何俊蓉 金晶

黃岡師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 （湖北省黃岡市 438000）

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）對(duì)“統(tǒng)計(jì)”章節(jié)的要求是：通過數(shù)據(jù)收集、整理和分析，感悟數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)在實(shí)際生活中的進(jìn)行科學(xué)決策的必要性，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維，積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)[1]。高中數(shù)學(xué)課堂核心素養(yǎng)的落實(shí)需要深度學(xué)習(xí)，深度學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)學(xué)生在已有認(rèn)知水平和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上建構(gòu)新知以獲得高質(zhì)量學(xué)習(xí)結(jié)果。實(shí)例式教學(xué)又稱拋錨式教學(xué)和基于問題的教學(xué)，提倡在實(shí)際的情境中教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探究并解決問題，學(xué)生在此過程中結(jié)合自身已有知識(shí)技能進(jìn)行新知建構(gòu)，提升解決問題的能力。從這個(gè)意義上來講，實(shí)例式教學(xué)為深度學(xué)習(xí)提供了合適的切入點(diǎn)，深度學(xué)習(xí)理論與實(shí)例式教學(xué)不謀而合。喬連全等人比較了中美基于問題的拋錨式教學(xué)案例，詳細(xì)闡述了基于問題的拋錨式教學(xué)設(shè)計(jì)、內(nèi)容、特征以及實(shí)用情況[2]；李少云等人借助拋錨式教學(xué)模式研究了導(dǎo)數(shù)概念設(shè)計(jì)[3]；虞秀云等人聚焦真實(shí)問題，對(duì)拋錨式教學(xué)下的課例設(shè)計(jì)進(jìn)行解析[4]。依托特定的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，提出具體的實(shí)例式教學(xué)實(shí)施步驟的研究相對(duì)較少。

“最小二乘估計(jì)”是人教A 版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)“統(tǒng)計(jì)”章節(jié)的內(nèi)容，其教學(xué)往往由于過程枯燥、知識(shí)抽象難以與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系，使得教學(xué)效果不盡如人意。本文以“最小二乘估計(jì)”的教學(xué)為例，采用問題驅(qū)動(dòng)的方式，構(gòu)建實(shí)例式教學(xué)的實(shí)施過程，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)模型思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

2 教學(xué)模式和理論概述

2.1 深度學(xué)習(xí)理論

黎加厚教授指出，深度學(xué)習(xí)（Deep Learning）是在理解的基礎(chǔ)上，學(xué)生批判地接受新知，并將其納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與自身已有經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，將所學(xué)遷移到真實(shí)情境中以解決問題[5]。深度學(xué)習(xí)提倡主動(dòng)的、批判性的有意義學(xué)習(xí)，要求學(xué)習(xí)者在真實(shí)的情境中注重對(duì)信息的深度加工，批判性的反思學(xué)習(xí)，深度掌握數(shù)學(xué)核心概念和原理，主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)并應(yīng)用到情境中解決數(shù)學(xué)問題，最終促成學(xué)習(xí)目標(biāo)的完成和核心素養(yǎng)的提升[6]。

2.2 實(shí)例式教學(xué)

實(shí)例式教學(xué)模式倡導(dǎo)以學(xué)生為主體，教師通過創(chuàng)設(shè)實(shí)際教學(xué)情境以激發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突[7]。該模式一般由創(chuàng)設(shè)情境、確定問題、自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、效果評(píng)價(jià)五個(gè)環(huán)節(jié)組成，強(qiáng)調(diào)圍繞特定的教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)教學(xué)任務(wù)創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問題情境，通過課堂中師與生、生與生的交互式學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在盡可能真實(shí)、完整的情境中產(chǎn)生學(xué)習(xí)的需要與興趣，親身體驗(yàn)和感受、主動(dòng)識(shí)別、探索并解決問題。實(shí)例式教學(xué)提倡學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中自主觀察和探究，對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、實(shí)踐能力和思維能力的培養(yǎng)以及實(shí)現(xiàn)知識(shí)的概括化遷移、“四能”的發(fā)展具有重要作用。

圖1 實(shí)例式教學(xué)架構(gòu)

