徐文逸，王紹航，馬宇琨，韓豐田

（清華大學(xué) 精密儀器系，北京 100084）

諧振梁加速度計(jì)利用精密機(jī)械諧振器的力-頻轉(zhuǎn)換特性將輸入加速度轉(zhuǎn)換為諧振頻率變化，具有動態(tài)范圍大、穩(wěn)定性高、準(zhǔn)數(shù)字輸出等優(yōu)點(diǎn)，是高精度微機(jī)電系統(tǒng)（Micro Electro Mechanical Systems,MEMS）加速度計(jì)的重要發(fā)展方向，在高精度慣性導(dǎo)航、?？罩亓y量等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景[1]。

對于諧振梁加速度計(jì)的工程應(yīng)用，頻率測量要滿足實(shí)時(shí)性、高更新率、高分辨率等要求。常用的測頻方法，基于計(jì)數(shù)法原理的有直接計(jì)數(shù)法、等精度測頻法、連續(xù)時(shí)間標(biāo)記法[2]、延遲鏈法[3]、多路移相時(shí)鐘法[4]等；基于相位差原理的有相位重合測頻法[5]、游標(biāo)法[6]、差拍法[7]、鎖相環(huán)[8]等。基于計(jì)數(shù)法的測頻方法原理簡單，但提高精度往往需要消耗更多硬件資源；基于相位差的測頻方法精度極高，但對于相位差檢測電路同樣有著很高的精度要求?，F(xiàn)有文獻(xiàn)主要針對加速度計(jì)標(biāo)定測試需求，側(cè)重于研究低采樣率（如1 Hz）下的測頻技術(shù)，而諧振梁加速度計(jì)應(yīng)用于慣性導(dǎo)航系統(tǒng)時(shí)，需要以數(shù)百至數(shù)千Hz 采樣率更新測量結(jié)果，此時(shí)頻率噪聲是制約測頻系統(tǒng)性能的主要因素。本文針對高采樣率、低噪聲測頻需求，推導(dǎo)了等精度測頻法和連續(xù)時(shí)間標(biāo)記法的噪聲功率譜密度模型，分析并測試了高采樣率下串入低通濾波器前后兩種測頻方法的噪聲水平，可兼顧加速度計(jì)測量帶寬與采樣率的不同需求。

1 諧振梁加速度計(jì)工作原理

常見的硅微諧振梁加速度計(jì)（Micromechanical Resonant Accelerometer,MRA）的基本結(jié)構(gòu)見圖1，包括檢測質(zhì)量、諧振梁、梳齒電極和支承梁等。

當(dāng)輸入加速度沿x軸方向施加時(shí)，檢測質(zhì)量兩側(cè)的諧振梁分別受到拉力和壓力，導(dǎo)致兩側(cè)諧振梁的固有諧振頻率差動變化。加速度計(jì)控制電路通過布置在諧振梁兩側(cè)的梳齒電極檢測振幅并驅(qū)動諧振器工作在諧振狀態(tài)，通過測量兩個(gè)諧振頻率并解算其差值，可反映輸入加速度的幅值和極性[1]。

2 測頻噪聲分析

2.1 等精度測頻法

對于一個(gè)周期性信號，測量其頻率最簡單直觀的方法即直接計(jì)數(shù)法，原理是在閘門時(shí)間T內(nèi)對輸出周期進(jìn)行計(jì)數(shù)，得到計(jì)數(shù)值N，則信號的頻率f為：

圖2 給出了直接計(jì)數(shù)法的原理?？梢钥闯?，由于閘門開啟和關(guān)閉時(shí)刻不一定與待測信號的上升沿完全重合，因此計(jì)數(shù)值N中存在±1 個(gè)計(jì)數(shù)誤差。

圖2 直接計(jì)數(shù)法原理Fig.2 Conventional counting method

設(shè)信號真實(shí)頻率為f*，則有：

測量頻率f與真實(shí)頻率f*的誤差為：

其中Tsignal為被測信號周期，可以看出直接計(jì)數(shù)法的誤差與閘門時(shí)間成反比。

20 世紀(jì)80 年代，有研究人員在直接計(jì)數(shù)法的基礎(chǔ)上提出等精度測頻法[2]。在等精度測頻法中，實(shí)際閘門信號的開啟與關(guān)斷由被測信號上升沿觸發(fā)，單次測量的原理框圖如圖3，時(shí)鐘信號計(jì)數(shù)值不斷累加，并在每個(gè)被測信號的上升沿輸出與上一個(gè)上升沿時(shí)的時(shí)鐘計(jì)數(shù)之差N。

