劉洋, 宋寶, 周向東, 唐小琦

(華中科技大學 機械科學與工程學院,湖北 武漢 430074)

0 引 言

受益于磁場調制效應帶來的優(yōu)良轉矩特性,近年來游標永磁電機在伺服驅動、新能源發(fā)電等領域引起廣泛關注。為了提高游標永磁電機轉矩密度和轉矩品質,研究者們提出了一系列新型拓撲結構,例如“V型內置式”[1]、“輪輻式磁體陣列”[2]、“Halbach式磁體陣列”[3]、“雙邊調制結構”[4]、“交替極結構”[5]等。

其中,輪輻式游標永磁電機(spoke type vernier permanent-magnet machine,STVPM)不僅可有效減小氣隙長度,增加氣隙磁導的磁場調制效果,還能充分利用切向勵磁結構的聚磁效應,有效提升電機轉矩性能。然而,有研究表明由于受其特有磁位波動效應的影響,STVPM的轉矩性能提升并未達到預期效果[7]。

針對該問題,研究者提出“交替磁橋”[8]、“雙邊氣隙”[9]等STVPM新型拓撲結構,優(yōu)化設計了低對極工作磁場的磁通路徑,減小和抑制轉子磁位波動對電機轉矩特性的負面影響。但是,上述方案不可避免導致電機結構更加復雜,大大增加結構變量和設計約束條件,使得該類型電機在高維設計變量空間下的多目標優(yōu)化設計難度和計算資源需求急劇增加,降低優(yōu)化設計效率[10-11]。

綜上,針對STVPM特有的磁位波動效應,本文以等效磁路模型為基礎,推導空載氣隙磁密的解析模型,分析該類型電機磁場調制本質特性和磁位波動效應產生機理,研究轉子磁位波動對氣隙磁場調制效果的作用。進一步地,從電機優(yōu)化設計方法入手,為削弱磁位波動效應對STVPM轉矩特性的影響,解決該類型電機轉矩特性綜合提升優(yōu)化設計難度大、效率低的問題,本文提出一種基于參數靈敏度分層的多目標優(yōu)化設計方法,采用綜合靈敏度分析法對設計變量空間進行分層降維,構建具有高精度的電機性能代理模型,運用多目標遺傳優(yōu)化算法對電機轉矩密度、齒槽轉矩和轉矩波動等進行綜合優(yōu)化設計,最終確定優(yōu)選設計方案,并通過有限元法驗算優(yōu)化設計的有效性和實用性。

1 STVPM磁場解析模型

1.1 等效磁路模型

STVPM的拓撲結構如圖1(a)所示,其局部等效磁路模型如圖1(b)所示,圖中:Zs為定子槽數;Pr為轉子極對數;g為氣隙長度;hmag為永磁體高度;wmag為永磁體寬度。氣隙空間位置θ和轉子位置θr間的關系為θr=θ-ωt,ω為轉子旋轉速度。根據磁場調制工作原理,游標永磁定子繞組的極對數需滿足Pa=|Zs-Pr|,本文優(yōu)先選用Pa=Zs-Pr的組合以充分利用磁場調制效應[12]。

圖1 空載等效磁路模型Fig.1 No-load equivalent magnetic circuit model

根據STVPM拓撲結構特征可知,其轉子鐵心被永磁體分割成相互獨立的2Pr塊,導致各塊轉子鐵心的磁位相互獨立、各不相同。因此,無法參照傳統(tǒng)游標電機的磁路計算方法,將轉子鐵心視為等磁位體,僅分析永磁體磁動勢的影響。

為了簡化磁場解析計算,假設定轉子鐵心材料的磁導率為無窮大,忽略飽和效應,可將每塊轉子鐵心的磁位等效成一個節(jié)點,進而推導出STVPM的等效磁路模型,如圖1(c)所示。圖中:Fmag是永磁體磁動勢;Λmag為永磁體磁導;Vk是第k塊轉子鐵心的磁位;Λg_k是第k塊轉子鐵心的集總磁導;ψk為第k塊轉子鐵心的磁通量。

1.2 空載磁密特性推導

由于STVPM轉子磁路具有不對稱性,可歸類為雙凸極結構電機,其氣隙磁導Λ可由下式求解:

Λ(θ,t)≈Λs(θ)Λr(θr)=[Λs0+Λs1cos(Zsθ)]×

[Λr0+Λr1cos(2Prθ-2ωet)]。

(1)

