陸吉明

【摘要】高中數學是一門難度相對較大的科目，相應的試題難度也比較大.解題訓練是日常教學中不可或缺的一個重要環(huán)節(jié)，不僅可以培養(yǎng)學生的知識應用能力，還能夠訓練他們的解題能力，數學教師除傳授一些常規(guī)解題方法外，還要注重部分特殊解題技巧的講授，數形結合思想即為其中之一，指導學生巧借數形結合思想高效解答數學試題，不斷增強他們學習數學的自信心.本文據此展開深入分析與探討，并分享部分解題實例.

【關鍵詞】高中數學；數形結合思想；解題

數形結合思想作為一種邏輯性與實用性較強的數學解題思想，也是一種把抽象思維與形象思維結合到一起的解題思維，能夠把抽象的數量關系轉化成形象的直觀圖形，以便學生更好地展開分析與理解，還可以把形象圖形中的數學概念與內在含義抽取出來，轉變成具體的數量關系，以便他們歸納與運用.對此，數學教師應指引學生根據具體題目巧妙借助數形結合思想分析題意，使其從中快速找到解題的切入點與思路，讓他們高效地解答試題［1］.

1 巧借以形助數思想，高效解答數學試題

在學習數學過程中，將“數”和“形”結合到一起的方法就是數形結合思想，不僅在內容方面，在方法使用方面均相互聯系和滲透，彼此之間還可以相互轉化，由此形成數形結合思想這一特殊的數學解題思想.數形結合是一種比較特殊的數學思想方法，應用時一般分為兩種情況，第一種是以形助數，利用“形”的直觀特征對“數”的關系展示出來.數學教師應引領學生根據題目中提供的數量關系，畫出與之對應的圖象或者圖形，讓他們求得準確答案［2］.

例1 請闡述一元二次方程、一元二次不等式與一元二次函數三者之間的關系.

分析 本題題干十分簡單，只是讓闡述這三個數學概念之間的關系，如果不列式、畫圖的話很難展開說明，這時教師可提醒學生采用以形助數的思想，把文字說明轉變成圖形樣式，這樣就顯得簡單明了，易于他們更好的解題.

詳解 可以借助平面直角坐標系，先畫出一元二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象，如圖1所示，利用圖象能夠直觀看到一元二次方程、一元二次不等式與一元二次函數之間的關系，y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的交點即為一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根，位于x軸上方的圖象部分是一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集，位于x軸下方的圖象是一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集.

例2 在反比例函數y=kx（k≠0）圖象上面任意取一點，分別做出與x軸和y軸相平行的線，證明：這兩條平行線同x軸和y軸之間圍成的圖形面積為定值.

分析 這是一道典型的有關數量關系的試題，但是并沒有配圖，假如不畫出圖形的話，學生的思維極易受到阻礙，很難形成簡便的證明思路，此時，教師應指導他們巧借以形助數的解題思想，先根據題意畫出相應的圖形，通過對圖形的直觀觀察，找到需證明的問題和題目信息之間存在的關系，使其快速確定證明思路

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詳解 根據題意先在一個平面直角坐標系中畫出反函數y=kx（k≠0）的圖象，在圖象上面任取一點A（a，b），分別畫x軸與y軸的平行線出AB與AC，可以得到一個四邊形ABOC，面積是SABOC=AB×AC，其中AB=a，AC=b，則四邊形ABOC的面積SABOC=a×b=k，從而證明四邊形ABOC的面積為反比例函數中的定值k.

2 巧借以數解形思想，高效解答數學試題

上文指出數形結合思想的運用一般包括兩種情況，第二種則為以數解形，即為利用“數”的精確性對“形”的一些屬性進行闡明，當部分幾何圖形比較簡單時，觀察后很難看出存在的規(guī)律，此時就能夠給圖形賦予適當的值，像角度、邊長等.在數學解題訓練中，當遇到一些同幾何圖形有關的題目時，采用幾何圖形對數量關系進行研究，即可采用代數的方式進行解決，把復雜的幾何圖形問題轉變成簡單的數量關系問題，從而讓學生高效率的解答試題［3］.

例3 如圖3所示，某學校有一個旗臺，其中在坡度為15°的看臺B點和看臺坡腳A點處，分別測得旗桿頂部的仰角為30°和60°，測得看臺坡腳A點與B點之間的長度是10米，請問旗桿CD的高度為多高？

分析 處理這一帶有幾何圖形類的試題時，教師可以引導學生根據題干中提供的信息構建出相應的三角形，使其利用三角形進行求解時，需先求出AD的長度，再運用直角三角形知識求出旗桿CD的高度，讓他們巧借數形結合思想把已知與未知條件均轉變成邊和角，最終通過以數解形的方式準確、快速的解答試題.

詳解 根據圖中信息可知，在△ABD中，∠ABD=45°，∠BAD=105°，∠ADB=30°，根據三角形正弦定理能夠得到10sin30°=ADsin45°，據此求得AD的長度是102米，在Rt△ACD中，AD=102，∠CAD=60°，結合三角形正弦定理sin60°=CDAD=CD102，能夠輕松求出CD=56米，也就是說旗桿CD的高度是56米.

3 結語

總的來說，在數學解題訓練活動中，數形結合思想有著廣泛的應用空間，教師需以理論知識的講授為前提，幫助學生以透徹理解與牢固掌握數形結合思想的本質和內涵為基礎，根據實際題目內容巧妙借助數形結合思想中的以形助數或者以數解形進行解題，以此降低數學試題的難度，使其確定簡便的解題方案，減少錯題現象的出現，助推他們高效解答數學試題.

參考文獻：

［1］王亞麗.數形結合思想在中學數學解題中的應用［J］.新課程教學（電子版），2022（18）：98-99.

［2］魏蘋.淺析數形結合在中學數學解題中的應用［J］.數學之友，2022，36（16）：55-58.

［3］章福枝，錢愛林.數形結合思想方法在中學數學解題中的運用［J］.湖北科技學院學報，2020，40（02）：95-98+128.