡，囿于課堂時間的約束，教師在講解和繪制的過程中稍顯局促和匆忙，通過利用多樣化教學(xué)資源，如硬件設(shè)施多媒體、信息技術(shù)等，以及軟件設(shè)施微課、先進(jìn)的教學(xué)理念和多角度教育方向，將三角函數(shù)化繁為簡、化靜為動，讓函數(shù)值跟隨自變量的變化而變化，步步相隨的動態(tài)運動幫助學(xué)生更快地理解函數(shù)內(nèi)涵，感受同一函數(shù)中不同參數(shù)與圖像特征之間的聯(lián)系，進(jìn)一步掌握函數(shù)的性質(zhì).數(shù)學(xué)之美、函數(shù)之美的規(guī)律需要學(xué)生自主去發(fā)掘和發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生在觀看函數(shù)y=sinx的圖像動態(tài)演示后，自主發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)中平移、壓縮、拉伸和對稱變換特點，結(jié)合想象探索其中的運動規(guī)律，將“被動學(xué)習(xí)”轉(zhuǎn)化為“主動探究”，實現(xiàn)以“感受數(shù)學(xué)之美”為中心的“五育并舉”數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo).

函數(shù)y=sinx圖像與正弦曲線之間動靜相宜，相互統(tǒng)一，在動靜之間蘊含豐富的靜態(tài)美和動態(tài)美，充分展示數(shù)學(xué)的藝術(shù)價值和美學(xué)規(guī)律.在以“美育”為補(bǔ)充的數(shù)學(xué)課堂中，要求教學(xué)結(jié)構(gòu)有組織、教學(xué)環(huán)節(jié)有章法、教學(xué)內(nèi)容有側(cè)重，詳略得當(dāng)，重點突出，實現(xiàn)義務(wù)教育階段“立德樹人”教育目標(biāo)和學(xué)生能力品質(zhì)的提升.為上好一堂課，開好大局觀，立足教材，結(jié)合實際，更具學(xué)生基本學(xué)情和認(rèn)知特點，通過講解、剖析、演示使三角函數(shù)知識動起來、活起來，賦予數(shù)學(xué)學(xué)科美的內(nèi)涵和美的形式，調(diào)動學(xué)生多重感官，增強(qiáng)教學(xué)之美和品質(zhì)之美.

三、解讀函數(shù)之美的典型

（一）自然美

高中階段數(shù)學(xué)知識多數(shù)是抽象的，教師在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的審美意識，凸顯美育價值，必須結(jié)合數(shù)學(xué)知識，將抽象化具象，讓數(shù)學(xué)內(nèi)涵具體地、形象地展示在學(xué)生面前，讓學(xué)生在直觀的體驗和感受中深化數(shù)學(xué)知識，理解函數(shù)應(yīng)用.數(shù)學(xué)是反映自然規(guī)律、刻畫生活現(xiàn)象的學(xué)科，當(dāng)學(xué)生不能完全領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的奧秘時，往往認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥的、乏味的，這也是造成學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科兩極分化嚴(yán)重的內(nèi)在原因.教師要改變學(xué)生的認(rèn)知，糾正學(xué)生的誤區(qū)，在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的自然之美，將函數(shù)在生活中的應(yīng)用滲透到教學(xué)的各個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)知從“實際的”到“有用的”再到“奇妙的”心理轉(zhuǎn)變，感悟數(shù)學(xué)，運用數(shù)學(xué)，解決生活難題，激活數(shù)學(xué)興趣.

（二）簡潔美

數(shù)學(xué)學(xué)科相較于其他學(xué)科，較少應(yīng)用“中文”和“漢字”，數(shù)學(xué)以其獨有的“學(xué)科符號”構(gòu)筑了龐大的數(shù)學(xué)世界，在這個世界里有豐富的、無窮無盡的知識，高中數(shù)學(xué)僅僅是站在了這個世界的門口，但已經(jīng)成為學(xué)生打開另一番天地的鑰匙.高中數(shù)學(xué)知識承上啟下，是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)生記憶和應(yīng)用起來十分困難，利用審美教育另辟蹊徑，讓學(xué)生在相對容易的“審美”過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)內(nèi)涵，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)知識的記憶和應(yīng)用能力.現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材中呈現(xiàn)最多的是數(shù)學(xué)符號、公式和定理，在一定程度上體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語言的簡潔之美，解讀一個個數(shù)學(xué)符號背后的文化和應(yīng)用方式，充滿推理和解謎快感.簡潔之美具有高度的統(tǒng)一性，在表現(xiàn)形式上留有大量的空白，每一個公式都是對具有相同特點的事物的一種歸納，其背后隱藏著另一番天地，教師要幫助學(xué)生一探究竟，從簡潔之美切入“尋寶探寶”，充分利用簡單、有效的信息推理解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，聚焦思維的無限可能性，讓函數(shù)學(xué)習(xí)具有自由、開放的特點.