圖3 等精度測頻法單次測頻原理框圖Fig.3 Block diagram of equal precision method in one period

等精度測頻法可以有效地消除實(shí)際閘門信號內(nèi)的被測信號計(jì)數(shù)誤差，具有原理簡單、占用硬件資源少、易于實(shí)現(xiàn)、精度高等優(yōu)點(diǎn)。

由于實(shí)際閘門的開啟與關(guān)閉不一定與時(shí)鐘信號的上升沿完全重合，因此閘門時(shí)間內(nèi)存在±1 個(gè)時(shí)鐘計(jì)數(shù)誤差[9,10]，如圖4 所示：

圖4 等精度測頻法測頻示意圖Fig.4 Schematic diagram of synchronous periodic counting

由式(2)(3)可以推導(dǎo)出等精度測頻法的測量誤差：

比較式(3)(4)可知，相較于直接計(jì)數(shù)法，等精度測頻法把待測信號的周期計(jì)數(shù)誤差轉(zhuǎn)換為時(shí)鐘周期的計(jì)數(shù)誤差，將量化誤差縮小到原先的。選取的時(shí)鐘頻率fclk越高，測頻精度越高。

測頻噪聲實(shí)驗(yàn)中，使用安泰信ATF20B 信號發(fā)生器生成8 Vp-p、20 kHz 的被測正弦信號，通過前置比較器電路將其轉(zhuǎn)化為方波信號后輸入到FPGA 管腳，在FPGA 測頻電路中通過等精度測頻法測量其頻率，時(shí)鐘頻率設(shè)置為20 MHz，閘門時(shí)間T設(shè)為1 s，由式(4)計(jì)算得出，Δf≤1 mHz 。與圖5 的測頻結(jié)果吻合。

圖5 等精度測頻法的測頻結(jié)果Fig.5 Frequency measurement result of synchronous periodic counting

下面分析測頻噪聲的功率譜密度。設(shè)在第n個(gè)周期內(nèi)，閘門時(shí)間為R[n］，時(shí)鐘計(jì)數(shù)量化輸出為N[n］（即閘門時(shí)間內(nèi)時(shí)鐘計(jì)數(shù)對應(yīng)時(shí)間），當(dāng)前時(shí)鐘周期的量化噪聲為e[n］（即閘門關(guān)閉時(shí)對應(yīng)的時(shí)鐘信號被截?cái)嗟闹芷谑Ｓ嗖糠郑?，則有:

使用等精度測頻法測頻時(shí)，測量結(jié)果f滿足：

式中Ninputsignal為閘門時(shí)間內(nèi)被測信號周期數(shù)，實(shí)際頻率f*為：

因此f與f*的偏差Q（n）為：

式(9)中e[n］ -e[n-1］視為零均值隨機(jī)變量，故省略負(fù)號。

將式(8)代入式(9)，得：

若閘門時(shí)間R[n］取為常值R，在z 域下有：

即測量結(jié)果的噪聲是對時(shí)鐘量化噪聲e（z）的一階整形。

在頻域下，有[11]：

由Parseval 定理，導(dǎo)出其單邊功率譜密度為：

設(shè)測頻信號采樣率（也即輸出更新率）為fs，閘門時(shí)間即：

式(15)中Se（f）是量化噪聲e[n］的功率譜密度。量化噪聲視為上均勻分布的白噪聲，其功率譜密度為：

將式(16)代入式(15)，得到等精度測頻法的測頻噪聲功率譜密度：

實(shí)驗(yàn)中分別利用信號發(fā)生器和課題組研制的硅微諧振梁加速度計(jì)（見圖6(a)）輸出被測信號，并使用課題組自研FPGA 測頻模塊（見圖6(b)）進(jìn)行頻率測量。由前面的分析可知測頻精度與參考時(shí)鐘信號的精度有關(guān)，因此FPGA 采用高精度20 MHz 溫補(bǔ)晶振作為參考時(shí)鐘，在-20℃～70℃工作溫度范圍內(nèi)頻率漂移小于0.1 ppm。

