徐文彬 陳 蒨

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）中一個較大的變化，是把“方程”的相關(guān)內(nèi)容移到了初中，小學(xué)階段則加強了“用字母表示數(shù)”的相關(guān)內(nèi)容。筆者在日常工作、聽課研討中發(fā)現(xiàn)，一線教師在教學(xué)“用字母表示數(shù)”這部分內(nèi)容時普遍忽視這部分內(nèi)容蘊含的三個前提，即“已知與未知”“確定與不確定”“常量與變量”這三對關(guān)系。其實，一線教師只有厘清這三對關(guān)系，才有可能更好地設(shè)計教學(xué)，從而促進學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展及核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

對小學(xué)生來說，真正理解“用字母表示數(shù)”并不是一件容易的事。英國倫敦大學(xué)CSMS（Concept in Secondary Mathematics and Science）數(shù)學(xué)研究小組對11～16 歲孩子數(shù)學(xué)理解的研究結(jié)果表明，他們對“用字母表示數(shù)”有以下六種不同意義上的理解。一是“給字母賦值”，即一開始就用數(shù)值代替字母而得出答案，如“若a=3，則a+2=？”。二是“忽略字母的意義”，即置字母于不顧，或者承認(rèn)其存在但不賦予任何意義，如“若a+b=12，則a+b+2=？”。三是“把字母當(dāng)成物體”，即把字母看成物體的記號，或直接看成物體，如“3a+4a=？”中可把字母當(dāng)成某種物體（如蘋果、桃子等）。上述三種情況雖然都用到了字母，但并未把字母看成真正的未知量，所用思維仍停留在算術(shù)思維層面。四是“把字母看成特定的未知量”，即把字母看成一定的但未知的數(shù)，而且可以直接參與運算，如“2a與3相加是多少？答案是2a+3”。一些學(xué)生很難理解，這里含有字母的式子既可以表示運算過程，也可以表示運算結(jié)果，這其實已經(jīng)是真正意義上的代數(shù)運算了，是從算術(shù)思維向代數(shù)思維的跨越，蘊含著已知與未知的關(guān)系。五是“把字母看成廣義的數(shù)”，即認(rèn)為字母代表（至少能?。讉€數(shù)值，而不只是一個數(shù)值，如“若a+b=10，且a＜b，對a的值作出判斷”。在這里，“a的值”深受這兩個關(guān)系的約束，需要較高的分析水平，這就蘊含了確定與不確定的差異。六是“把字母看成變量”，即意味著字母表示的值在變化，如“比較2a與a+2，哪個大？”。在這里，a作為變量的思想就充分體現(xiàn)出來了，學(xué)生需要整體地、動態(tài)地看待字母代表數(shù)，具有較高的抽象水平，這又蘊含著常量與變量的區(qū)分。

一、已知與未知的關(guān)系

顧名思義，“已知”就是已經(jīng)知道的，“未知”就是還未知道的。已知和未知是相互對立的，同時也是相互聯(lián)系、相互依存、辯證統(tǒng)一的。沒有已知，就談不上未知；沒有未知，已知也無從談起。基于已知探尋未知，是數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)的基本方法。

算術(shù)思維和代數(shù)思維的一大區(qū)別，就體現(xiàn)在對已知和未知關(guān)系的處理上。算術(shù)思維著重通過已知數(shù)量的運算求得未知的答案，如“4+2×3=4+6=10”就是按照四則運算的法則進行程序性的運算。所以，算術(shù)思維是程序性的、有方向性的，把已知和未知分別放在了等號的左邊和右邊。僅有算術(shù)思維的學(xué)生常常會認(rèn)為“3+4=（）+2”的括號中應(yīng)該填7，這就與算術(shù)思維中的程序性思維有關(guān)，直接用左邊的已知算出右邊的未知。代數(shù)思維則是結(jié)構(gòu)性的，能引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識到等號左右兩邊的整體是相等的，把已知和未知同等看待。

與英國CSMS 數(shù)學(xué)研究小組的研究結(jié)果（一些兒童很難理解“2a+3”既可以表示運算過程，也可以表示運算結(jié)果）類似，特級教師馬明在學(xué)生時代也有過這樣的感受。他算出長為a米、寬為b米的長方形周長為2（a+b）米后，追著老師問“這個長方形的周長究竟是多少”。馬老師說，他很長一段時間都有這樣的困惑，其實就是沒有認(rèn)清已知和未知的關(guān)系，沒有把已知和未知同等看待，也就沒有用代數(shù)思維去思考這樣的問題。由此可見，教師厘清已知和未知的關(guān)系，把已知和未知同等看待非常重要，有助于他們引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)的眼光來看待問題，用代數(shù)的思維來思考問題。