（三）統(tǒng)一美

高中階段數(shù)學(xué)題目充分考驗學(xué)生的邏輯思維能力，尤其是在三角函數(shù)中，數(shù)學(xué)不會推翻原有的數(shù)學(xué)理論，它總是包容原先的理論，在繼承和發(fā)展原有的理論基礎(chǔ)上再加以延伸.在對學(xué)生美育教育時，教師應(yīng)有意識地發(fā)散學(xué)生思維，充分體會數(shù)學(xué)學(xué)科的統(tǒng)一之美，從三角函數(shù)的整體及部分、整體與整體、部分和部分的關(guān)系中達(dá)到和諧統(tǒng)一，使學(xué)生具備將函數(shù)知識融會貫通的能力.數(shù)學(xué)結(jié)論具有唯一性，這準(zhǔn)確地概括了函數(shù)問題的本質(zhì)，雖道路征程不同，但目標(biāo)只有一個，運動軌跡萬千，對應(yīng)公式僅此一行，這種極限對應(yīng)完全展示了數(shù)學(xué)統(tǒng)一之美，對端正學(xué)生求知態(tài)度，樹立學(xué)習(xí)目標(biāo)，落實“立德樹人”具有現(xiàn)實意義.

（四）跳躍美

無論是正弦函數(shù)還是余弦函數(shù)，抑或是正切、余切函數(shù)，都具有規(guī)律性，它們以π為特征周期進(jìn)行代數(shù)式表達(dá)，因此π是函數(shù)的核心常數(shù)，隨著周期性的函數(shù)值出現(xiàn)，函數(shù)圖像展示出規(guī)律的跳躍性特征，從圖形之美中深切感悟函數(shù)的研究之美.由于函數(shù)自變量在以π為規(guī)律表達(dá)式，取值在正無窮到負(fù)無窮上，也就是說自變量在實數(shù)集上不受限制的情況下，函數(shù)值反而在-1到+1上來回變動，所以，這個規(guī)律在復(fù)雜的數(shù)據(jù)研究和復(fù)雜的表達(dá)式中就可以用三角函數(shù)作為修飾參數(shù)對代數(shù)表達(dá)式進(jìn)行修飾，這也是研究復(fù)雜函數(shù)領(lǐng)域的一個很好的修飾參數(shù)，也是體現(xiàn)三角函數(shù)跳躍之美的關(guān)鍵所在.任意大小的自變量可以限制在-1到+1之間，從而給更復(fù)雜的表達(dá)式提供限制，傅里葉級數(shù)三角函數(shù)表達(dá)式充分體現(xiàn)了這一函數(shù)之美.

四、探究函數(shù)之美的本質(zhì)

三角函數(shù)是溝通初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的橋梁，也是數(shù)形結(jié)合的典范.作為描述周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，三角函數(shù)是高中階段數(shù)學(xué)知識體系中的最后一個初等函數(shù)，也是打開高等數(shù)學(xué)大門的基礎(chǔ).在新一輪的科技革命中，數(shù)學(xué)知識是解決生產(chǎn)和生活的重要工具，在教學(xué)過程中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)探究和應(yīng)用必須響應(yīng)教育需求和學(xué)生需要，形成從下而上或從上而下的垂直研究，其中從下而上的研究是從三角函數(shù)的定義、值域、奇偶性等性質(zhì)出發(fā)，研究三角函數(shù)圖像的表現(xiàn)手法和規(guī)律，從上而下的研究則是先根據(jù)條件作出三角函數(shù)圖像，結(jié)合圖像通過邏輯推理得出三角函數(shù)性質(zhì).按照人教版教材的內(nèi)容編排，從“函數(shù)定義—圖像繪制—性質(zhì)探究—模型應(yīng)用”有序展開，屬于從下而上的研究，符合科學(xué)規(guī)律和學(xué)生認(rèn)知，在數(shù)學(xué)思維的構(gòu)建和完善中，力求達(dá)到知識與教學(xué)的相互統(tǒng)一.三角函數(shù)的美育教育通過深度解讀學(xué)科內(nèi)置、瞄定函數(shù)教育目標(biāo)，借助精心策劃的教學(xué)方案，引發(fā)學(xué)生在“最近發(fā)展區(qū)”的認(rèn)知提升，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)主動性和自覺性的生成，在情感激發(fā)、問題解決、思維重構(gòu)中感受數(shù)學(xué)之美，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)美的“智慧之眼”，探究數(shù)學(xué)美的本質(zhì).