圖6 實(shí)驗(yàn)中所用硅微諧振梁加速度計(jì)樣機(jī)及測頻模塊Fig.6 The MRA prototype and frequency readout module used in the experiment

加速度計(jì)的單側(cè)諧振頻率約為23437 Hz，將信號發(fā)生器的頻率也設(shè)為該值。在FPGA 測頻模塊中使用等精度測頻法分別對加速度計(jì)和信號發(fā)生器輸出的信號進(jìn)行頻率測量。設(shè)定輸出更新率fs＝f*，測頻數(shù)據(jù)通過串口傳輸至上位機(jī)記錄。

將采集到的數(shù)據(jù)在MATLAB 中進(jìn)行處理，圖7是計(jì)算出的功率譜密度圖。

圖7 等精度測頻法測頻噪聲功率譜密度Fig.7 The noise power spectral density of synchronous periodic counting

可以看出信號發(fā)生器輸出信號的噪聲功率譜密度在1 Hz 以上的頻段和式(17)吻合較好，低于1 Hz 頻段的差異是被測信號存在溫漂、時(shí)漂等低頻噪聲所致。加速度計(jì)信號本身的頻率噪聲較信號發(fā)生器大1～2 個(gè)量級，這是由于加速度計(jì)的輸出信號耦合了結(jié)構(gòu)、電路等噪聲。等精度測頻法對量化噪聲進(jìn)行了一階整形，其測頻噪聲功率譜密度曲線以20 dB/dec 的斜率上升，部分測頻噪聲被搬移到測量帶寬之外，從而降低了帶寬內(nèi)的測頻噪聲[12]。

2.2 連續(xù)時(shí)間標(biāo)記法

21 世紀(jì)初，文獻(xiàn)[2]中提出基于最小二乘法擬合原理的連續(xù)時(shí)間標(biāo)記測頻法，硬件上僅需采用一個(gè)寄存器和一個(gè)計(jì)數(shù)器。其原理是在閘門開啟的時(shí)間內(nèi)對被測信號和時(shí)鐘信號分別進(jìn)行計(jì)數(shù)，并對每個(gè)被測信號的上升沿進(jìn)行標(biāo)記。閘門關(guān)閉后，得到n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn){xk,Tk}。其中n為輸入脈沖個(gè)數(shù)，xk是標(biāo)記點(diǎn)被測信號計(jì)數(shù)值，也即從1 到n的自然數(shù)序列，Tk是對應(yīng)時(shí)鐘量化輸出。閘門的開啟與關(guān)閉同樣由被測信號的上升沿控制，對閘門內(nèi)n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)線性擬合得到一條直線，其斜率的倒數(shù)即為頻率測量值[13]，表示為：

類似地，由式(6)可以推導(dǎo)出第n個(gè)閘門時(shí)間內(nèi)，連續(xù)時(shí)間標(biāo)記法的偏差為：

其中m為每個(gè)閘門時(shí)間內(nèi)的被測信號周期數(shù)，則Q（n）的方差為：

量化誤差項(xiàng)視為白噪聲，得到連續(xù)時(shí)間標(biāo)記法的測頻噪聲功率譜密度為：

利用連續(xù)時(shí)間標(biāo)記法分別對信號發(fā)生器和加速度計(jì)的輸出信號測頻，設(shè)輸出更新率為400 Hz，測得兩者的噪聲功率譜密度如圖8。

圖8 連續(xù)時(shí)間標(biāo)記法測頻噪聲功率譜密度Fig.8 The noise power spectral density of continuous time stamping

對于硅諧振式加速度計(jì)，諧振頻率通常在幾十kHz，因此以較低的測頻更新率輸出時(shí)會混疊高頻噪聲。與等精度測頻法相比，連續(xù)時(shí)間標(biāo)記法不具備噪聲整形特性，全頻段內(nèi)噪聲功率譜密度較為平坦，因此高頻噪聲較低，低更新率下可以有效避免噪聲混疊。

3 高更新率下測頻噪聲分析

應(yīng)用于慣性導(dǎo)航系統(tǒng)時(shí)，要求加速度計(jì)數(shù)據(jù)輸出更新率高達(dá)幾百乃至上千Hz，因此有必要評估高更新率下兩種測頻方法的噪聲性能。

由式(17)(21)，可以得出等精度測頻法和連續(xù)時(shí)間標(biāo)記法的噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σE和σC分別為：

