王志華

摘 要：含參函數(shù)的單調(diào)性問題一直是新高考中比較常見的一類難點(diǎn)與亮點(diǎn)問題，結(jié)合一道高考真題實(shí)例，從不同思維視角切入，剖析問題的轉(zhuǎn)化與求解，進(jìn)一步拓展思維，變式提升，歸納解題規(guī)律，提升數(shù)學(xué)能力，引領(lǐng)并指導(dǎo)解題研究.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；單調(diào)性；參變分離；端點(diǎn)效應(yīng)

含參函數(shù)的單調(diào)性及其綜合應(yīng)用問題，一直是高考數(shù)學(xué)試卷中比較常見的一類常見題型.此類綜合應(yīng)用問題，設(shè)問方式多變，形式新穎創(chuàng)新，同時(shí)合理交匯并融合函數(shù)與方程思想、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、不等式等相關(guān)的數(shù)學(xué)思想與基礎(chǔ)知識(shí)，可以很好考查考生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，具有較高的選拔性與區(qū)分度，倍受各方關(guān)注.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題：（2023年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科·16）設(shè)a∈（0，1），若函數(shù)f（x）=a^x+（1+a）^x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是__________.

此題以兩個(gè)含參的指數(shù)函數(shù)的和式所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式來創(chuàng)設(shè)函數(shù)場(chǎng)景，利用函數(shù)的單調(diào)性來確定對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍問題.

涉及此類判斷函數(shù)的單調(diào)性或利用函數(shù)的單調(diào)性來綜合應(yīng)用問題，都是高考命題中比較常見的題型之一.這里借助函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增（或減），則其對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)恒為正數(shù)（或恒為負(fù)數(shù)），借助不等式的構(gòu)建，為進(jìn)一步參數(shù)值的求解或其他相關(guān)應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

在實(shí)際判斷函數(shù)的單調(diào)性或利用函數(shù)的單調(diào)性來綜合應(yīng)用時(shí)，合理借助相應(yīng)的技巧方法與解題策略，主要利用不同形式的參變分離法或端點(diǎn)效應(yīng)法來切入，同時(shí)經(jīng)常要結(jié)合分類討論、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法來應(yīng)用.

2 真題破解

3 變式拓展

4 教學(xué)啟示

4.1 總結(jié)常規(guī)方法，歸納常見思維

解答一些解析式中帶有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值等綜合應(yīng)用問題，主要是借助函數(shù)的求導(dǎo)，通過導(dǎo)函數(shù)的構(gòu)建，從函數(shù)的圖象或不等式恒成立等方面數(shù)形直觀或邏輯推理，借助方程的恒等變形以及不等式性質(zhì)，合理采取參變分離、主元分離、端點(diǎn)效應(yīng)等思維方式，做到一“變”一“常”，一“靜”一“動(dòng)”，結(jié)合相關(guān)的技巧方法來分析與處理.

4.2 倡導(dǎo)“一題多解”，實(shí)現(xiàn)“一題多得”

選取一些經(jīng)典的高考導(dǎo)數(shù)真題，在問題解決的前提下，要適當(dāng)停下來，合情合理適時(shí)地反思，領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含地?cái)?shù)學(xué)思想，不同視角、不同層面進(jìn)行深層次探究與剖析，以期達(dá)到觸類旁通，舉一反三，全面運(yùn)用“一題多思”“一題多解”“一題多變”手段，真正達(dá)到“一題多得”的學(xué)習(xí)效果.

借助“一題多解”，可以使得我們更加熟練和牢固地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，更加完善地建立知識(shí)體系，獲得更開闊地解題思路，解題效益從而真正提高，發(fā)散思維能力進(jìn)一步提升，我們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性和趣味性有了進(jìn)一步激發(fā)，從而我們的知識(shí)水平和思維能力有了全面提高.