■劉中亮(特級教師)

一、選擇題

二、填空題

三、解答題

(3)若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,求不等式f(3-x)≤f(2)+f(3)的解集。

一、選擇題

7.提示:g(x)在區(qū)間[0,+∞)上的圖像與f(x)的圖像重合,當a>b>0 時,可得f(a)=g(a),f(b)=g(b)。由f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù),可得f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)。[f(b)-f(-a)]-[g(a)-g(-b)]=f(b)-f(-a)-g(a)+g(-b)=f(b)+f(a)-g(a)+g(b)=f(b)+f(a)-f(a)+f(b)=2f(b)<2f(0)=0,即f(b)-f(-a)

8.提示:因為f(2x-1)=(2x-1)2+2(2x-1)+1,所以f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,C 錯 誤,D 正 確。f(3)=16,f(-3)=4,A 錯誤,B正確。應選BD。

9.提示:奇函數(shù)在x=0 處有定義,即f(0)=0,A 正確。由圖像的對稱性可知,B正確。奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相同,C 不正確。當x<0 時,-x>0,則f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,所以-f(x)=f(-x)=x2+2x,所以f(x)=-x2-2x,D 正確。應選ABD。

11.提示:由f(x)=(x-2)2+2≥2,可得a≥2,所以f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增。由f(x)在區(qū)間[a,b](a

12.提示:由-x2+2x+3≥0,可得x2-2x-3≤0,所以-1≤x≤3,即函數(shù)的定義域為[-1,3]。由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4∈[0,4],可得函數(shù)的值域為[0,2]。結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)在[-1,1]上單調(diào)遞增,在[1,3]上單調(diào)遞減。應選CD。

13.提示:分段函數(shù)的定義域為每段函數(shù)定義域的并集,故函數(shù)的定義域為R,值域為{1,0}。當x為有理數(shù)時,x+1也為有理數(shù),則f(x+1)=f(x)=1,當x為無理數(shù)時,x+1也為無理數(shù),則f(x+1)=f(x)=0,所以f(x+1)=f(x)。不滿足f(-x)=-f(x)。應選BC。

14.提示:由y=f(x+1)為偶函數(shù),可得f(-x+1)=f(x+1),所以f(-2)=f(4),f(-3)=f(5)。由f(x)在(1,+∞)上為減函數(shù),可得f(-2)f(5),f(-3)=f(5)>f(6)。應選BD。

二、填空題

三、解答題

綜上可得,存在實數(shù)m=6,使得函數(shù)f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]。

23.提示:(1)因為f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),且關(guān)于原點對稱,又

32.提示:(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,可得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0。

再令x=y=-1,可得f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0。

(2)在f(xy)=f(x)+f(y)中,令y=-1,可得f(-x)=f(x)+f(-1),即f(-x)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù)。

(3)由f(2)+f(3)=f(6),f(3-x)≤f(2)+f(3),可得f(3-x)≤f(6)。

當3-x>0時,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和不等式f(3-x)≤f(6),可得3-x≤6,解得-3≤x<3;當3-x<0 時,f(3-x)=f(x-3)≤f(6),由函數(shù)的單調(diào)性得x-3≤6,解得3

綜上可得,不等式f(3-x)≤f(2)+f(3)的解集為[-3,3)∪(3,9]。