“用字母表示數(shù)”的相關(guān)內(nèi)容雖然不是滲透代數(shù)思維的起點，卻是學(xué)生正式進行代數(shù)學(xué)習(xí)的起始階段。因此，教學(xué)這部分內(nèi)容時，引導(dǎo)學(xué)生厘清已知與未知的關(guān)系，促進其代數(shù)思維的發(fā)展極為必要和重要。當(dāng)然，教師要明確這是“用字母表示數(shù)”相關(guān)內(nèi)容教學(xué)的前提之一。但是不少教師缺乏這樣的認(rèn)知，他們只是一遍遍地強調(diào)含有字母的式子既可以表示運算過程，也可以表示運算結(jié)果，卻沒有明晰已知與未知的關(guān)系；學(xué)生只是記住了這句話，卻沒有完全明白為什么，所以他們無法理解同一個含有字母的式子擁有過程性和對象性的雙重屬性，這極其不利于學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展。

二、確定與不確定的差異

不確定是相對于確定而言的概念，被看作確定的否定狀態(tài)。“確定”在《現(xiàn)代漢語詞典》中作形容詞的解釋為“明確而肯定”。那么，從確定的定義推及不確定的定義，就應(yīng)該是“不夠明確或者不夠肯定”，也就是處于一種模糊的、待確定的狀態(tài)。杜威說過，科學(xué)的發(fā)展史就是一部“追求確定”的歷史。然而，隨著數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的發(fā)展，人們慢慢發(fā)現(xiàn)客觀世界普遍存在著不確定，不確定比確定更為基本。不確定并不是完全失控、一概不知的狀態(tài)，而是事物或認(rèn)知在一定的已有規(guī)律中同時存在著一種可能性、不肯定性。確定與不確定可以說是一組相互對立而又相互依存的概念，都融在萬事萬物之間，是可以相互轉(zhuǎn)化的存在，不確定為確定作鋪墊，確定為不確定立追求。

“用字母表示數(shù)”的相關(guān)內(nèi)容就同時蘊含著確定和不確定，如字母可以表示確定的數(shù)，也可以表示不確定的數(shù)（或如英國CSMS 數(shù)學(xué)研究小組研究中所說的“廣義的數(shù)”）。教師厘清確定與不確定的差異，有助于其在教學(xué)中更好地促進學(xué)生發(fā)展代數(shù)思維。弗賴登塔爾獎獲得者、加拿大學(xué)者路易斯·拉弗德在《早期代數(shù)思維的認(rèn)識論、符號學(xué)及發(fā)展問題》一文中舉了一個典型的例子（如圖1），來說明確定與不確定對代數(shù)思維的影響。拉弗德指出，如果一個學(xué)生在求第100 項方塊的數(shù)量時用的是3 加2加2……一直加到第100項這樣的方法，其實并不是代數(shù)思維，而是用了算術(shù)上的歸納思維。那么，怎樣才是用上了代數(shù)思維呢？路易斯·拉弗德認(rèn)為，如果對不確定的量（第n項）與圖形中蘊含的關(guān)系進行分析，即用含有字母的式子表示出第n項的方塊數(shù)，才是用上了代數(shù)思維。

（圖1）

在“用字母表示數(shù)”的相關(guān)內(nèi)容中就有很多類似的探索一般規(guī)律的問題。例如，教師帶領(lǐng)學(xué)生探索小棒根數(shù)與三角形個數(shù)的關(guān)系時，面對“如果用a表示三角形的個數(shù)，小棒的根數(shù)是（）”這樣的問題，就要引導(dǎo)學(xué)生對不確定的三角形個數(shù)和小棒根數(shù)的關(guān)系進行分析，這一過程將有助于學(xué)生發(fā)展代數(shù)思維。因此，一線教師厘清確定與不確定對代數(shù)思維發(fā)展的作用，才能更加有目的性地設(shè)計教學(xué)，更加有的放矢地培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維。