從圖1(b)所示STVPM等效磁路模型可獲得:

(Vk-Vk+1-Fmag)Λmag+(Vk-Vk-1-Fmag)Λmag+VkΛg_k=0;

(2)

(3)

由于STVPM定子鐵心結構的周期性,任意一塊轉子鐵心的磁位Vk應是定轉子相對位置的周期函數,且當轉子轉動一周后其交替變化Zs次。因此,忽略高次諧波項后,Vk可寫成式(4)所示形式,將其代入式(2)、式(3)中即可求解出轉子鐵心磁位Vk:

Vk=(-1)k[V0+V1cos(Zsθ)];

(4)

(5)

(6)

在計算出的每塊鐵心磁位Vk基礎上,利用傅里葉級數展開式求得轉子磁動勢,如式(7)所示?？梢?STVPM轉子磁動勢分為Fcon和Fadd兩部分,其中Fcon與常規(guī)游標永磁電機相似,僅與轉子永磁體空間位置θr和永磁體極對數Pr有關。Fadd則與定轉子的相對空間位置有關,一般稱為轉子附加磁動勢,該分量表征的是由定子開槽對轉子磁動勢的影響,即為轉子磁位波動。

在游標永磁電機一般解析模型中,通常會忽略轉子附加磁動勢Fadd的影響,僅考慮Fcon作為磁場源對電機的影響。然而,STVPM存在轉子磁位波動效應,轉子附加磁動勢Fadd幅值較大,若忽略其影響,則會帶來較大的解析推導誤差。并且,需要注意的是,轉子附加磁動勢的幅值Fa_n為負數,會對氣隙工作磁密產生負面影響,即

F(θ,t)=Fcon+Fadd=

Fa1_ncos[(nPr-Zs)θ-nωet]+

Fa2_ncos[(nPr+Zs)θ-nωet]};

(7)

(8)

(9)

(10)

STVPM空載氣隙磁密解析表達如式(11)所示,主要包含Pr極對數磁密Bcon、經氣隙磁導調制后的調制|Pr±hZs|極對數磁密Bmod?？梢?受轉子附加磁動勢Fadd的影響,空載氣隙磁密主要成分與傳統(tǒng)游標永磁電機存在較大區(qū)別,并且Bcon和Bmod都受到不同程度的削弱,見式(12)～式(16)。特別是在大極比條件下,轉子附加磁動勢基波Fa_1的幅值更大,此時磁場抑制效果明顯,磁位波動效應更加突出,導致轉矩性能提升未達到預期效果。

B(θ,t)=F(θ,t)Λ(θ,t)≈

{Bcon_1cos(Prθ-ωet)+

Bmod1_1cos[(Pr-Zs)θ-ωet]+

Bmod2_1cos[(Pr+Zs)θ-ωet]+

Bmod3_1cos[(Pr-2Zs)θ-ωet]+

Bmod4_1cos[(Pr+2Zs)θ-ωet]};

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

1.3 解析法與有限元對比驗證

為了驗證推導出的轉子磁動勢和氣隙磁密的解析模型準確性,研究磁位波動效應對電機磁場特性的影響,本文設計了一臺12槽14極STVPM電機,其主要設計參數見表1。

STVPM轉子磁動勢的有限元法與解析法計算結果對比如圖2所示?？梢?轉子磁動勢中存在較大的(Zs-Pr)次的分量,即為附加轉子磁動勢。在考慮轉子附加磁動勢后,解析法具有較高的精度。

圖3為有限元法和解析法計算的STVPM空載氣隙磁密的結果對比?？芍?當考慮附加磁動勢的影響時,氣隙磁密解析計算結果與有限元結果基本一致。此外,由于STVPM氣隙磁導存在豐富諧波,使得附加磁動勢對于不同諧波次數的磁密,影響效果并不完全相同。

2 STVPM多目標優(yōu)化設計

2.1 優(yōu)化設計思路

STVPM的參數化結構模型如圖4所示,與常規(guī)永磁電機相比,該類型電機設計變量較多、參數空間維度較高、磁場調制過程較復雜。在考慮同時滿足多個設計目標時,采用經典的單變量掃描法優(yōu)化所需的計算資源將會急劇增加,并且有可能獲得局部最優(yōu)而非全局最優(yōu)的方案。