可以看出，等精度測頻法的噪聲與更新率成正比，連續(xù)時(shí)間標(biāo)記法的噪聲與更新率成3/2 次冪的關(guān)系。將前面采集到的信號發(fā)生器原始輸出數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB，分別使用兩種測頻方法計(jì)算噪聲（用相對分辨率即表征），圖9 是兩種測頻方法的相對分辨率與更新率的關(guān)系，可以看出在1～1000 Hz 范圍內(nèi)，連續(xù)時(shí)間標(biāo)記法的測頻噪聲均低于等精度測頻法。

圖9 兩種測頻方法相對分辨率與更新率的關(guān)系Fig.9 The relationship between the relative resolution and update rate of the two frequency measurement methods

圖中的計(jì)算結(jié)果與式(22)(23)的結(jié)果有一定的偏差，這是因?yàn)閷?shí)際的量化噪聲Se（f）并非式(16)中理想的白噪聲。一方面，從圖7 中可以看出，噪聲功率譜密度曲線中存在較多跳變，這些跳變點(diǎn)對應(yīng)的頻率值是實(shí)際的信號頻率和時(shí)鐘頻率的公因子頻率，是量化噪聲并非均勻分布，而是存在著量化相移分辨力[14]所導(dǎo)致的；另一方面，實(shí)際測頻噪聲中耦合了主頻時(shí)鐘的相位抖動、比較器觸發(fā)誤差及被測信號的固有噪聲等[1]。因此，式(22)(23)一般只用于估計(jì)噪聲的數(shù)量級，不適合進(jìn)行精確計(jì)算。

為抑制高頻噪聲，本文提出對頻率測量結(jié)果進(jìn)行數(shù)字低通濾波的改進(jìn)測頻方案，并詳細(xì)分析了濾波器帶寬、不同測頻方法對測量噪聲的影響。

出于ASIC 集成方面的考慮，數(shù)字濾波器常用CIC 濾波器或Butterworth 低通濾波器。CIC 濾波器常用于多速率信號處理系統(tǒng)中，可以以較少的硬件資源實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波和采樣率轉(zhuǎn)換。

以CIC 降采樣濾波器為例，抽取倍數(shù)設(shè)為R，單級濾波器應(yīng)具有如下形式的沖激響應(yīng)[15]：

對該沖激響應(yīng)進(jìn)行z變換后，得到傳遞函數(shù)為：

N級CIC 濾波器級聯(lián)的幅頻響應(yīng)為：

CIC 濾波器雖然有著占用資源少，無需乘法器的優(yōu)點(diǎn)，但是通帶誤差高，阻帶衰減低[16]，需要多級CIC 濾波器級聯(lián)或添加補(bǔ)償濾波器才能獲得較好的濾波效果。此外，由式(27)可以看出CIC 濾波器的帶寬與降采樣率R、級聯(lián)數(shù)N均有關(guān)系，且無解析解，這就使得CIC 濾波器的帶寬難以靈活配置。

由于測頻結(jié)果對相位沒有特殊要求，因此本文選用參數(shù)更少、更易于設(shè)計(jì)的4 階IIR Butterworth 低通濾波器。

Butterworth 濾波器的幅頻響應(yīng)為：

其中N為濾波器階數(shù)。

由式(17)，等精度測頻法串接4 階Butterworth 低通濾波器后的噪聲功率譜密度為：

測頻噪聲方差為：

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

4.1 低通濾波對比分析

使用 MATLAB 中的濾波器設(shè)計(jì)工具filterDesigner 設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器并處理測頻結(jié)果，濾波器選擇4 階直接II 型IIR Butterworth 低通濾波器，采樣頻率Fs與實(shí)際信號頻率保持一致，在此基礎(chǔ)上分析不同的濾波器截止頻率fc、數(shù)據(jù)更新率fs、不同測頻方法對噪聲的影響。由于測頻數(shù)據(jù)的采樣率等于輸出更新率，因此在每個(gè)fc對應(yīng)的曲線中只畫出fs＞ 2fc的部分，結(jié)果如圖10 所示。

圖10 串入低通濾波器后的測頻相對分辨率Fig.10 The measured relative frequency resolution with lowpass filter