（一）對稱的“波浪”

正、余弦函數(shù)圖像都具有對稱之美，從觀察圖像的左邊軌跡和形態(tài)，能夠清晰地、直觀地感受到對稱圖像的規(guī)則之美，那么如何從這對稱之美中感知三角函數(shù)的性質(zhì)呢？我們設(shè)計“對稱的‘波浪’”課題研究，從直觀觀察切入抽象理解，由淺入深，由表及里循序感悟.

以問題情境導(dǎo)入新課，設(shè)置五層問題：

問題1：觀察圖像對稱的三角函數(shù)，辨析其正弦、余弦函數(shù)的哪個性質(zhì)能夠體現(xiàn)對稱之美？

問題2：圍繞“對稱”，從兩個角度解讀正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶性.

問題3：通過大膽假設(shè)和小心求證，驗證奇偶性.

問題4：已知函數(shù)y=sinx（x∈R）的對稱中心是O（0，0），是否還有其他的對稱中心？

問題5：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱軸和對稱中心如何表達(dá)？

通過五個假設(shè)問題的層層深入，借助幾何畫板展示函數(shù)圖像，使學(xué)生從觀察和分析中體會三角函數(shù)的性質(zhì)和對稱之美間的關(guān)系.教師利用問題1引導(dǎo)學(xué)生了解函數(shù)的奇偶性，啟發(fā)學(xué)生對對稱之美和函數(shù)性質(zhì)的意識，引出“能否通過驗證函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)對稱之美？”的思考，提高學(xué)生探究和推理的能力；問題2和問題3的提出則是對學(xué)生提出疑問的認(rèn)可，肯定學(xué)生思考的方向，一方面鼓勵學(xué)生大膽假設(shè)，感知思考的重要性和必要性，從多維度啟發(fā)學(xué)生橫向到邊、縱向到底的思考，激活學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)，從現(xiàn)有經(jīng)驗中獲取打開新大門的鑰匙；另一方面借助主觀能動性，強(qiáng)化學(xué)生主觀意識，將學(xué)生從“被動學(xué)習(xí)”中解脫出來，實現(xiàn)主觀層面的“主動吸收”，幫助學(xué)生構(gòu)建適合自身的思維體系，實現(xiàn)對三角函數(shù)性質(zhì)的深層理解；在接下來的問題4和問題5中，引導(dǎo)學(xué)生從三角函數(shù)的奇偶性中挖掘美學(xué)元素，歸納圖像對稱之美的衍生根本，歸納三角函數(shù)的基本規(guī)律.

這一系列活動將三角函數(shù)的對稱之美與函數(shù)的奇偶性聯(lián)系起來，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動下，加深對數(shù)學(xué)知識的理解，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，培養(yǎng)抽象思維能力，同時通過認(rèn)識函數(shù)的對稱之美增強(qiáng)數(shù)學(xué)趣味和美感，讓數(shù)學(xué)教學(xué)充滿藝術(shù)性.

（二）起伏的規(guī)律

在學(xué)生掌握正、余弦函數(shù)的圖像規(guī)律和奇偶性基礎(chǔ)上，從函數(shù)圖像的最高點和最低點進(jìn)行切入，思考函數(shù)軌跡起伏的規(guī)律，精準(zhǔn)把控函數(shù)周期性、對稱性、單調(diào)性、最大值、最小值的深層理解，促使思維由表及里進(jìn)行滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)美學(xué)的“意識”和“感悟”.