圖4 參數化結構模型Fig.4 Parametric structure model

因此,為解決STVPM轉矩特性綜合提升優(yōu)化設計難度大、效率低的問題,本文提出一種基于參數靈敏度分層的多目標優(yōu)化設計技術,通過分析不同設計變量對多個優(yōu)化目標的影響程度,分別選用針對性的優(yōu)化設計方法構建電機性能代理模型,然后采用多目標遺傳優(yōu)化算法綜合提升電機轉矩特性與品質?；趨奠`敏度分層的多目標優(yōu)化設計流程如圖5所示。

圖5 多目標優(yōu)化設計流程圖Fig.5 Multi-objective optimization design flow chart

其主要包括以下步驟:

步驟1:根據STVPM設計要求,明確優(yōu)化目標、目標函數、設計變量和約束邊界;

步驟2:運用試驗設計法分析所有設計變量對不同優(yōu)化目標的參數靈敏度,結合綜合靈敏度分析法,將初始的高維設計變量空間劃分為強敏感層和弱敏感層,實現設計空間的分層與降維;

步驟3:針對強敏感層和弱敏感層變量,分別采用響應面法和參數掃描法進行優(yōu)化設計;

步驟4:建立不同優(yōu)化目標下的電機性能代理模型,評估電機性能代理模型的可信度。只有當模型可信度達到要求時,代理模型才可被用于下一步優(yōu)化設計;

步驟5:基于高可信度的電機性能代理模型,采用多目標遺傳優(yōu)化算法進行設計,根據優(yōu)化目標函數選擇出電機的優(yōu)選方案,運用有限元計算判斷是否達到優(yōu)化目標。

2.2 優(yōu)化設計約束

根據STVPM的設計輸入要求,確定優(yōu)化設計的約束條件,主要包括:直流母線電壓Vdc=48 V;額定轉速nr=3 300 r/min;額定轉矩Tr≥0.83 N·m;效率η≥88%;功率因素PF≥0.9;定子外徑Rso≤38 mm;氣隙長度g≥0.25 mm;槽滿率ksg≤0.49;熱負荷AJ≤2 400 A/cm×A/mm2。進一步地,選取轉矩密度Tdensity、齒槽轉矩Tcog和轉矩波紋Trip作為優(yōu)化設計目標,確定優(yōu)化目標函數f(x)為:

f(x)={maxTdensity(X),minTcog(X),minTrip(X)};

(17)

X=[ksplit,kso,ksd,ktw,krso,tip,tipang,wmag,hmag,dins,hoff,lstk]。

(18)

其中X是為電機的設計變量空間,其初始調整范圍見表2。為避免在優(yōu)化過程中有限元仿真模型出現出現干涉錯誤,本文選用結構變量比進行參數化建模,具體定義如下:

表2 設計變量及其調整范圍Table 2 Design parameters and range

(19)

2.3 綜合靈敏度分析

在STVPM優(yōu)化設計中,由于設計變量繁多,不同設計變量對優(yōu)化目標的影響程度并不一致,若同時對所有變量進行掃描分析,將會急劇增加優(yōu)化設計的計算消耗。參數靈敏度可有效地分析和評估設計變量對優(yōu)化目標的影響強弱,被認為是實現系統(tǒng)和高效優(yōu)化設計的有效方法之一[13-14]。設計變量x對優(yōu)化目標y的參數靈敏度S(x,y)定義如下:

(20)

(21)

式中:cov(x,y)為協方差;xm和σx為設計變量x的平均值和標準差;ym和σy為優(yōu)化目標y的平均值和標準差;N為試驗設計的樣本空間。

所有設計變量對不同優(yōu)化目標的靈敏度系數分析結果如圖6所示,圖中ST、Scog、Srip分別為設計變量對轉矩密度Tdensity、齒槽轉矩Tcog和轉矩波動Trip的靈敏度系數?？梢?不同的設計變量對不同優(yōu)化目標的影響有明顯的差異。通常,靈敏度系數越大表明設計變量和優(yōu)化目標間的內在聯系就越強,正靈敏度系數表征優(yōu)化目標將會隨著設計變量值的增加而增大,而負靈敏度系數則表征相反的趨勢。

圖6 靈敏度分析結果Fig.6 Sensitivity analysis result

由于單個設計變量對不同優(yōu)化目標的影響程度有差異,僅根據單變量的靈敏度系數進行優(yōu)化是無法同時滿足所有優(yōu)化目標。本文引入綜合靈敏度系數Scom,用于有效評估和確認多目標優(yōu)化設計問題下變量的敏感程度,其定義如下:

Scom=λT|ST|+λcog|Scog|+λrip|Srip|;

(22)

λT+λcog+λrip=1。

(23)

式中λT、λcog和λrip分別為轉矩密度Tdensity、齒槽轉矩Tcog和轉矩波動Trip的權重系數?？紤]到電機設計輸入要求,轉矩密度Tdensity優(yōu)先級別高,因此將λT設定為0.6,λcog和λrip設為0.2。最終求出所有設計變量的綜合靈敏度系數,見表3。

2.4 代理模型構建與優(yōu)化

通過比較綜合靈敏度系數Scom,所有變量被分成兩個不同層次,實現設計空間的分層與降維。表4為設計變量分層結果,針對不同層級的變量,分別選用響應面法和掃描法,建立不同優(yōu)化目標下的電機性能代理模型。

針對強靈敏度層級的設計變量,選用基于二階多項式的響應面法,構建設計變量與優(yōu)化目標的電機性能代理模型,即

(24)

式中:β0、βi、βii和βij是根據試驗樣本空間數值擬合出的回歸系數;ε是隨機誤差。圖7給出了設計變量ksplit和ktw的響應面分析結果?？梢?ksplit與ktw對轉矩密度Tdensity、齒槽轉矩Tcog和轉矩波紋Trip的影響趨勢和強弱程度并不相同,并且二者之間存在耦合作用互相影響,共同決定了設計目標的最優(yōu)分布。

通過決定系數Cod評估電機性能代理模型的擬合精度,數值越接近于1,意味著代理模型的精度更加接近有限元模型,表征基于代理模型的優(yōu)化結果越可信[15]。決定系數Cod定義為

(25)

表5 優(yōu)化結果Table 5 Optimization results

圖8 優(yōu)化解集和帕累托前沿Fig.8 Optimal solution set and Pareto front

3 電磁性能驗證

為了驗證所提出基于參數靈敏度分層的多目標優(yōu)化設計技術的有效性,本文采用限元法分析優(yōu)化前后的STVPM電磁性能。圖9為優(yōu)化前后在額定轉速下電機空載反電勢對比圖,可以明顯看出,優(yōu)化后的空載反電勢波形更加正弦,THDv由優(yōu)化前的13.1%降至優(yōu)化后的5.2%,有利于降低電機運行時的損耗和振動。

圖9 優(yōu)化前后空載反電勢對比Fig.9 Comparison of no-load back EMF before and after optimization

圖10為優(yōu)化前后的電機轉矩性能對比結果?？梢?優(yōu)化后電機轉矩質量明顯提升,齒槽轉矩由28.5 mN·m降至10.3 mN·m,轉矩波動由4.9%降至1.6%。轉矩品質的提高并沒有以犧牲輸出轉矩為代價的,優(yōu)化后的電機平均電磁轉矩從0.68 N·m提升至0.83 N·m。

考慮到STVPM轉子鐵心的安裝工藝,須校核1.2nr轉速下轉子強度,結果如圖11所示。轉子最大應力集中于轉子極靴頂端和安裝齒根部,最大應力約16 MPa,但遠低于轉子鐵心材料和鋁合金支架材料的屈服強度,表明優(yōu)化后電機轉子結構強度滿足要求。

圖11 轉子強度校核結果Fig.11 Rotor strength calibration results

4 結 論

本文采用解析法分析輪輻式游標永磁電機的磁位波動效應產生機理,建立STVPM的附加轉子磁動勢和空載氣隙磁密解析表達,并采用有限元法進行對比驗證,證明解析模型的準確性。為削弱轉子磁位波動對STVPM轉矩特性的影響,提高多目標優(yōu)化設計效率,本文提出一種基于參數靈敏度分層的多目標優(yōu)化設計方法,以綜合提升電機轉矩密度、齒槽轉矩和轉矩波動等轉矩性能為優(yōu)化目標,獲得優(yōu)先結構方案。經有限元校核,優(yōu)化設計后電機空載反電勢波形更加正弦,THDv由13.1%降至5.2%。電機轉矩特性具有明顯改善,齒槽轉矩由優(yōu)化前28.5 mN·m降至優(yōu)化后10.3 mN·m,轉矩波動由4.9%降至1.6%,平均轉矩由0.68 N·m提升至0.83 N·m。