張 立, 向彥霖

國(guó)防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073

0 引言

磁懸浮飛輪控制器算法的精度、復(fù)雜度和實(shí)時(shí)性通常會(huì)相互掣肘,轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速較高時(shí)控制器必須提高刷新頻率以避免過大的相移,控制周期縮短導(dǎo)致無法完成過于復(fù)雜的控制策略,故PID控制器(Proportional-Integral-Derivative Controller,PID Controller)成為工程實(shí)踐中主要采用的控制策略。

PID控制器的參數(shù)整定沒有從頂層設(shè)計(jì)上考慮魯棒性,模型參數(shù)攝動(dòng)情況下控制性能的變化難以預(yù)測(cè),工程上通常用試錯(cuò)法回避此類問題。魯棒控制理論設(shè)計(jì)控制器時(shí),如果假設(shè)的攝動(dòng)參數(shù)比較多,所得到的魯棒控制器就比較保守,只能以降低時(shí)域性能為代價(jià)來提高魯棒性。

實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)磁懸浮飛輪控制對(duì)象模型各參數(shù)中,位移剛度參數(shù)攝動(dòng)的概率和幅度都最大,且該參數(shù)攝動(dòng)對(duì)閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能影響也最大,為了充分利用這一已知信息,可以采用參數(shù)化特征值配置技術(shù)(Eigenvalve Assignment, EA)[1],用閉環(huán)系統(tǒng)特征值對(duì)位移參數(shù)的靈敏度作為性能指標(biāo),通過求解指標(biāo)函數(shù)的極值來計(jì)算特征值并推算全狀態(tài)反饋控制參數(shù)。

在磁懸浮飛輪上實(shí)現(xiàn)全狀態(tài)反饋控制通常需要狀態(tài)觀測(cè)器,這會(huì)導(dǎo)致控制器計(jì)算量的大幅增加,不利于高速狀態(tài)下的實(shí)時(shí)控制。對(duì)于這一問題,可以通過設(shè)計(jì)由控制對(duì)象輸入輸出信息直接推算出的狀態(tài)變量,構(gòu)造非最少狀態(tài)空間控制(Non-Minimal State Space control, NMSS control)模型[2]來實(shí)現(xiàn)無狀態(tài)觀測(cè)器的全狀態(tài)反饋控制。

NMSS控制結(jié)合了PID控制簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)和狀態(tài)空間控制全息、參數(shù)整定理論完備的優(yōu)點(diǎn),也被稱為比例積分加控制[3](proportional-Integral-Plus control,PIP control)。NMSS狀態(tài)向量中含有輸入輸出信號(hào)的微分平坦項(xiàng)和積分項(xiàng),閉環(huán)控制系統(tǒng)抗干擾性能優(yōu)于未增廣狀態(tài)的最少狀態(tài)空間控制系統(tǒng)[3]。

對(duì)于控制時(shí)滯、功放非線性等其他非理想因素導(dǎo)致的控制性能下降,可以采用等價(jià)干擾信號(hào)補(bǔ)償控制方法(Equivalent Disturbance Compensation, EDC)[4]將這些因素等價(jià)為控制器輸出誤差分量,通過構(gòu)造逼近該分量的補(bǔ)償信號(hào)來抵消未建模誤差對(duì)控制系統(tǒng)的影響,由于補(bǔ)償信號(hào)及其濾波器所引入的系統(tǒng)特征值遠(yuǎn)離原系統(tǒng)主導(dǎo)特征值[5],該方法可以在不影響其他控制器實(shí)現(xiàn)、也不影響系統(tǒng)主導(dǎo)特征值下獲得較好的干擾抑制效果,且算法運(yùn)算量比較低,易于航天應(yīng)用[6]。

本文將非最少狀態(tài)空間控制與參數(shù)化特征值配置、信號(hào)補(bǔ)償技術(shù)結(jié)合起來應(yīng)用于磁懸浮飛輪控制(下面稱其為NMSS-EA-EDC方法),其中前兩種技術(shù)的組合已在倒立擺實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上驗(yàn)證了可行性和有效性[7]。

1 磁懸浮飛輪模型及能控性

1.1 物理模型及最少狀態(tài)空間模型

磁懸浮飛輪轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程(在平衡點(diǎn)附近線性化之后)如下:

(1)

其中:kx和ki為等效位移剛度和電流剛度,f為轉(zhuǎn)子受到的電磁力之外的其他擾動(dòng)力,m為等效單通道轉(zhuǎn)子質(zhì)量,x和i分別為轉(zhuǎn)子位移和磁軸承電流。以電流為輸入、轉(zhuǎn)子位移為輸出的傳遞函數(shù)模型為:

(2)

(3)

(4)

(5)

將最少狀態(tài)空間模型狀態(tài)矩陣和輸入矩陣中含攝動(dòng)參數(shù)的元素定義為a21=kx/m,b2=ki/m。

1.2 非最少狀態(tài)空間控制模型

選擇狀態(tài)向量xnm如下:

(6)

其中:s代表拉普拉斯算子,z=-x/s代表轉(zhuǎn)子位移偏差的積分,T(s)=s2+t1s+t2為濾波多項(xiàng)式,t2≠0。則非最少狀態(tài)空間模型為:

(7)

其中,狀態(tài)矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣分別為:

(8)

h=[a21+t2t1b20 0]

(9)

1.3 模型能控性

定理1.非最少狀態(tài)空間模型(7)能控的充分必要條件是1.1節(jié)中物理模型所對(duì)應(yīng)的最少狀態(tài)空間模型(3)能控。

證.根據(jù)PBH(Popov, Belevitch and Hautus)判據(jù),模型(7)能控等價(jià)于對(duì)任意復(fù)數(shù)λ,P(λ)=[λI-F,g]的秩為5。

必要性:若模型(3)不可控,則P(λ)前2行的秩小于2,模型(7)不可控。

充分性:若模型(3)可控,則P(λ)前2行的秩為2,且b2≠0。由后者可得P(λ)后3行的秩為3,則模型(7)能控。

2 優(yōu)化對(duì)特定參數(shù)攝動(dòng)的適應(yīng)性

非最少狀態(tài)空間閉環(huán)控制系統(tǒng)模型框圖為:

圖1 非最少狀態(tài)空間閉環(huán)控制系統(tǒng)模型框圖

其中:多項(xiàng)式G(s)和H(s)定義為:

G(s)=k3+k4s

(10)

H(s)=k1+k2s

(11)

其中:k1～k4為狀態(tài)反饋控制器k中的參數(shù)。

k=[k1k2k3k4kI]

(12)

閉環(huán)控制模型的狀態(tài)矩陣為Anc=F-gk,為了提高魯棒性,設(shè)定約束Anc為正規(guī)矩陣(無重復(fù)特征值)。用閉環(huán)狀態(tài)矩陣Anc的特征值對(duì)特定攝動(dòng)參數(shù)kx的靈敏度值來構(gòu)造優(yōu)化指標(biāo)函數(shù)。根據(jù)Hellman-Feynman定理,對(duì)于正規(guī)矩陣,其特征根靈敏度函數(shù)求法為:

(13)

其中:ti和vi分別為第i個(gè)特征根對(duì)應(yīng)的左、右特征向量。可根據(jù)工程實(shí)際需求決定是否在指標(biāo)函數(shù)中加入擾動(dòng)敏感度項(xiàng)和控制能量代價(jià)項(xiàng)[1]。根據(jù)系統(tǒng)時(shí)域性能指標(biāo)約束,在s平面上畫出等超調(diào)量線、等調(diào)節(jié)時(shí)間線等性能邊界,在邊界內(nèi)求指標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解得到閉環(huán)系統(tǒng)最佳特征根,在無重根約束下可以通過極點(diǎn)配置法唯一求解控制器中的5個(gè)參數(shù)。

3 參數(shù)攝動(dòng)等價(jià)干擾信號(hào)補(bǔ)償

控制對(duì)象傳遞函數(shù)模型式(2)可以寫成:

y(s)(s2-kx/m)=(ki/m)u(s)

(14)

引入等價(jià)干擾控制量v(s),把上節(jié)控制器計(jì)算輸出的理論控制量u(s)寫成兩部分的和:

(15)

(16)

為了使上式等號(hào)右邊傳遞函數(shù)可以物理實(shí)現(xiàn),引入二階低通濾波器φ(s):

(17)

用φ(s)v(s)逼近等價(jià)干擾控制量v(s),得到信號(hào)補(bǔ)償后系統(tǒng)真實(shí)控制量:

(18)