在串入低通濾波器后，高更新率下連續(xù)時(shí)間標(biāo)記法與等精度測頻法的噪聲水平基本相當(dāng)，且隨著更新率的提高，噪聲趨于同一常數(shù)。這是因?yàn)闉V波器濾除了絕大部分的高頻測頻噪聲，使得測頻結(jié)果接近于信號本身的噪聲。表1 是相對測頻分辨率在1 kHz 處的收斂結(jié)果。

表1 相對分辨率收斂結(jié)果Tab.1 The convergence results of relative frequency resolution

對比圖9 可以看出，在串入低通濾波器后，由于濾除了混疊的高頻噪聲，等精度測頻法的測頻噪聲反而略優(yōu)于連續(xù)時(shí)間標(biāo)記法。

4.2 加速度計(jì)樣機(jī)性能測試

基于兩種測頻方法，本文對研制的加速度計(jì)樣機(jī)（編號21F2-4）展開了性能測試，被測樣機(jī)的設(shè)計(jì)量程為±20g，測得樣機(jī)的標(biāo)度因數(shù)為228.5 Hz/g。

首先對21F2-4 樣機(jī)進(jìn)行了常溫零偏穩(wěn)定性測試。將樣機(jī)安裝于分度頭上，樣機(jī)敏感軸處于水平方向，其輸出經(jīng)FPGA 測頻模塊處理后送至上位機(jī)記錄。設(shè)置測量更新率為500 Hz，低通濾波器截止頻率為200 Hz，圖11 是實(shí)驗(yàn)裝置照片。

圖11 零偏穩(wěn)定性測量實(shí)驗(yàn)裝置Fig.11 MRA setup for test of bias stability

室溫條件下，樣機(jī)上電熱穩(wěn)定后，分別使用等精度測頻法和連續(xù)時(shí)間標(biāo)記法測量加速度計(jì)信號頻率各1 h。

圖12 是測量出的樣機(jī)差分頻率數(shù)據(jù)（出于讀圖效果，將等精度測頻法測頻數(shù)據(jù)向下平移4 Hz）。將這1 h 測頻數(shù)據(jù)進(jìn)行10 s 滑動平均，計(jì)算出等精度測頻法和連續(xù)時(shí)間標(biāo)記法測得的零偏穩(wěn)定性（1σ）分別為1.03 μg和1.24 μg。兩種方法測量結(jié)果相近，樣機(jī)常溫零偏穩(wěn)定性接近1 μg。

圖12 加速度計(jì)樣機(jī)1 h 差分頻率測量Fig.12 1-hour differential frequency readout of MRA

進(jìn)一步，在-40 ℃～60 ℃溫度條件下，對樣機(jī)零偏和標(biāo)度因數(shù)的溫漂進(jìn)行了建模補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)，補(bǔ)償前測得的零偏穩(wěn)定性和標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性分別為504 μg和724 ppm；利用一組測試數(shù)據(jù)建立多項(xiàng)式溫漂模型，對另一組測試數(shù)據(jù)進(jìn)行溫漂補(bǔ)償后，零偏穩(wěn)定性和標(biāo)度因數(shù)穩(wěn)定性分別提升至20.6 μg和8.24 ppm，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了上述測頻方法的可行性。

5 結(jié)論

針對高采樣率下硅微諧振梁加速度計(jì)的低噪聲測頻問題，本文介紹了等精度測頻法和連續(xù)時(shí)間標(biāo)記法兩種基于計(jì)數(shù)法原理的測頻方法，并推導(dǎo)了兩者的功率譜密度表達(dá)式。利用信號發(fā)生器和諧振梁加速度計(jì)樣機(jī)輸出信號分別進(jìn)行頻率測量，比較了在串入4 階低通濾波器下兩種測頻方法的噪聲性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在不串入低通濾波器的情況下兩者的測頻噪聲分別隨測量更新率呈線性和3/2 次冪的關(guān)系，且更新率在1～1000 Hz 范圍內(nèi)，連續(xù)時(shí)間標(biāo)記法的測量噪聲更優(yōu)。而在高更新率下串入低通濾波器后，兩種測頻方法的測頻噪聲相近，進(jìn)一步提高更新率后測頻噪聲趨于常數(shù)。本文的研究成果為硅微諧梁加速度計(jì)的頻率測量噪聲提供了理論基礎(chǔ)，為測頻方案及低通濾波器等提供了設(shè)計(jì)參考。