同樣設(shè)置探究問題：

問題1：根據(jù)正、余弦函數(shù)圖像的起伏規(guī)律，能夠看出是函數(shù)哪個性質(zhì)的表象？

問題2：探究正弦函數(shù)對稱軸的根源和本質(zhì)，思考這一本質(zhì)與函數(shù)哪種性質(zhì)有關(guān)？

問題3：正、余弦函數(shù)的最值和對稱軸之間存在什么關(guān)聯(lián)？

這些問題主要聚焦三角函數(shù)的軌跡，通過觀察函數(shù)圖像的起伏規(guī)律和起伏過程，有意識地標(biāo)注函數(shù)圖像的“起”“伏”點位，在點線之間研究正弦函數(shù)的規(guī)律和單調(diào)性.其中問題1驅(qū)動學(xué)生辨別函數(shù)圖像的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間，找到“增減交替”的規(guī)律；問題2將學(xué)生的“視角”從“對稱”向“周期”轉(zhuǎn)換，圍繞“周期性”對函數(shù)圖像進(jìn)行進(jìn)一步研究，明確函數(shù)的劃分方式，促使學(xué)生掌握多樣化劃分手法；問題3則是鼓勵學(xué)生主動實踐，標(biāo)注函數(shù)最值，將具體的數(shù)據(jù)標(biāo)注在圖像上，感知數(shù)據(jù)和圖像之間的關(guān)系，讓數(shù)學(xué)知識和表現(xiàn)融會貫通.

這一系列活動聚焦“起伏規(guī)律”，提高學(xué)生的思維轉(zhuǎn)換能力，讓學(xué)生在感悟起伏之美、規(guī)律之美的過程中理解函數(shù)的周期性、最值等問題，層層深入之下實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識和概念的融合，同時進(jìn)一步拓展思維，強(qiáng)化美學(xué)意識.

（三）傳遞的魅力

在設(shè)計“三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)”練習(xí)題時，圍繞“對稱”設(shè)計“圖像”轉(zhuǎn)“方程”的相關(guān)練習(xí).

練習(xí)1：繪制y=sinx，x∈[-2π，2π]或y=cosx，x∈[-2π，2π]的函數(shù)圖像，展示函數(shù)的軸對稱或中心對稱樣態(tài).

練習(xí)2：通過觀察對稱函數(shù)，聯(lián)想生活中的軸對稱圖形和中心對稱圖形.

練習(xí)3：舉例說明數(shù)學(xué)式的對稱和不對稱.

教師以題目練習(xí)為載體，引導(dǎo)學(xué)生從教材中走出來，向?qū)嶋H生活走進(jìn)去，從直觀思維轉(zhuǎn)化為抽象思維.其中練習(xí)1讓學(xué)生在自主繪制函數(shù)圖像的過程中，掌握“五點法”，通過繪制和展示，瞄定“對稱”將數(shù)學(xué)之美貫徹到底；練習(xí)2與練習(xí)3則是開拓學(xué)生思維，一方面使學(xué)生認(rèn)識到“對稱”的特質(zhì)并非僅存在于圖形之中，讓學(xué)生從圖像思維轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式思維，另一方面加強(qiáng)學(xué)生對知識的掌握和理解，引導(dǎo)學(xué)生從“教材”中看生活，發(fā)展德智體美勞的多邊互動.

結(jié) 語

綜上所述，“立德樹人”視域下，美育思維滲透高中數(shù)學(xué)“三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)”教學(xué)中，是對學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的一種強(qiáng)化途徑，也是實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生練就一雙發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美、體會數(shù)學(xué)之美“眼睛”的途徑，更是為學(xué)生提供認(rèn)識美、感受美、創(chuàng)造美的平臺，將數(shù)學(xué)知識貫穿于審美的全過程，感悟美的真諦，形成數(shù)學(xué)思維.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉斌.如何在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生審美教育[J].中國校外教育，2013（01）：24.

[2]陶霓.基于教育云平臺的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐與思考[J].中國現(xiàn)代教育裝備，2016（22）：35-36.

[3]李麗.基于教育云平臺的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐探索[J].中國教育技術(shù)裝備，2018（05）：47-48，59.

[4]趙紅艷.精彩之旅源于探美———美育在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用研究[J].文理導(dǎo)航（中旬），2021（08）：2-3.

[5]林朝順.高中數(shù)學(xué)課堂滲透審美教育的幾點思考[J].快樂閱讀，2015（08）：103.