3 “最小二乘估計(jì)”實(shí)例式教學(xué)的實(shí)施探討

3.1 創(chuàng)設(shè)情境,提出問題

問題來源于情境，在數(shù)學(xué)情境中提出數(shù)學(xué)問題的過程是學(xué)生“數(shù)學(xué)化”學(xué)習(xí)過程的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，而數(shù)學(xué)化又是數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的焦點(diǎn)。面臨新的情境，深度學(xué)習(xí)提倡將已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行加工、重整，使其在新的問題情境中圓滿解決問題，實(shí)例式教學(xué)尤其重視數(shù)學(xué)情境的真實(shí)性，必須有利于學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的意義建構(gòu)。在此基礎(chǔ)上，從學(xué)生的興趣點(diǎn)著手，向?qū)W生展示視頻《泰城古國槐，記得住鄉(xiāng)愁》：歷史的積累和沉淀造就了泰安市車道上一棵棵挺拔的國槐樹，如今已成為城市一道靚麗的風(fēng)景線。正所謂“十年樹木，百年樹人”，通過視頻對(duì)學(xué)生進(jìn)行文化上的熏陶。賈某想知道家附近道路上一棵古槐樹有多高，通過測(cè)量得知樹的胸徑（樹的主干在地面以上1.3m 處的直徑）約為60cm，你能想辦法幫他估計(jì)出樹高嗎？

實(shí)例式教學(xué)又稱基于問題的教學(xué)，顧名思義，“問題”是其核心所在。好的提問能增加師生間的有效交流，獲得信息增量，促進(jìn)問題解決。觀看完視頻之后，教師提問學(xué)生：通過樹的胸徑為60cm，能預(yù)測(cè)出樹高嗎？

3.2 確定問題，建立模型

實(shí)例式教學(xué)采取“支架式”策略和“淡出”策略[8]。支架即搭建的腳手架，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生回顧“建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系需要搜集相關(guān)數(shù)據(jù)”，通過測(cè)量校園里國槐樹的胸徑和樹高搜集到部分?jǐn)?shù)據(jù)，得到樣本數(shù)據(jù)和散點(diǎn)圖。

表1 樹的胸徑與樹高對(duì)應(yīng)關(guān)系

圖2 散點(diǎn)圖

表1 中，胸徑為18.1cm、20.1cm 時(shí)，樹高分別為18.8m、19.2m；胸徑為29.6cm、32.4cm 時(shí)，對(duì)應(yīng)樹高為22.4m、22.6m；可見樹的胸徑和樹高之間并不是函數(shù)關(guān)系，因此不能用函數(shù)模型刻畫。觀察圖2，發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)大致分布在從左下角到右上角的直線附近，表名胸徑和樹高呈線性相關(guān)。聯(lián)想到用一次函數(shù)來刻畫這種關(guān)系，設(shè)即胸徑和樹高的關(guān)系模型，模型中參數(shù)a、b 刻畫了變量y 與變量x 的線性關(guān)系。根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)這兩個(gè)參數(shù)，換言之，能否找到一條直線，使得所有的散點(diǎn)盡可能地接近這條直線呢？如果可以，又怎樣刻畫散點(diǎn)與直線的接近程度呢？

學(xué)生可能的想法：第一，測(cè)量法，即先找出一條直線，測(cè)量出各點(diǎn)與它的距離，然后移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)使距離的和最小的位置，測(cè)量出此時(shí)的斜率和截距，可以得到一條直線；第二，畫圖法，在圖中畫出一條直線，使得分布在該直線兩側(cè)的散點(diǎn)的數(shù)量基本相等，即為所求直線；第三，平均值法，在圖中多取幾對(duì)點(diǎn)，確定出幾條直線，分別計(jì)算出幾條直線的斜率和截距，然后將將它們斜率和截距的平均值作為所求直線的斜率和截距。

圖3 學(xué)生成果展示

問題推動(dòng)教學(xué)，教師通過問題串帶領(lǐng)學(xué)生深入分析，從嘗試表示樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)與直線的接近程度，到成功建立起數(shù)學(xué)模型，學(xué)生經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)問題的“數(shù)學(xué)化”過程，深深體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活也應(yīng)用于生活，從而強(qiáng)化學(xué)習(xí)的內(nèi)部驅(qū)動(dòng)力。