上式即為磁懸浮飛輪等價(jià)干擾信號(hào)補(bǔ)償控制算法。

4 數(shù)值仿真

將NMSS-EA-EDC控制策略應(yīng)用于文獻(xiàn)[1]中磁懸浮飛輪的一個(gè)垂直通道,系統(tǒng)參數(shù)見表1。將閉環(huán)系統(tǒng)特征根中的4個(gè)設(shè)定為-50, -60, -70, -80,主導(dǎo)特征根通過多目標(biāo)優(yōu)化策略求解。設(shè)定標(biāo)稱時(shí)域性能指標(biāo)為調(diào)節(jié)時(shí)間小于1 s,超調(diào)量不超過5%,則主導(dǎo)特征根尋優(yōu)范圍選為s平面負(fù)實(shí)軸上實(shí)部小于-4的部分。圖2給出主導(dǎo)特征值為-8時(shí)轉(zhuǎn)子位移階躍響應(yīng)參數(shù)攝動(dòng)蒙特卡洛仿真結(jié)果。其中,位移剛度kx的最大攝動(dòng)幅度為標(biāo)稱值的萬(wàn)分之五。

表1 磁懸浮飛輪參數(shù)

圖2 仿真結(jié)果(NMSS-EA方法,參數(shù)攝動(dòng)0.05%)

采用文獻(xiàn)[6]信號(hào)補(bǔ)償方法后再次進(jìn)行相同設(shè)定的蒙特卡洛仿真,結(jié)果如圖3所示。對(duì)比圖2和3可以看出,信號(hào)補(bǔ)償方法在相同的閉環(huán)特征值下顯著降低系統(tǒng)對(duì)位移剛度參數(shù)攝動(dòng)的敏感度。

圖3 仿真結(jié)果(NMSS-EA-EDC方法,參數(shù)攝動(dòng)0.05%)

進(jìn)一步研究NMSS-EA-EDC閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征值對(duì)參數(shù)攝動(dòng)魯棒性能的影響,將閉環(huán)系統(tǒng)特征根設(shè)定為-363.6, -374.5, -680, -790, -1905。主導(dǎo)特征值為-363.6時(shí)NMSS-EA-EDC方法階躍響應(yīng)參數(shù)攝動(dòng)蒙特卡洛仿真結(jié)果如圖4所示,當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)的特征值離虛軸很遠(yuǎn)時(shí),NMSS-EA-EDC方法在參數(shù)攝動(dòng)70%的情況下仍然能夠正常工作,但此時(shí)系統(tǒng)超調(diào)量較大,這表明過于保守的特征值配置雖然魯棒性強(qiáng),但犧牲了一定的時(shí)域性能。

圖4 仿真結(jié)果(參數(shù)攝動(dòng)70%)

5 結(jié)論

將NMSS、EA、EDC三種方法結(jié)合起來應(yīng)用于磁懸浮飛輪的轉(zhuǎn)子懸浮位移控制,通過數(shù)值仿真進(jìn)行了控制算法驗(yàn)證研究,可得出:位移剛度等系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)的攝動(dòng)對(duì)磁懸浮飛輪控制系統(tǒng)時(shí)域性能影響很大;可以用主導(dǎo)特征值對(duì)攝動(dòng)參數(shù)的靈敏度函數(shù)來有效表征系統(tǒng)對(duì)參數(shù)不確定性的容忍度;閉環(huán)系統(tǒng)最靠近虛軸的主導(dǎo)特征值離虛軸越遠(yuǎn)控制器對(duì)參數(shù)攝動(dòng)的適應(yīng)性越好,但控制所需能量代價(jià)越大;可以通過設(shè)計(jì)包含主導(dǎo)特征值對(duì)攝動(dòng)參數(shù)的靈敏度、系統(tǒng)控制能量代價(jià)函數(shù)、系統(tǒng)對(duì)外界干擾的靈敏度的指標(biāo)函數(shù)來實(shí)現(xiàn)磁懸浮飛輪多目標(biāo)優(yōu)化控制。

為了實(shí)現(xiàn)無需狀態(tài)觀測(cè)器的全狀態(tài)反饋控制策略,可以將控制模型增廣為非最少狀態(tài)空間模型,狀態(tài)變量中各元素可由控制對(duì)象的輸入、輸出量計(jì)算得到,能夠在充分利用系統(tǒng)有用信息的前提下有效降低多目標(biāo)優(yōu)化控制器設(shè)計(jì)問題的復(fù)雜度。此外,增廣狀態(tài)帶來更多可調(diào)特征值,在相同的主導(dǎo)特征值條件下,在調(diào)節(jié)時(shí)間等時(shí)域性能上有更大的回旋余地。

信號(hào)補(bǔ)償方法可以在不改變主導(dǎo)特征值的前提下顯著提高控制器對(duì)參數(shù)攝動(dòng)的適應(yīng)性。當(dāng)位移剛度參數(shù)攝動(dòng)達(dá)到標(biāo)稱值的70%時(shí),NMSS-EA-EDC方法仍然能夠鎮(zhèn)定系統(tǒng)。