三、常量與變量的區(qū)別

常量與變量是數(shù)學(xué)中反映事物量的一對范疇。常量亦稱“常數(shù)”，是反映事物相對靜止?fàn)顟B(tài)的量；變量亦稱“變數(shù)”，是反映事物運動變化狀態(tài)的量?！白兞俊弊钤缡怯煞▏鴶?shù)學(xué)家笛卡爾提出的。1637 年，笛卡爾出版了著名的《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》一書。在三個附錄之一的《幾何學(xué)》中，他首次明確提出了“變數(shù)”及其思想。當(dāng)時，他把變量稱為未知的和未定的量。從這個定義可以看出，“變量”實則包含“未知”和“不確定”（未定可理解為不確定）。變量的引進及其成為數(shù)學(xué)的研究對象加速了變量數(shù)學(xué)（函數(shù)、微積分等）的發(fā)展，笛卡爾的《幾何學(xué)》也因此被看作變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的重要標(biāo)志之一。數(shù)學(xué)研究對象從常量到變量的過程表明，人們對事物數(shù)量關(guān)系的研究從靜止、孤立的觀點轉(zhuǎn)變?yōu)檫\動、聯(lián)系的觀點，這種思維方式的改變反映出了數(shù)學(xué)與辯證法的結(jié)合。正如恩格斯所說，數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù)，變量數(shù)學(xué)本質(zhì)上就是辯證法在數(shù)學(xué)方面的運用。變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)史也是科學(xué)史上的一件大事，它對數(shù)學(xué)、對人類科學(xué)乃至文明的進程都產(chǎn)生了重大影響。

算術(shù)思維的對象主要是數(shù)（屬于常量）及其運算與分合，代數(shù)思維的對象則主要是變量及其運算與變換。在小學(xué)階段，學(xué)生從“用字母表示數(shù)”的相關(guān)內(nèi)容開始接觸變量。教師引導(dǎo)學(xué)生厘清常量和變量的區(qū)別，有助于學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展。正如英國CSMS 數(shù)學(xué)研究小組研究中學(xué)生對“用字母表示數(shù)”最高層次的理解所述，把字母看成變量需要整體地、動態(tài)地看待字母，這需要具有較高的抽象水平，也充分體現(xiàn)了代數(shù)思維的運用。值得注意的是，學(xué)生比較容易理解字母表示未知的量或者不確定的量，卻難以自然而然地把字母理解成變量。這與學(xué)生多年來學(xué)習(xí)的算術(shù)思維和常量數(shù)學(xué)有關(guān)。如圖2所示，“用小棒擺三角形，如果用a表示三角形的個數(shù)，則小棒的根數(shù)是（）”。在這里，學(xué)生較容易理解字母a和含有字母的式子可以表示未知的量、不確定的量。但如果沒有教師的引導(dǎo)，學(xué)生很難自然而然想到a還可以表示動態(tài)變化的量（即變量）。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能初步感知到用字母可以表示變量，而且隨著這個變量的改變，另一個量（小棒根數(shù)）也在隨之變化，這就蘊含函數(shù)的思想了。所以，引導(dǎo)學(xué)生厘清常量和變量的區(qū)別，用運動的、變化的眼光來看待字母和含有字母的式子，能使他們在學(xué)習(xí)過程中慢慢體會到字母不僅能表示數(shù)、數(shù)量、關(guān)系、一般規(guī)律，還能表示兩個量或幾個量在動態(tài)變化過程中的聯(lián)系，從而發(fā)展代數(shù)思維，也為其后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)奠定基礎(chǔ)。

（圖2）

其實，用“變量”的眼光看待字母就蘊含著用“未知”的眼光和“不確定”的眼光看待字母。但是，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到變量是普遍存在的，變量之間存在著關(guān)聯(lián)性，這比僅僅把字母看成“未知量”和“不確定的量”更加抽象，對代數(shù)思維的要求也更高。因此，要引導(dǎo)學(xué)生厘清常量與變量的區(qū)別，教師首先要有清晰的認(rèn)識。

綜上所述，教師只有厘清上述三對關(guān)系，才有可能在教學(xué)“用字母表示數(shù)”相關(guān)內(nèi)容時有目的、有意義地設(shè)計教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維，進而促進學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展?？傊?，教師應(yīng)該跳出小學(xué)數(shù)學(xué)，更加重視從小學(xué)數(shù)學(xué)、中學(xué)數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)的內(nèi)在一致性中去理解數(shù)學(xué)，從更為宏觀的角度去把握數(shù)學(xué)，深入淺出、游刃有余地保證學(xué)生核心素養(yǎng)在不同階段發(fā)展的整體性、一致性和連續(xù)性，這也正是新課標(biāo)修訂的重大意義之一。