3.3 自主學(xué)習(xí)，解析模型

學(xué)生經(jīng)歷了由特殊到一般、最小二乘法思想，明白模型建立的核心是最小二乘法，過程中也滲透了二次函數(shù)最小值的思想。借助數(shù)學(xué)概念和原理分析數(shù)學(xué)問題，通過教師提供的相關(guān)線索，學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的生成過程，根據(jù)提示完成任務(wù)。而學(xué)生通過上網(wǎng)查閱相關(guān)書籍、搜集資料等，是一個(gè)自主探索的過程。當(dāng)遇到困惑（用什么方法求的最小值）時(shí)，教師根據(jù)本節(jié)課的核心給予適當(dāng)提示——轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值問題，學(xué)生攻克難題的同時(shí)，掌握了用最小二乘法求、的方法。

3.4 合作學(xué)習(xí)，解決問題

依據(jù)模型找到刻畫胸徑與樹高關(guān)系的函數(shù)關(guān)系式，再回歸到具體問題，通過合作學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)共同體中各成員的討論交流、補(bǔ)充修正之后，對(duì)模型進(jìn)一步完善，最終解決問題。

圖4 胸徑、樹高經(jīng)驗(yàn)回歸直線

3.5 反思評(píng)價(jià)，提升素養(yǎng)

實(shí)例式教學(xué)解決的是學(xué)生面臨的真實(shí)問題，學(xué)生學(xué)習(xí)的過程就是問題解決的過程，即該過程能夠直接反映出學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，學(xué)生的接受和內(nèi)化程度也就決定著教學(xué)實(shí)施效果。基于此，教師帶領(lǐng)學(xué)生反思：根據(jù)建立模型得到的預(yù)測(cè)結(jié)果是準(zhǔn)確值嗎？倘若我們?cè)诮處熢偎鸭唤M數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到的預(yù)測(cè)值還會(huì)一樣嗎？如果不一樣，造成誤差的原因有哪些？你能總結(jié)出用最小二乘估計(jì)的一般步驟嗎？

學(xué)生回顧數(shù)學(xué)模型建立過程：發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型；數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)世界與實(shí)際問題的橋梁。學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程，教師反思教學(xué)過程，正是效果評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)的意義所在。

實(shí)例式教學(xué)為學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)搭建了平臺(tái)，真實(shí)的情境降低了學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問題抽象成數(shù)學(xué)問題的思維難度。從發(fā)現(xiàn)問題到提出問題，鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維；建立模型和自主學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)也使學(xué)生數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)得到提升。教學(xué)的五個(gè)環(huán)節(jié)由淺入深、環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

4 實(shí)例式教學(xué)啟示

4.1 情境創(chuàng)設(shè)需遵循量力性原則

維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論指出教學(xué)要走在發(fā)展的前面。實(shí)例式教學(xué)的特色在于通過創(chuàng)設(shè)逼近現(xiàn)實(shí)的問題情境，激發(fā)學(xué)生自主探索、與同伴交互式學(xué)習(xí)，解決真實(shí)問題。因此，開展教學(xué)的前提就是創(chuàng)設(shè)一個(gè)良好的數(shù)學(xué)情境，情境的創(chuàng)設(shè)就要遵循“最近發(fā)展區(qū)”理論，使數(shù)學(xué)活動(dòng)涉及到的學(xué)科知識(shí)在學(xué)生的認(rèn)知范圍內(nèi)，才能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)，促成有效學(xué)習(xí)。此外，學(xué)生自主探究的問題也要適度、適量，注意問題梯度的設(shè)置，層層遞進(jìn)、循序漸進(jìn)地啟發(fā)學(xué)生向目標(biāo)靠近。

4.2 主題教學(xué)促進(jìn)核心素養(yǎng)的提升

以“最小二乘估計(jì)”為例的實(shí)例式教學(xué)主要以兩條線索展開：一條是用最小二乘法預(yù)測(cè)數(shù)值，另一條是搜集、整理、分析數(shù)據(jù)的過程。在開放性的問題背景下，教師以“輔助者”的角色引導(dǎo)學(xué)生參與問題生成與解決的全過程，深入學(xué)習(xí)，不僅可以提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，也鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。學(xué)生從多元化視角思考問題，親身體驗(yàn)用最小二乘法原理構(gòu)建模型，有利于數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)和素養(yǎng)的提升，達(dá)到鞏固“四基”、提升“四能”的教學(xué)目標(biāo)。